Algebra zewnętrzna

Orientacja zdefiniowana przez uporządkowany zbiór wektorów.

Odwrotna orientacja odpowiadająca ujemnemu iloczynowi zewnętrznemu.

Interpretacja geometryczna iloczynu zewnętrznego $n$ elementów: Geometryczna interpretacja elementów stopnia n algebry zewnętrznej dla n=0 (pojedynczy punkt), 1 (zorientowany odcinek prostej), 2 (zorientowany element powierzchni), 3 (zorientowany element objętości). Iloczyn zewnętrzny n wektorów można zobrazować jako dowolny n-wymiarowy obiekt (e.g. n-równoległościan, n-elipsoida); wielkość n-wymiarowych obiektów jest równa wielkości ograniczonej ich brzegiem (np. długość odcinka, pole elementu powierzchni, objętość równoległościanu, hiperobjętość n-równoległościanu), a jej znak zależy od tego, czy jego orientacja jest zgodna czy przeciwna do przyjętej w przestrzeni orientacji.

Iloczyn zewnętrzny – konstrukcja algebraiczna używana w geometrii do badania powierzchni, objętości i ich analogów w wyższych wymiarach. Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów $\mathbf {u}$ oraz $\mathbf {v} ,$ oznacza się symbolem $\mathbf {u} \land \mathbf {v}$ i nazywa się biwektorem; biwektor leży w przestrzeni zwanej zewnętrznym kwadratem, która jest przestrzenią inną niż oryginalna przestrzeń wektorowa. Wartość iloczynu jest równa powierzchni równoległoboku o bokach $u$ oraz $v.$ W trzech wymiarach można ją obliczyć jako wartość iloczynu wektorowego wektorów $\mathbf {u}$ oraz $\mathbf {v} .$

Podobnie jak iloczyn wektorowy, iloczyn zewnętrzny jest antyprzemienny, tj. $\mathbf {u} \land \mathbf {v} =-(\mathbf {v} \land \mathbf {u} ).$ W odróżnieniu jednak od iloczynu wektorowego iloczyn zewnętrzny jest łączny, tj. $(\mathbf {u} \land \mathbf {v} )\land \mathbf {w} =\mathbf {u} \land (\mathbf {v} \land \mathbf {w} ).$

Biwektor można wyobrazić sobie jako rodzinę równoległoboków leżących w tej samej płaszczyźnie, mających tę samą powierzchnię i tę samą orientację – zgodną lub przeciwną do ruchu wskazówek zegara.

Z definicji wynika, że np.

$\mathbf {u} \land \mathbf {v} =0,$

jeżeli wektory $u,v$ są równoległe.

Przykład

Pole elementu na płaszczyźnie

(1) Płaszczyzna $\mathbf {R} ^{2}$ jest przestrzenią wektorową 2-wymiarową, której bazę stanowi para wektorów

$\mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.$

Niech dane będą dwa wektory $\mathbf {R} ^{2}$

$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2},$

które wyznaczają równoległobok, mający $\mathbf {v}$ oraz $\mathbf {w}$ jako boki. Powierzchnia tego równoległoboku dana jest wyrażeniem

${\text{Area}}={\big |}\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}{\big |}=\left|\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\right|=\left|ad-bc\right|.$

(2) Obliczmy teraz iloczyn zewnętrzny wektorów $\mathbf {v}$ oraz $\mathbf {w} {:}$

${\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2})\wedge (c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2})\\&=ac\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\end{aligned}}$

– w pierwszym kroku wykorzystane zostało prawo rozdzielności iloczynu zewnętrznego, a ostatni etap używa faktu, że $\mathbf {e} _{2}\land \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\land \mathbf {e} _{2}).$ (Wynika stąd np. że $\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0$). Współczynnik w ostatnim wyrażeniu jest równy wyznacznikowi macierzy $[\mathbf {v\ w} ].$ Fakt, że może być on dodatni lub ujemny oznacza, że zależy on od kolejności mnożonych wektorów $\mathbf {v}$ oraz $\mathbf {w} ,$ która to kolejność może wyznaczać obrót zgodny ze wskazówkami zegara lub przeciwny. Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią zorientowaną: wartość iloczynu jest równa wielkości powierzchni, zaś znak określa orientację.

Jeżeli $A(\mathbf {v,w} )$ jest powierzchnią zorientowaną, rozpiętą przez wektory $\mathbf {v}$ oraz $\mathbf {w} ,$ to $A$ ma następujące właściwości:

1. $A(j\mathbf {v} ,k\mathbf {w} )=jkA(\mathbf {v} ,k\mathbf {w} )$ dla dowolnych liczb rzeczywistych $j$ oraz $k,$ ponieważ przeskalowując boki zmieniamy wielkość równoległoboku, jak również orientację – gdy mnożymy wektor przez liczbę ujemną.
2. $A(\mathbf {v,v} )=0,$ ponieważ powierzchnia zdegenerowanego równoległoboku jest równa 0.
3. $A(\mathbf {w,v} )=-A(\mathbf {v,w} ),$ ponieważ zmiana kolejności wektorów ma zmieniać znak.
4. $A(\mathbf {v} +j\mathbf {w} ,\mathbf {w} )=A(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ dla dowolnych $j,$ ponieważ dodanie wielokrotności wektora $\mathbf {w}$ do $\mathbf {v}$ nie zmienia ani podstawy, ani wysokości równoległoboku – w efekcie zachowuje powierzchnię.
5. $A(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2})=1,$ ponieważ wielkość jednostkowego kwadratu jest równa 1.

W pewnym sensie iloczyn zewnętrzny uogólnia pojęcie powierzchni, gdyż pozwala porównywać powierzchnie dowolnych elementów w przestrzeni np. z powierzchnią jednostkowego kwadratu. Innymi słowy:

Iloczyn zewnętrzny daje niezależne od układu współrzędnych pojęcie pola powierzchni oraz metodę jej obliczania.

Iloczyn zewnętrzny

Iloczyn zewnętrzny jest działaniem służącym do tworzenia wielowektorów. Działanie to jest

• liniowe: $\mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ,$
• łączne: $(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} ,$
• alternujące: $\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =-\mathbf {v} \wedge \mathbf {u} ,\quad \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0,$

gdzie $\mathbf {u} ,$ $\mathbf {v}$ oraz $\mathbf {w}$ są wektorami w $V,$ zaś $\alpha ,\ \beta$ to skalary.

Iloczyn $p$ wektorów jest nazywany wielowektorem stopnia p lub p-wektorem. Maksymalny stopień wielowektorów jest równy wymiarowi przestrzeni wektorowej $V.$

Liniowość iloczynu zewnętrznego pozwala definiować wielowektory jako kombinacje liniowe wielowektorów bazowych. Jest ${\tbinom {n}{p}}$ p-wektorów $w$ $n$-wymiarowej przestrzeni wektorowej

Wielowektor

Wielowektor (zwany liczbą Clifforda) jest podstawowym elementem algebry zewnętrznej. Jeżeli $V$ jest przestrzenią n-wymiarową, to k-wektorem nazywa się obiekt o postaci

$v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},$

gdzie $v_{1},\dots ,v_{k}$ są wektorami w przestrzeni $V.$

Zobacz też

• forma różniczkowa

Bibliografia

• W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.
• Roger Penrose, Droga do rzeczywistości, Prószyński i S-ka, Warszawa 2010.

Linki zewnętrzne

• Exterior algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].