Arytmetyka liczb kardynalnych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Arytmetyka liczb kardynalnych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami kardynalnymi i działaniami na nich.

Arytmetyka liczb kardynalnych znacznie różni się od arytmetyki liczb rzeczywistych – zarówno rozważane działania mają inne własności jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że wiele stwierdzeń dotyczących działań na liczbach kardynalnych jest niezależnych od standardowych aksjomatów teorii mnogości (aksjomaty Zermela-Fraenkla).

W dalszej części tego artykułu zakładamy aksjomaty Zermela-Fraenkla (bez aksjomatu wyboru niektóre z definicji należy sformułować inaczej i wiele z prezentowanych faktów nie jest prawdziwych).

Definicje[edytuj]

Pojęcia wstępne[edytuj]

  • Liczba porządkowa jest początkową liczbą porządkową jeśli nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi.
  • Przy założeniu teorii ZFC każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalną – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez .
  • Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to , moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
  • Współkońcowość nieskończonej liczby kardynalnej to najmniejsza liczba kardynalna taka, że każdy zbiór mocy może być przedstawiony jako suma wielu zbiorów mocy mniejszej niż :
dla pewnych zbiorów takich, że (dla wszystkich ) .
Jeśli to mówimy że jest regularną liczbą kardynalną. Liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.
  • Następnik liczby kardynalnej to pierwsza liczba kardynalna większa od (jest on oznaczany przez ).

Działania dwuargumentowe[edytuj]

Określamy następujące działania dwuargumentowe na liczbach kardynalnych. Niech będą liczbami kardynalnymi.

  • Dodawanie liczb kardynalnych – sumą liczb i nazywamy moc sumy rozłącznych kopii i :
.
  • Mnożenie liczb kardynalnych – iloczynem liczb i nazywamy moc iloczynu kartezjańskiego zbiorów i :
.
  • Potęgowanie liczb kardynalnych – przez rozumiemy moc zbioru wszystkich funkcji z w :
.
  • Definiujemy również słabą potegę jako
.

Działania nieskończone[edytuj]

Niech będzie rodziną indeksowaną liczb kardynalnych. Określamy

sumę oraz
produkt .

Przykłady wyników klasycznych[edytuj]

  • Dla każdych niezerowych liczb kardynalnych mamy:
  1. Jeśli , to .
  2. Jeśli , to oraz .
  3. Jeśli , to oraz .
  4. jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów . Jeśli oraz jest nieskończona, to oraz .
  5. , , i
  6. Jeśli są nieskończone, to (twierdzenie Hausdorffa).
  7. Jeśli jest nieskończone, to oraz .
  • Przypuśćmy, że , są rodzinami niezerowych liczb kardynalnych, .
  1. . Jeśli więc to . Ostatnia równość zachodzi w szczególności gdy dla różnych .
  2. Jeśli dla wszystkich , to (twierdzenie Königa).

GCH i SCH[edytuj]

  • Uogólniona hipoteza continuum (GCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej liczby kardynalnej , . Przy założeniu GCH arytmetyka kardynalna bardzo się upraszcza:
Załóżmy GCH. Wówczas dla każdych liczb kardynalnych oraz mamy
   jeśli ,    jeśli ,
   jeśli ,      oraz         jeśli ,
   jeśli ,    jeśli .
  • Hipoteza liczb singularnych (ang. singular cardinal hypothesis, SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej , jeśli to . Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję .
Załóżmy SCH. Wówczas dla każdych nieskończonych liczb kardynalnych mamy
   jeśli oraz ,
   jeśli oraz ,
   jeśli .
Ponadto, jeśli jest liczbą singularną to
(a) jeśli dla pewnej liczby kardynalnej mamy iż , to ,
(b) jeśli założenie punktu (a) nie jest spełnione, to .
  • Warto zauważyć, że GCH jest niezależne od ZFC (czyli nie można tego zdania udowodnić, ale nie można też udowodnić jego zaprzeczenia). Łatwo można się przekonać, że GCH implikuje SCH. Ciekawym wynikiem odkrytym niedawno jest, że PFA również implikuje SCH. Naruszenia SCH związane są z dużymi liczbami kardynalnymi.

Przykłady wyników zaawansowanych[edytuj]

  • Rozwijając metodę forsingu, w 1970 roku William Easton[1] udowodnił następujące twierdzenie. Przypuśćmy, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że dla wszystkich regularnych . Wówczas (przy założeniu, że ZFC jest niesprzeczne) jest niesprzecznym z ZFC, że dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych .
  • Jeśli jest liczbą mierzalną oraz dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej , to również .
  • Jeśli zbiór jest stacjonarny w , to .
  • Jeśli oraz zbiór jest stacjonarny w , to .
  • W latach 90. XX wieku Saharon Shelah[2] rozwinął teorię PCF, która stała się jednym z głównych kierunków badań we współczesnej arytmetyce liczb kardynalnych. Wyniki tej teorii wykazują, że pomimo dużej kolekcji twierdzeń niezależnościowych, wciąż można dowieść wielu twierdzeń w ZFC, o ile zadajemy właściwe pytania. Z wyników teorii pcf można wywnioskować nowe prawa klasycznej arytmetyki liczb kardynalnych, np. że .
  • W głębszym zrozumieniu arytmetyki liczb kardynalnych pomoże książka Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego[3] lub monografia Thomasa Jecha[4] lub monografia M. Holza, K. Steffensa i E. Weitza[5]

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Easton, William B.: Powers of regular cardinals. "Ann. Math. Logic" 1 (1970), s. 139-178.
  2. Shelah, Saharon: Cardinal arithmetic. "Oxford Logic Guides", 29. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994. ​ISBN 0-19-853785-9
  3. Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.
  4. Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. "Springer Monographs in Mathematics". Springer-Verlag, Berlin, 2003. ​ISBN 3-540-44085-2
  5. Holz, M.; Steffens, K.; Weitz, E.: Introduction to cardinal arithmetic. "Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher". Birkhäuser Verlag, Basel, 1999. ​ISBN 3-7643-6124-7​.