Antyłańcuch
Antyłańcuch to termin w kilku dziedzinach matematyki na określenie obiektów o własnościach związanych z pewnymi praporządkami.
Antyłańcuchy w teorii porządków częściowych
[edytuj | edytuj kod]Definicja
[edytuj | edytuj kod]Przy określonym porządku zbiór nazywamy antyłańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy
Intuicyjnie, zbiór jest antyłańcuchem, gdy nie da się porównać żadnych dwóch różnych jego elementów.
Przykłady i własności
[edytuj | edytuj kod]- Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest antyłańcuchem (i jednocześnie jest też łańcuchem).
- Porządek częściowy jest porządkiem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy antyłańcuch w tym porządku jest jednoelementowy.
- Twierdzenie Dilwortha mówi, że częściowy porządek nie zawiera elementowych antyłańcuchów wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą łańcuchów.
- Twierdzenie Spernera mówi, że jeśli jest rodziną wszystkich podzbiorów pewnego elementowego zbioru a porządek jest zawieraniem, to każdy antyłańcuch zawarty w ma co najwyżej elementów.
Antyłańcuchy w teorii forsingu
[edytuj | edytuj kod]Definicja
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie pojęciem forsingu. Zbiór jest antyłańcuchem w wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne warunki są sprzeczne, tzn.
Pojęcie antyłańcucha w sensie forsingu jest różne od tegoż w sensie teorii posetów: nieporównywalność elementów jest tutaj zastąpiona sprzecznością warunków.
-cc
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie liczbą kardynalną. Powiemy, że pojęcie forsingu spełnia -cc, jeśli każdy antyłańcuch w jest mocy mniejszej niż Jeśli spełnia -cc, to mówimy wtedy też, że spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo spełnia ccc.
Nazwa -cc jest skrótem angielskiego wyrażenia -chain condition (warunek -łańcucha). Użycie słowa łańcuch (chain) było pierwotnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii.
Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi, że najmniejsza liczba kardynalna dla której pojęcie forsingu spełnia warunek -cc, musi być regularna.
Przykłady i własności
[edytuj | edytuj kod]- Pojęcie forsingu Cohena (zbiór skończonych ciągów liczb naturalnych uporządkowany przez odwrotną relację wydłużania ciągów) spełnia ccc.
- Pojęcie forsingu Solovaya (zbiór domkniętych podzbiorów miary dodatniej uporządkowany przez inkluzję) spełnia ccc.
- Pojęcie forsingu Sacksa (zbiór doskonałych podzbiorów uporządkowany przez inkluzję) nie spełnia ccc. Poniżej każdego warunku w tym forsingu można skonstruować antyłańcuch mocy continuum.
- Rozszerzenia generyczne modeli ZFC przy użyciu pojęć forsingu spełniających ccc zachowują liczby kardynalne. Rozszerzenia przy użyciu pojęć forsingu spełniających -cc zachowują liczby kardynalne większe lub równe
Antyłańcuchy w algebrach Boole’a
[edytuj | edytuj kod]Definicja
[edytuj | edytuj kod]Ponieważ algebry Boole’a są też pojęciami forsingu, forsingowa definicja antyłańcuchów jest naturalnie przenoszona na algebry Boole’a. Niech będzie algebrą Boole’a. Zbiór jest antyłańcuchem w wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne elementy są rozłączne, tzn.
Celularność
[edytuj | edytuj kod]Celularność jest funkcją kardynalną określona na algebrach Boole’a. Celularność algebry Boole’a jest to supremum mocy antyłańcuchów w
Mówimy, że algebra Boole’a spełnia ccc, jeśli
Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi, że jeśli celularność algebry Boole’a jest liczbą singularną, to istnieje antyłańcuch mocy