Antyłańcuch

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Antyłańcuch to termin w kilku dziedzinach matematyki na określenie obiektów o własnościach związanych z pewnymi praporządkami.

Antyłańcuchy w teorii porządków częściowych[edytuj]

Definicja[edytuj]

Przy określonym porządku zbiór nazywamy antyłańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Intuicyjnie, zbiór jest antyłańcuchem, gdy nie da się porównać żadnych dwóch różnych jego elementów.

Przykłady i własności[edytuj]

  • Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest antyłańcuchem (i jednocześnie jest też łańcuchem).
  • Porządek częściowy jest porządkiem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy antyłańcuch w tym porządku jest jednoelementowy.
  • Twierdzenie Dilwortha mówi że częściowy porządek nie zawiera elementowych antyłańcuchów () wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą łańcuchów.
  • Twierdzenie Spernera mówi że jeśli jest rodziną wszystkich podzbiorów pewnego elementowego zbioru , a porządek jest zawieraniem, to każdy antyłańcuch zawarty w ma co najwyżej elementów.

Antyłańcuchy w teorii forsingu[edytuj]

Definicja[edytuj]

Niech będzie pojęciem forsingu. Zbiór jest antyłańcuchem w wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne warunki są sprzeczne, tzn.

Należy zwrócić uwagę że pojęcie antyłańcucha w sensie forsingu jest różne od tegoż w sensie teorii posetów: nieporównywalność elementów jest tutaj zastąpiona sprzecznością warunków.

-cc[edytuj]

Niech będzie liczbą kardynalną. Powiemy że pojęcie forsingu spełnia -cc jeśli każdy antyłańcuch w jest mocy mniejszej niż . Jeśli spełnia -cc to mówimy wtedy też że spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo spełnia ccc.

Nazwa -cc jest skrótem angielskiego wyrażenia -chain condition (warunek -łańcucha). Użycie słowa łańcuch (chain) było pierwotnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii.

Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi że najmniejsza liczba kardynalna dla której pojęcie forsingu spełnia warunek -cc musi być regularna.

Przykłady i własności[edytuj]

  • Pojęcie forsingu Cohena (zbiór skończonych ciągów liczb naturalnych uporządkowany przez odwrotną relację wydłużania ciągów) spełnia ccc.
  • Pojęcie forsingu Solovaya (zbiór domkniętych podzbiorów miary dodatniej uporządkowany przez inkluzję) spełnia ccc.
  • Pojęcie forsingu Sacksa (zbiór doskonałych podzbiorów uporządkowany przez inkluzję) nie spełnia ccc. Poniżej każdego warunku w tym forsingu można skonstruować antyłańcuch mocy continuum.
  • Rozszerzenia generyczne modeli ZFC przy użyciu pojęć forsingu spełniających ccc zachowują liczby kardynalne. Rozszerzenia przy użyciu pojęć forsingu spełniających -cc zachowują liczby kardynalne większe lub równe .

Antyłańcuchy w algebrach Boole'a[edytuj]

Definicja[edytuj]

Ponieważ algebry Boole'a są też pojęciami forsingu, forsingowa definicja antyłańcuchów jest naturalnie przenoszona na algebry Boole'a. Niech będzie algebrą Boole'a. Zbiór jest antyłańcuchem w wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne elementy są rozłączne, tzn.

Celularność[edytuj]

Celularność jest funkcją kardynalną określona na algebrach Boole'a. Celularność algebry Boole'a jest to supremum mocy antyłańcuchów w .

Mówimy że algebra Boole'a spełnia ccc jeśli .

Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi że jeśli celularność algebry Boole'a jest liczbą singularną, to istnieje antyłańcuch mocy .

Zobacz też[edytuj]