Analiza dynamiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Analiza dynamiczna jest badaniem odpowiedzi układu mechanicznego poddanego działaniu wymuszenia zmiennego w czasie. Analiza taka prowadzi do zbudowania adekwatnego modelu obliczeniowego.

Zaproponowanie takiego modelu jest jednak możliwe jedynie wtedy, gdy znane są rzeczywiste własności dynamiczne modelowanego obiektu. Można je określić tylko na podstawie odpowiednich pomiarów wykonanych na tym obiekcie.

Rzeczywiste układy fizyczne można traktować jako swego rodzaju modele złożone, o niekoniecznie ciągłym rozkładzie, zazwyczaj nieliniowych własności sprężystych, tłumiących i bezwładnościowych oraz najczęściej o skomplikowanych kształtach przestrzennych. Z tych powodów dla takich modeli pełną analizę można przeprowadzić tylko dla najprostszych przypadków szczególnych.

Ze względu na trudności obliczeniowe w praktyce najczęściej stosowana jest linearyzacja związków nieliniowych. Takie podejście daje dobre rezultaty przy badaniu małych drgań w otoczeniu równowagi statycznej.

Model dyskretny[edytuj | edytuj kod]

Najbardziej uniwersalnym podejściem do analizy dynamicznej jest budowa liniowego modelu dyskretnego o skończonej liczbie stopni swobody. Model taki wykorzystywany jest powszechnie w metodach takich jak np. metoda elementów skończonych. Istota tego modelu polega na opisaniu pola przemieszczeń kontinuum w sposób przybliżony, za pomocą prostych funkcji np. wielomianów zbudowanych na bazie parametrów przypisanych węzłom dostatecznie gęstej siatki dzielącej kontinuum na elementy o skończonych rozmiarach (elementy skończone). Dzięki temu stan przemieszczenia w takim modelu może być jednoznacznie opisany za pomocą wektora o skończonej liczbie współrzędnych mających interpretację przemieszczeń węzłowych. W takiej interpretacji na węzły układu działają siły czynne

  • - sprężystości,
  • - tłumienia,
  • - bezwładności,

gdzie przez K, C i M oznaczono macierze o rozmiarach odpowiednio: sztywności, tłumienia i bezwładności.

Na podstawie równania (ruchu) równowagi w sensie d'Alemberta

otrzymujemy

Równanie (a) stanowi podstawę analizy dynamicznej.

Całkowanie równania ruchu[edytuj | edytuj kod]

Podstawowym celem analizy dynamicznej jest obliczanie odpowiedzi modelu na działające wymuszenie Poza nielicznymi przypadkami szczególnymi, kiedy można uzyskać ścisłe rozwiązanie analityczne, odpowiedź musi być liczona numerycznie. Istnieje wiele algorytmów numerycznego całkowania równania ruchu. W każdym z tych algorytmów operuje się odpowiednimi aproksymacjami funkcji bądź też

Najczęściej stosowane algorytmy ogólne, umożliwiające obliczenia odpowiedzi również w przypadkach nieliniowych, działają na zasadzie krok-po-kroku. I tak na przykład przy całkowaniu z krokiem równania

metodą QDAMN stosuje się przekształcenie

i na podstawie warunków początkowych ruchu w chwili

oblicza się pierwsze przybliżenie wartości rozwiązania w punkcie

Kolejne przybliżenia otrzymuje się iteracyjnie na podstawie wzorów rekurencyjnych dla

w których przez oznaczono interpolacyjne wielomiany Hermite'a piątego stopnia przybliżające funkcję i jej pochodną w przedziale

Częstości i formy własne[edytuj | edytuj kod]

Każdy model układu drgającego, o n stopniach swobody, odznacza się pewnymi charakterystycznymi właściwościami dynamicznymi. Okazuje się mianowicie, że może on wykonywać proste, pojedyncze drgania harmoniczne, ale tylko ze ściśle określonymi tzw. kołowymi częstościami drgań własnych Częstości te tworzą widmo dyskrete

Te pojedyncze drgania harmoniczne o postaci

są to tzw. drgania własne polegające na ruchu modelu określonym formą drgań własnych

opisującą konfigurację przestrzenną układu drgającego z częstością własną

Częstości i formy drgań własnych oblicza się na podstawie równania swobodnych drgań nietłumionych modelu

Jego rozwiązania o postaci

istnieją, gdy spełniony jest warunek

Istnienie nie zerowych rozwiązań wymaga, aby było spełnione tzw. równanie wiekowe (sekularne) częstości.

Jego rozwiązania tworzą widmo częstości drgań własnych układu. Na podstawie znanych już można poszukiwać rozwiązań równania (b) określających formy drgań własnych. Mogą być one wyznaczone z dokładnością do stałego mnożnika.

Wykorzystując tożsamości

i dokonując transpozycji z wykorzystaniem symetrii macierzy M i K otrzymujemy przy założeniu, że warunek ortogonalności form drgań własnych

Jeżeli wprowadzimy nowe wektory (bazowe) takie, że to otrzymamy

Po wprowadzeniu macierzy modalnej otrzymujemy

i na podstawie (a)

gdzie przez oznaczono macierz jednostkową.

Obliczenie częstości własnych i odpowiadających im bazowych form własnych kończy proces rozwiązywania problemu własnego drgającego modelu.

Dowolną formę drgań swobodnych i jej pochodną można teraz zapisać w postaci

Po wykorzystaniu (c) warunki początkowe ruchu prowadzą do wzorów

Na ich podstawie otrzymujemy następujące wartości parametrów

  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy

Analiza modalna[edytuj | edytuj kod]

Dysponowanie bazą form drgań własnych pozwala zapisać dowolną formę drgań (swobodnych lub wymuszonych) w postaci

przedstawiającej tę dowolną formę jako zmienną w czasie kombinację liniową unormowanych form drgań własnych tworzących bazę Po podstawieniu tej reprezentacji do równania ruchu

otrzymujemy

Mnożąc lewostronnie przez i uwzględniając związki (c) mamy

gdzie W celu sprowadzenia macierzy do postaci diagonalnej najczęściej stosuje się przyjęcie, że dzięki któremu macierz przybiera postać Dzięki tym zabiegom wektorowe równanie ruchu (d) rozpada się na n niezależnych równań skalarnych

Gdy wymuszenie ma postać modalną wówczas mamy

czyli

gdy

Tylko taka, modalna postać wymuszenia, może wywołać drgania (modalne) opisane pojedynczą, k-tą formą drgań własnych.

Każda z funkcji opisuje udział (modalny) i-tej formy drgań własnych w odpowiedzi modelu. Poszczególne równania (f) można, w prostych przypadkach wymuszeń, rozwiązywać analitycznie bądź też w przypadkach złożonych stosować całkowanie numeryczne. Istotne ułatwienie stanowi fakt, że są to niezależne od siebie równania skalarne. Każda z funkcji modalnych występuje tylko w jednym i-tym równaniu i jej obliczenie przebiega tak jak dla tłumionego oscylatora harmonicznego.

W przypadku szczególnym, gdy model poddany jest wymuszeniu harmonicznemu z częstością kołową

mamy

Rozwiązanie równania (e) o postaci

zostaje, po podstawieniu funkcji do (e), określone w sposób następujący

gdzie

W przypadku rezonansu tłumionego na częstości otrzymujemy

Gdy odpowiedź określają wzory

opisujące zjawiska rezonansowe na częstościach

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Nowacki W., Dynamika budowli, Arkady Warszawa 1974
  2. Olszowski B., Radwańska M., Mechanika budowli, Politechnika Krakowska 2010