Baza przestrzeni topologicznej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Baza przestrzeni topologicznej – dla danej przestrzeni topologicznej X, rodzina otwartych podzbiorów przestrzeni X o tej własności, że każdy zbiór otwarty w X można przedstawić w postaci sumy pewnej podrodziny zawartej w bazie. Każda przestrzeń topologiczna ma bazę – jeżeli τ jest topologią w zbiorze X, to jest ona również (trywialnie) jej bazą. Obrazowo, baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych, że każdy niepusty i otwarty podzbiór tej przestrzeni można wysumować przy pomocy pewnych (być może nieskończenie wielu) elementów bazy. W praktyce matematycznej związanej z badaniem własności konkretnych przestrzeni topologicznych, istotnym zagadnieniem jest pytanie o minimalną moc bazy przestrzeni (zob. ciężar przestrzeni poniżej). Tak zdefiniowane pojęcie nosi też czasem nazwę bazy otwartej (zob. też baza domknięta poniżej). Pojęcia pokrewne pojęciu bazy przestrzeni topologicznej to, na przykład, π-baza, podbaza czy pseudobaza.

Przykłady[edytuj]

  • rodzina wszystkich przedziałów otwartych na prostej rzeczywistej jest bazą w naturalnej topologii prostej (tj. topologii wyznaczonej przez metrykę); bazą tej topologii jest również rodzina wszystkich ograniczonych przedziałów otwartych o końcach wymiernych.
  • rodzina wszystkich kul otwartych w dowolnej przestrzeni metrycznej jest bazą w naturalnej (tj. metrycznej) topologii tej przestrzeni,
  • rodzina wszystkich kwadratów otwartych na płaszczyźnie jest bazą płaszczyzny w topologii euklidesowej.
  • rodzina wszystkich przedziałów postaci [a, b), gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi i a<b jest bazą topologii w zbiorze liczb rzeczywistych, nazywaną topologią strzałki.

Własności bazy przestrzeni[edytuj]

Podstawowe własności bazy:

  • Jeżeli i są takimi elementami bazy, że , to w zbiorze zawarty jest pewien niepusty element bazy.
  • Dla każdego punktu przestrzeni, jego dowolne otoczenie zawiera element bazy, który zawiera ten punkt.
  • Przekształcenie jest ciągłe (X i Y są przestrzeniami topologicznymi), gdy jest zbiorem otwartym dla każdego dla pewnej bazy przestrzeni Y. Podobnie, przekształcenie jest otwarte wtedy i tylko wtedy, gdu istnieje taka baza przestrzeni X, że zbiór jest zbiorem otwartym w Y.
  • Jeżeli są bazami odpowiednio przestrzeni , to zdefiniowana niżej rodzina zbiorów jest bazą przestrzeni
.
  • Rodzina podzbiorów zbioru jest bazą pewnej topologii w wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące dwa warunki:
    • dla dowolnych [1].

Ciężar przestrzeni[edytuj]

Ciężarem (albo wagą, rzadziej ciężkością) przestrzeni topologicznej X nazywamy najmniejszą liczbę kardynalną o tej własności, że istnieje w tej przestrzeni baza przestrzeni X mocy . Innymi słowy,

– baza przestrzeni
  • Ciężar przestrzeni dyskretnej jest równy jej mocy.
  • Ciężar każdej przestrzeni euklidesowej wynosi .
  • Ciężar prostej Sorgenfreya wynosi continuum.
  • Jeżeli X jest przestrzenią regularną, to , gdzie oznacza gęstość przestrzeni X.
  • Jeżeli jest przestrzenią topologiczną o ciężarze większym niż 1, dla każdego oraz zbiór S jest nieskończony, to
.
  • Jeżeli oznacza ciężar siecowy przestrzeni X, to . Jeżeli X jest przestrzenią zwartą, to .
  • Jeżeli X jest przestrzenią zwartą, to , a jeżeli ponadto przestrzeń Y jest obrazem ciągłym przestrzeni zwartej X, to .
  • Jeżeli X i Y są przestrzeniami topologicznymi, a w rozpatruje się topologię zwarto-otwartą lub topologię zbieżności punktowej, to . Ponadto, jeżeli jest nieskończoną liczbą kardynalną oraz X jest przestrzenią lokalnie zwartą, to ciężar przestrzeni z topologią zwarto-otwartą nie przekracza .

Baza domknięta[edytuj]

Analogicznie do bazy otwartej można określić bazę domkniętą przestrzeni topologicznej. Jest to taka rodzina, że każdy zbiór domknięty jest częścią wspólną jej pewnej podrodziny.

Przypisy

  1. Włodzimierz Holsztyński, Wstęp do topologii, Komentarz do wykładu dla studentów II roku matematyki U.W., Uniwersytet Warszawski, Warszawa 1968

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]