Arytmetyka liczb porządkowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Arytmetyka liczb porządkowych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami porządkowymi i działaniami na nich.

Arytmetyka liczb porządkowych znacznie różni się od arytmetyki liczb kardynalnych – zarówno rozważane działania mają inne własności jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że większość stwierdzeń dotyczących działań na liczbach porządkowych jest dowodliwa w ZF (zwykle aksjomat wyboru nie jest potrzebny, choć my zgodnie z tradycją przyjętą w matematyce zakładamy ZFC). Ponadto bardzo rzadko spotyka się tu wyniki niezależnościowe.

Arytmetyka liczb porządkowych kardynalnych różni się także od arytmetyki liczb rzeczywistych, choć można dostrzec między nimi pewne analogie.

Definicje[edytuj]

Na liczbach porządkowych rozważa się następujące działania dwuargumentowe: dodawanie, mnożenie i potęgowanie liczb porządkowych. Operacje dodawania i mnożenia można zdefiniować na dwa sposoby (dające ten sam wynik), poniżej przedstawimy oba podejścia.

Dodawanie i mnożenie: definicje konstrukcyjne[edytuj]

Operacje "+" i "·" na liczbach porządkowych można wprowadzić przez pewne konstrukcje zbiorów dobrze uporządkowanych.

Przypuśćmy, że oraz są dobrymi porządkami. Dla uproszczenia opisu załóżmy też, że zbiory A i Brozłączne. Określamy:

  • , gdzie jest relacją binarną na zdefiniowaną przez
wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz)
i , lub
i , lub
i .
  • , gdzie jest relacją binarną na produkcie zdefiniowaną przez
wtedy i tylko wtedy, gdy (, oraz)
, lub
i .

Można wykazać, że zarówno jak i są dobrymi porządkami.

Liczba porządkowa : każda kreska pionowa przedstawia liczbę porządkową poniżej ω·ω – kreski te odpowiadają liczbom postaci ω·m+n gdzie m i n są liczbami naturalnymi.

Dla liczb porządkowych określamy

  • sumę jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym , gdzie są rozłącznymi kopiami i , odpowiednio;
  • iloczyn jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym , gdzie są kopiami i , odpowiednio.

Definicje indukcyjne[edytuj]

  • Dodawanie: przez indukcję po liczbach porządkowych , dla każdej liczby porządkowej , definiujemy w sposób następujący:
,
jest następnikiem porządkowym liczby ,
,
jeśli jest liczbą graniczną, to
.
  • Mnożenie: przez indukcję po liczbach porządkowych , dla każdej liczby porządkowej , definiujemy w sposób następujący:
,
,
jeśli jest liczbą graniczną, to
.
  • Potęgowanie: przez indukcję po liczbach porządkowych , dla każdej liczby porządkowej , definiujemy w sposób następujący:
,
,
jeśli jest liczbą graniczną, to
.

Podstawowe własności[edytuj]

Pewne własności "zwykłych" działań na liczbach rzeczywistych są prawdziwe dla działań na liczbach porządkowych, ale wiele nie. Dla dowolnych liczb porządkowych prawdziwe są następujące równości:

  • oraz ,
  • , oraz ,
  • ,
  • oraz ,
  • oraz ,
  • oraz .

Przykłady[edytuj]

Przypomnijmy, że jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową.

  • Ani dodawanie ani mnożenie liczb porządkowych nie są przemienne), gdyż na przykład:
oraz
  • Prawostronna rozdzielność mnożenia względem dodawania na ogół nie zachodzi:
ale ,
  • ,
  • ,
  • ,

Więcej własności[edytuj]

  • Niech α,β będą liczbami porządkowymi, . Wówczas liczba β ma jednoznaczne przedstawienie postaci
gdzie γ,δ są liczbami porządkowymi i .
  • Twierdzenie Cantora o postaci normalnej: Każda niezerowa liczba porządkowa może być przedstawiona jednoznacznie w postaci
dla pewnych liczb naturalnych oraz oraz liczb porządkowych spełniających warunek .
  • Liczby porządkowe α dla których zachodzi równość były nazwane przez Cantora liczbami epsilonowymi; tworzą one klasę właściwą. Najmniejszą liczbą epsilonową jest
.
(a) dla każdej liczby ,
(b) dla każdej liczby ,
(c) dla każdej liczby .

Zastosowania[edytuj]

  • Dowód twierdzenia Goodsteina używa cantorowskiej postaci normalnej dla liczb porządkowych mniejszych niż ε0.

Operacje naturalne[edytuj]

W 1906, niemiecki matematyk Gerhard Hessenberg[1] wprowadził dwie dodatkowe operacje na liczbach porządkowych: naturalną sumę i naturalny produkt. Czasami operacje te są nazywane sumą Hessenberga i produktem Hessenberga, odpowiednio. Są one zdefiniowane w taki sposób, że przedstawiamy dane liczby porządkowe w postaci normalnej Cantora i działania wykonujemy traktując te rozwinięcia jakby były formalnymi wielomianami zmiennej ω.

Niech α i β będą liczbami porządkowymi. Na mocy twierdzenia Cantora o postaci normalnej możemy znaleźć liczby naturalne oraz oraz liczby porządkowe takie, że

oraz .

Określamy teraz sumę naturalną przez

.

Definicja produktu naturalnego jest trochę bardziej skomplikowana: traktujemy wyrażenia i jakby przedstawiały wielomiany zmiennej ω. Dla każdej pary liczb naturalnych rozważamy liczbę (zwróćmy uwagę że w wykładniku potęgi mamy operację sumy naturalnej). Produkt naturalny jest zdefiniowany jako suma (w sensie +) wszystkich wyrażeń postaci uporządkowanych tak, że wykładniki maleją.

Obie operacje, i , są przemienne i łączne. Zauważmy, że

, ale , oraz
ale .

Przykład zastosowania[edytuj]

W roku 1954 G.H. Toulmin udowodnił[2], że jeżeli X i Yprzestrzeniami regularnymi, to

,

gdzie ind oznacza mały wymiar induktywny oraz n jest liczbą naturalną zależną od wymiarów przestrzeni X i Y. Gary Brookfield udowodnił[3], że jeżeli R jest pierścieniem noetherowskim, to

,

gdzie len jest liczbą porządkową mierzącą długość ideałową pierścienia R, w pewnym sensie dokładniej niż wymiar Krulla (pojęcie to wprowadził Gulliksen[4]).

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Hessenberg, G.: Grundbegriffe der Mengenlehre. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. 1906.
  2. Toulmin, G.H. Shuffling ordinals and transfinite dimension, Proc. London Math. Soc. 4 (1954), ss. 177–195.
  3. Brookfield G. The Length of Noetherian Polynomial Rings. Communications in Algebra, 1532-4125, (31), Issue 11, 2003, ss. 5591–5607. [1]
  4. Gulliksen, T. H. A Theory of Length for Noetherian Modules. J. of Pure and Appl. Algebra 1973, 3, ss. 159-170.

Bibliografia[edytuj]

  • Wacław Sierpiński, Cardinal and ordinal numbers. Wydanie 2. Monografie Matematyczne, tom 34. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1965.