Algebra wolna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Algebra wolna – uogólnienie pojęcia pierścienia wielomianów na nieprzemienne struktury algebraiczne.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie klasą algebr ogólnych tego samego typu oraz niech Podzbiór nazywamy zbiorem wolnych generatorów algebry w klasie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego przekształcenia istnieje dokładnie jeden taki homomorfizm że

Jeśli dla danej algebry istnieje jej zbiór wolnych generatorów w klasie to nazywamy ją algebrą wolną w klasie

Innymi słowy, zbiór wolnych generatorów algebry, to taki jej podzbiór, że każde jego przekształcenie w inną algebrę tego samego typu da się jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu na całą algebrę.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli jest klasą algebr, a jest zbiorem wolnych generatorów algebry w klasie to generuje algebrę tzn. jest najmniejszą w sensie inkluzji algebrą zawierającą zbiór
  • Jeśli jest klasą algebr, zbiorami wolnych generatorów algebr w klasie to każde przekształcenie można jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu Homomorfizm jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.
  • Jeśli są algebrami wolnymi w oraz ich zbiory wolnych generatorów są równoliczne, to algebry te są izomorficzne.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]