Baza ortonormalna
Baza ortonormalna – zbiór wektorów w przestrzeni unitarnej H z iloczynem skalarnym o następujących własnościach:
- dla każdego (tj. każdy element ma normę 1),
- ortogonalność: dla różnych ,
- domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru jest całą przestrzenią H.
Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.
Spis treści
Przykłady[edytuj | edytuj kod]
- Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej .
- Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem.
- Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej . Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
- Bazą ortonormalną przestrzeni , gdzie jest dowolnym zbiorem, jest rodzina , gdzie:
Podstawowe wzory[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli jest bazą ortonormalną przestrzeni H, to dowolny wektor h tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:
- .
Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.
Normę wektora h można wyrazić za pomocą równości:
- .
Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.
Przestrzeń Hilberta H z bazą jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią , gdzie jest dowolnym zbiorem równolicznym z .
Istnienie bazy ortonormalnej[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta , to domknięcie powłoki liniowej zbioru jest podprzestrzenią liniową H. Zbiór jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.
Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna można uzasadnić, że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną[1]. Istnieją przestrzenie unitarne bez bazy ortonormalnej[2].
Ortogonalizacja[edytuj | edytuj kod]
Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta.
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Halmos 1982 ↓, s. 8.
- ↑ Halmos 1982 ↓, s. 54.
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book. New York: Springer-Verlag, 1982, seria: Graduate Texts in Mathematics 19. ISBN 978-1-4684-9332-0.