Argument główny liczby zespolonej
Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną
z
{\displaystyle z}
na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie:
arg
(
z
)
{\displaystyle \arg(z)}
.
Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność
2
π
{\displaystyle 2\pi }
. Argument sprowadzony do przedziału
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle [0,2\pi )}
[1] [2] [3] , lub
(
−
π
,
π
]
{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}
[4] [5] , nazywa się argumentem głównym . Oznaczenie:
Arg
(
z
)
{\displaystyle {\mbox{Arg}}(z)}
.
Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej:
a
+
b
i
=
r
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
{\displaystyle a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi )\;}
,
gdzie
r
=
a
2
+
b
2
=
|
z
|
{\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=|z|}
jest modułem liczby zespolonej , a
ϕ
{\displaystyle \phi }
jej argumentem.
Dla liczb o niezerowej części rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru:
φ
=
{
arctg
(
b
a
)
,
gdy
a
>
0
arctg
(
b
a
)
+
π
,
gdy
a
<
0
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({b \over a}\right),&{\mbox{gdy }}a>0\\\operatorname {arctg} \left({b \over a}\right)+\pi ,&{\mbox{gdy }}a<0\end{cases}}}
Dla liczb urojonych,
z
=
b
i
{\displaystyle z=bi}
:
φ
=
{
1
2
π
,
gdy
b
>
0
−
1
2
π
,
gdy
b
<
0
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}{1 \over 2}\pi ,&{\mbox{gdy }}b>0\\-{1 \over 2}\pi ,&{\mbox{gdy }}b<0\end{cases}}}
Dla liczby
z
=
0
{\displaystyle z=0}
, argument jest nieokreślony.
Niech
a
+
b
i
=
r
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
{\displaystyle a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi )\;}
oraz niech
c
+
d
i
=
ρ
(
cos
ψ
+
i
sin
ψ
)
{\displaystyle c+di=\rho (\cos \psi +i\sin \psi )\;}
, wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:
(
a
+
b
i
)
⋅
(
c
+
d
i
)
=
r
⋅
ρ
(
cos
(
ϕ
+
ψ
)
+
i
sin
(
ϕ
+
ψ
)
)
{\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=r\cdot \rho (\cos(\phi +\psi )+i\sin(\phi +\psi ))}
a
+
b
i
c
+
d
i
=
r
ρ
(
cos
(
ϕ
−
ψ
)
+
i
sin
(
ϕ
−
ψ
)
)
{\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {r}{\rho }}(\cos(\phi -\psi )+i\sin(\phi -\psi ))}
↑ Mostowski, Stark - Elementy algebry wyższej
↑ Bogdan Miś - Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki
↑ Reinhardt, Soeder - Atlas matematyki
↑ Mathworld
↑ Encyklopedia szkolna - Matematyka