Argument liczby zespolonej

Argument główny liczby zespolonej

Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną $z$$z$ na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: $\arg(z)$$\arg(z)$.

Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność $2\pi$$2\pi$. Argument sprowadzony do przedziału $[0,2\pi )$$[0,2\pi )$, lub $(-\pi ,\pi ]$$(-\pi ,\pi ]$, nazywa się argumentem głównym. Oznaczenie: ${\mbox{Arg}}(z)$${\mbox{Arg}}(z)$.

Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej:

$a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi )\;$$a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi )\;$,

gdzie $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=|z|$$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=|z|$ jest modułem liczby zespolonej, a $\phi$$\phi$ jej argumentem.

Dla liczb o niezerowej części rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru:

$\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({b \over a}\right),&{\mbox{gdy }}a>0\\\operatorname {arctg} \left({b \over a}\right)+\pi ,&{\mbox{gdy }}a<0\end{cases}}$$\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({b \over a}\right),&{\mbox{gdy }}a>0\\\operatorname {arctg} \left({b \over a}\right)+\pi ,&{\mbox{gdy }}a<0\end{cases}}$

Dla liczb urojonych, $z=bi$$z=bi$:

$\varphi ={\begin{cases}{1 \over 2}\pi ,&{\mbox{gdy }}b>0\\-{1 \over 2}\pi ,&{\mbox{gdy }}b<0\end{cases}}$$\varphi ={\begin{cases}{1 \over 2}\pi ,&{\mbox{gdy }}b>0\\-{1 \over 2}\pi ,&{\mbox{gdy }}b<0\end{cases}}$

Dla liczby $z=0$$z = 0$, argument jest nieokreślony.

Niech $a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi )\;$$a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi )\;$ oraz niech $c+di=\rho (\cos \psi +i\sin \psi )\;$$c+di=\rho (\cos \psi +i\sin \psi )\;$, wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:

• $(a+bi)\cdot (c+di)=r\cdot \rho (\cos(\phi +\psi )+i\sin(\phi +\psi ))$$(a+bi)\cdot (c+di)=r\cdot \rho (\cos(\phi +\psi )+i\sin(\phi +\psi ))$
• ${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {r}{\rho }}(\cos(\phi -\psi )+i\sin(\phi -\psi ))$${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {r}{\rho }}(\cos(\phi -\psi )+i\sin(\phi -\psi ))$