Algebra zewnętrzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Orientacja zdefiniowana przez uporządkowany zbiór wektorów.
Odwrotna orientacja odpowiadająca ujemnemu iloczynowi zewnętrznemu.
Interpretacja geometryczna iloczynu zewnętrznego n elementów: Geometryczna interpretacja elementów stopnia n algebry zewnętrznej dla n=0 (pojedynczy punkt), 1 (zorientowany odcinek prostej) , 2 (zorientowany element powierzchni), 3 (zorientowany element objętości). Iloczyn zewnętrzny n wektorów można zobrazować jako dowolny n-wymiarowy obiekt (e.g. n-równoległościan, n-elipsoida); wielkość n-wymiarowych obiektów jest równa wielkości ograniczonej ich brzegiem (np. długość odcinka, pole elementu powierzchni , objętość równoległościanu, hiperobjętość n-równoległościanu), a jej znak zależy od tego, czy jego orientacja jest zgodna czy przeciwna do przyjętej w przestrzeni orientacji.

Iloczyn zewnętrzny jest konstrukcją algebraiczną używaną w geometrii do badania powierzchni, objętości, i ich analogów w wyższych wymiarach. Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów u oraz v, oznacza się symbolem u ∧ v i nazywa się biwektorem; biwektor leży w przestrzeni zwanej zewnętrznym kwadratem, która jest przestrzenią inną niż oryginalna przestrzeń wektorowa. Wartość iloczynu jest równa powierzchni równoległoboku o bokach u oraz v. W 3 wymiarach można ją obliczyć jako wartość iloczynu wektorowego wektorów u oraz v.

Podobnie jak iloczyn wektorowy, iloczyn zewnętrzny jest nieprzemienny, tj. uv = −(vu). W odróżnieniu jednak od iloczynu wektorowego iloczyn zewnętrzny jest łączny, tj. (uv)w = u ∧ (vw).

Biwektor można wyobrazić sobie jako rodzinę równoległoboków leżących w tej samej płaszczyźnie, mających tę samą powierzchnię i tę samą orientację - zgodną lub przeciwną do ruchu wskazówek zegara.

Z definicji wynika, że np.

uv =0

jeżeli wektory u, v są równoległe.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Pole elementu na płaszczyźnie[edytuj | edytuj kod]

(1) Płaszczyzna R2 jest przestrzenią wektorową 2-wymiarową, której bazę stanowi para wektorów

Niech dane będą dwa wektory R2

które wyznaczają równoległobok, mający v oraz w jako boki. Powierzchnia tego równoległoboku dana jest wyrażeniem

(2) Obliczmy teraz iloczyn zewnętrzny wektorów v oraz w:

- w pierwszym kroku wykorzystane zostało prawo rozdzielności iloczynu zewnętrznego, a ostatni etap urzywa faktu, że e2e1 = −(e1e2). (Wynika stąd np. że .) Współczynnik w ostatnim wyrażeniu jest równy wyznacznikowi macierzy [v w]. Fakt, że może być on dodatni lub ujemny oznacza, że zależy on od kolejności mnożonych wektorów v oraz w, która to kolejność może wyznaczać obrót zgodny ze wskazówkami zegara lub przeciwny. Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią zorientowaną: wartość iloczynu jest równa wielkości powierzchnia, zaś znak określa orientację

Jeżeli A(v, w) jest powierzchnią zorientowaną, rozpiętą przez wektory v oraz w , to A ma następujące właściwości:

  1. dla dowolnych liczb rzeczywistych j oraz k, ponieważ przeskalowując boki zmieniamy wielkość równoległoboku jak również orientację - gdy mnożymy wektor przez liczbę ujemną.
  2. A(v, v) = 0, ponieważ powierzchnia zdegenerowanego równoległoboku jest równa 0.
  3. A(w, v) = −A(v, w), ponieważ zmiana kolejności wektorów ma zmieniać znak.
  4. dla dowolnych j, ponieważ dodanie wielokrotności wektora w do v nie zmienia ani podstawy, ani wysokości równoległoboku - w efekcie zachowuje powierzchnię.
  5. A(e1, e2) = 1, ponieważ wielkość jednostkowego kwadratu jest równa 1.

W pewnym sensie iloczyn zewnętrzny uogólnia pojęcie powierzchni, gdyż pozwala porównywać powierzchnie dowolnych elementów w przestrzeni np. z powierzchnią jednostkowego kwadratu. Innymi słowy:

Iloczyn zewnętrzny daje niezależne od układu współrzędnych pojęcie pola powierzchni oraz metodę jej obliczania.

Iloczyn zewnętrzny[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn zewnętrzny jest działaniem służącym do tworzenia wielowektorów. Działanie to jest

  • liniowe:
  • łączne:
  • alternujące:

gdzie u, v oraz w są wektorami w V , zaś α, β - to skalary.

Iloczyn p wektorów jest nazywany wielowektorem stopnia p lub p-wektorem. Maksymalny stopień wielowektorów jest równy wymiarowi przestrzeni wektorowej V.

Liniowość iloczynu zewnętrznego pozwala definiować wielowektory jako kombinacje liniowe wielowektorów bazowych. Jest (np) p-wektorów w n-wymiarowej przestrzeni wektorowej[1]

Wielowektor[edytuj | edytuj kod]

Wielowektor (zwany liczbą Clifforda) jest podstawowym elementem algebry zewnętrznej. Jeżeli V jest przestrzenią n-wymiarową, to k-wektorem nazywa się obiekt o postaci

gdzie są wektorami w przestrzeni V.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic Press, New York, NY, 1963

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
  • R. Penrose, Droga do rzeczywistości, Prószyński i S-ka, Warszawa 2010.