Asymptota

Przykładowa krzywa w kartezjańskim układzie współrzędnych. Przecina ona swoją asymptotę nieskończoną liczbę razy

Asymptota krzywej (gr. ἀσύμπτοτη – nie stykać się) – rodzaj prostej związanej z niektórymi krzywymi, ściśle definiowany pojęciem granicy funkcji. Prosta jest asymptotą danej krzywej, jeśli odległość punktów tej krzywej od tej prostej dąży do zera.

Rozważana krzywa może być w szczególności wykresem funkcji. Wtedy asymptotę tego wykresu nazywa się też asymptotą funkcji. Ten typ asymptot dzieli się na poziome, ukośne i pionowe, opisane niżej.

Odmiany asymptot funkcji

Na powyższym rysunku, funkcja ${\tfrac {1}{x}}$ ma dwie asymptoty: $x=0$ oraz $y=0,$ które są obustronne

Funkcja ${\tfrac {1}{x}}+x$ ma dwie asymptoty: $y=x$ oraz $x=0.$

Poziome i ukośne

Parametry asymptoty poziomej i ukośnej $y=ax+b$ dla krzywej danej w postaci $y=f(x)$ można wyznaczyć jako granice:

• w przypadku asymptoty prawostronnej:

$a=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}$

oraz

$b=\lim _{x\to +\infty }(f(x)-ax)$

• w przypadku asymptoty lewostronnej:

$a=\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}$

oraz

$b=\lim _{x\to -\infty }(f(x)-ax)$

Jeśli przynajmniej jedna z granic wyznaczających $a$ lub $b$ nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą, to wykres nie ma odpowiedniej (prawo- lub lewostronnej) asymptoty ukośnej, ani poziomej. Jeśli $a=0,$ to wyznaczona asymptota jest pozioma – równoległa do osi odciętych.

Pionowe

Jeśli krzywa dana jest w postaci $y=f(x),$ gdzie $f$ jest funkcją, to ma ona w punkcie $x=a$ asymptotę pionową, jeśli istnieje granica niewłaściwa:

• $\lim _{x\to a_{-}}f(x)=\pm \infty$ (asymptota lewostronna)
• $\lim _{x\to a_{+}}f(x)=\pm \infty$ (asymptota prawostronna)
• $\lim _{x\to a_{-}}f(x)=\pm \infty \wedge \lim _{x\to a_{+}}f(x)=\pm \infty$ (asymptota obustronna; w szczególności jedna granica może być równa $+\infty$ a druga $-\infty$)

Przykłady funkcji z asymptotą pionową to tangens $(y=\operatorname {tg} x)$ i kotangens $(y=\operatorname {ctg} x).$ Obie mają nieskończenie wiele asymptot pionowych i każda z tych asymptot jest obustronna.

tangensoida – wykres funkcji $y=\operatorname {tg} x$

kotangensoida – wykres funkcji $y=\operatorname {ctg} x$

Bibliografia

• ElwiraE. Mateja-Losa ElwiraE., Wyznaczanie asymptot wykresów funkcji, „Matematyka i Informatyka na Uczelniach Technicznych” (3), Politechnika Śląska, minut.polsl.pl, 2021, ISSN 2719-3063 [dostęp 2026-01-17] .

Literatura dodatkowa

• Encyklopedia szkolna. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 14. ISBN 83-02-02551-8.

Linki zewnętrzne

• Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]:
  • Asymptoty ukośne, 24 października 2018.
  • Więcej o asymptotach ukośnych, 25 października 2018.
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Asymptote, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].
• Asymptote (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].