Baza ortonormalna

Baza ortonormalna – zbiór wektorów ${\mathcal {E}}$ w przestrzeni unitarnej H z iloczynem skalarnym $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ o następujących własnościach:

• $\|e\|^{2}=\langle e,e\rangle =1$ dla każdego $e\in {\mathcal {E}}$ (tj. każdy element ma normę 1),
• ortogonalność: $\langle e_{1},e_{2}\rangle =0$ dla różnych $e_{1},e_{2}\in {\mathcal {E}}$,
• domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru ${\mathcal {E}}$ jest całą przestrzenią H.

Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.

Przykłady

• Zbiór $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{3}$.
• Zbiór $\{(1,0,0,\ldots ),(0,1,0,\ldots ),(0,0,1,\ldots )\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $\ell _{2}$ wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem.
• Zbiór $\{e^{2\pi in}\colon n\in \mathbb {Z} \}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej $L_{2}([0,1])$. Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
• Bazą ortonormalną przestrzeni $\ell _{2}(I)$, gdzie $I$ jest dowolnym zbiorem, jest rodzina $\{e_{i}\colon \,i\in I\}$, gdzie:

$e_{i}(j)={\begin{cases}1&j=i\\0&j\neq i\end{cases}}.$

Podstawowe wzory

Jeżeli ${\mathcal {E}}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni H, to dowolny wektor h tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:

$h=\sum _{e\in {\mathcal {E}}}\langle h,e\rangle e$.

Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.

Normę wektora h można wyrazić za pomocą równości:

$\|h\|^{2}=\sum _{e\in {\mathcal {E}}}|\langle h,e\rangle |^{2}$.

Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy ${\mathcal {E}}$ jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.

Przestrzeń Hilberta H z bazą ${\mathcal {E}}$ jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią $\ell _{2}(I)$, gdzie $I$ jest dowolnym zbiorem równolicznym z ${\mathcal {E}}$.

Istnienie bazy ortonormalnej

Jeżeli ${\mathcal {E}}$ jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta $H$, to domknięcie powłoki liniowej zbioru ${\mathcal {E}}$ jest podprzestrzenią liniową H. Zbiór ${\mathcal {E}}$ jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.

Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna można uzasadnić, że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną. Istnieją przestrzenie unitarne bez bazy ortonormalnej.

Ortogonalizacja

Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta.

Bibliografia

1. Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book. New York: Springer-Verlag, 1982, seria: Graduate Texts in Mathematics 19. ISBN 978-1-4684-9332-0.