Baza ortonormalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Baza funkcyjna)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Baza ortonormalna – zbiór wektorów w przestrzeni unitarnej H z iloczynem skalarnym o następujących własnościach:

  • dla każdego (tj. każdy element ma normę 1),
  • ortogonalność: dla różnych ,
  • domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru jest całą przestrzenią H.

Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.

Przykłady[edytuj]

  • Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej .
  • Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem.
  • Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej . Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
  • Bazą ortonormalną przestrzeni , gdzie jest dowolnym zbiorem, jest rodzina , gdzie:

Podstawowe wzory[edytuj]

Jeżeli jest bazą ortonormalną przestrzeni H, to dowolny wektor h tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:

.

Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.

Normę wektora h można wyrazić za pomocą równości:

.

Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.

Przestrzeń Hilberta H z bazą jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią , gdzie jest dowolnym zbiorem równolicznym z .

Istnienie bazy ortonormalnej[edytuj]

Jeżeli jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta , to domknięcie powłoki liniowej zbioru jest podprzestrzenią liniową H. Zbiór jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.

Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna można uzasadnić, że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną[1]. Istnieją przestrzenie unitarne bez bazy ortonormalnej[2].

Ortogonalizacja[edytuj]

Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta.

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  1. Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book. New York: Springer-Verlag, 1982, seria: Graduate Texts in Mathematics 19. ISBN 978-1-4684-9332-0.