Atlas (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Atlas – kolekcja map, przypisanych pewnej rozmaitości, taka że każdemu podzbiorowi rozmaitości przypisana jest jakaś mapa (zwanej też: mapą współrzędnych lub lokalnym układem współrzędnych). Istnieje wiele możliwych atlasów, jakie można utworzyć dla danej rozmaitości. Atlas opisuje sposób, w jaki rozmaitość jest wyposażona w strukturę różniczkową.

Np. Atlas geograficzny Ziemi składa się z szeregu map. Istnieje wiele możliwych atlasów Ziemi, zależnych od sposoby odwzorowania powierzchni Ziemi na płaszczyznę.

Definicja mapy[edytuj]

Przedstawienie dwóch zgodnych map na rozmaitości wraz z przekształceniem przejścia. Zbiór Uα zaznaczono na czerwono, Uβ na niebiesko, a ich część wspólną Uα, β na fioletowo; przekształcenie przejścia φα, β (strzałka po prawej) jest zdefiniowane jako złożenie φα-1 (φα to górna strzałka) oraz φβ (dolna strzałka).

Niech dana będzie rozmaitość M o wymiarze n. Niech U będzie otwartym podzbiorem M.

Mapą na rozmaitości M w otoczeniu U nazywa się parę (U, φ), gdzie

jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór V przestrzeni .

Sklejanie map (przekształcenie przejścia)[edytuj]

Dla dwóch map i na M o tej własności, że zbiór

jest niepusty, definiuje się przekształcenie przejścia („sklejenie”)

dane wzorem:

Przekształcenia i są homeomorfizmami, więc ich przekształcenia przejścia są również homeomorfizmami. W ten sposób przekształcenia przejścia również są wyposażone w pewien rodzaj zgodności w tym sensie, iż przejście od układu współrzędnych zadanego jedną z map do układu współrzędnych zadanego na drugiej jest ciągłe.

Zgodność gładka map[edytuj]

Dwie nakładające się mapy oraz nazywa się zgodnymi w sposób gładki, jeśli przekształcenie przejścia między nimi jest nieskończenie wiele razy różniczkowalne.

Definicja atlasu[edytuj]

Zbiór map na które stanowią pokrycie zbioru tj. , nazywany jest atlasem rozmaitości M.

Jeśli przeciwdziedziny wszystkich map są n-dimensional przestrzeniami euklidesowymi o tym samym wymiarze n, to o rozmaitości M mówimy, że jest rozmaitością n-wymiarową.

Własność atlasu[edytuj]

Każdy podzbiór przestrzeni euklidesowej ma atlas przeliczalny (twierdzenie Lindelöfa).

Atlas gładki. Atlasy zgodne. Atlas maksymalny.[edytuj]

1) Atlasem gładkim na nazywa się atlas, dla którego żąda się dodatkowo, by dla dowolnych dwóch nakładających się map na przekształcenie przejścia między nimi było zgodne w sposób gładki.

2) Atlasy oraz na nazywa się zgodnymi w sposób gładki, jeśli wszystkie mapy z które nakładają się na mapy z , są zgodne w sposób gładki.

3) Atlas utworzony z atlasów oraz zgodnych w sposób gładki również jest atlasem gładkim na

4) Atlasem maksymalnym nazywa się relację równoważności atlasów zgodnych w sposób gładki.

5) Rozmaitości wraz z atlasem maksymalnym nazywa się rozmaitością o gładkiej strukturze.

Istnieją przykłady rozmaitości topologicznych wyższych wymiarów mające wiele różnych struktur gładkich. Jednym z pierwszych przykładów było odkrycie Johna Milnora sfery egzotycznej – 7-rozmaitości homeomorficznej, lecz nie dyfeomorficznej z 7-sferą.

W ogólności działanie na atlasach maksymalnych rozmaitości jest niewygodne; do pracy wystarczy wybrać jeden atlas gładki. Atlasy maksymalne potrzebne są do jednoznacznego zdefiniowania przekształceń gładkich z jednej rozmaitości w drugą.

Struktura niegładka i analityczna[edytuj]

Wymagania różniczkowalności funkcji przejścia można osłabić, wymagając jedynie, by były one różniczkowalne w sposób ciągły tylko k-krotnie; można jest także wzmocnić, aby były analityczne (w sensie rzeczywistym). Daje to odpowiednio strukturę Ck lub strukturę analityczną na rozmaitości zamiast struktury gładkiej.

Podobnie definiuje się struktury różniczkowe na rozmaitości zespolonej wymagając, by przekształcenia przejścia były holomorficzne.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]

  • Atlas autorstwa Todda Rowlanda