Baza ortonormalna

Baza ortonormalna – zbiór wektorów ${\mathcal {E}}$${\mathcal {E}}$ w przestrzeni unitarnej $H$$H$ z iloczynem skalarnym $\langle \cdot ,\cdot \rangle$$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ o następujących własnościach:

• $\|e\|={\sqrt {\langle e,e\rangle }}=1$$\|e\|=\sqrt{\langle e, e\rangle}=1$ dla każdego $e\in {\mathcal {E}}$$e\in \mathcal{E}$
• ortogonalność: $\langle e_{1},e_{2}\rangle =0$$\langle e_1, e_2\rangle = 0$ dla różnych $e_{1},e_{2}\in {\mathcal {E}}$$e_1, e_2\in \mathcal{E}$
• domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru ${\mathcal {E}}$${\mathcal {E}}$ jest całą przestrzenią $H$$H$.

Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.

Przykłady

• Zbiór $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$$\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{3}.$$\mathbb {R} ^{3}.$
• Zbiór $\{(1,0,0,...),(0,1,0,...),(0,0,1,...)\}$$\{(1,0,0,...),(0,1,0,...),(0,0,1,...)\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $\ell ^{2}$$\ell ^{2}$ wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem
• Zbiór $\{e^{2\pi in}:n\in \mathbb {Z} \}$$\{e^{2\pi in}:n\in \mathbb {Z} \}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej $L^{2}([0,1])$$L^{2}([0,1])$. Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
• Bazą ortonormalną przestrzeni $\ell ^{2}(I)$$\ell ^{2}(I)$, gdzie $I$$I$ jest dowolnym zbiorem, jest rodzina $\{e_{i}\colon \,i\in I\}$$\{e_{i}\colon \,i\in I\}$, gdzie:

$e_{i}(j)={\begin{cases}1&j=i\\0&j\neq i\end{cases}}.$$e_{i}(j)={\begin{cases}1&j=i\\0&j\neq i\end{cases}}.$

Podstawowe wzory

Jeżeli ${\mathcal {E}}$${\mathcal {E}}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $H$$H$, to dowolny wektor $h$$h$ tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:

$h=\sum _{e\in {\mathcal {E}}}\langle h,e\rangle e$$h=\sum _{e\in {\mathcal {E}}}\langle h,e\rangle e$.

Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.

Normę wektora $h$$h$ można wyrazić za pomocą równości:

$\|h\|^{2}=\sum _{e\in {\mathcal {E}}}|\langle h,e\rangle |^{2}$$\|h\|^{2}=\sum _{e\in {\mathcal {E}}}|\langle h,e\rangle |^{2}$.

Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy ${\mathcal {E}}$${\mathcal {E}}$ jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.

Przestrzeń Hilberta $H$$H$ z bazą ${\mathcal {E}}$${\mathcal {E}}$ jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią $\ell ^{2}(I)$$\ell ^{2}(I)$, gdzie $I$$I$ jest dowolnym zbiorem równolicznym z ${\mathcal {E}}$${\mathcal {E}}$

Istnienie bazy ortonormalnej

Jeżeli ${\mathcal {E}}$${\mathcal {E}}$ jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta $H$$H$, to domknięcie powłoki liniowej zbioru ${\mathcal {E}}$${\mathcal {E}}$ jest podprzestrzenią liniową $H.$$H.$ Zbiór ${\mathcal {E}}$${\mathcal {E}}$ jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.

Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna można uzasadnić, że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną.

Ortogonalizacja

Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta.