Całka Bochnera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całka Bochnera – rozszerzenie pojęcia całki oznaczonej o funkcje przybierające wartości w przestrzeni Banacha. Wprowadzona w 1933 roku przez Salomona Bochnera.

Definicja[edytuj]

Niech będzie przestrzenią z miarą, oraz niech będzie przestrzenią Banacha.

  • Funkcję nazywamy uogólnioną funkcją prostą, gdy zbiór jest przeliczalny oraz dla każdego .
  • Funkcję nazywamy całkowalną w sensie Bochnera, gdy istnieje taki ciąg uogólnionych funkcji prostych , że
  1. dla -p.w. ,
  2. ,
  3. .

Jeżeli jest całkowalna w sensie Bochnera, to punkt

określony wzorem

,

gdzie jest dowolnym ciągiem uogólnionych funkcji prostych o własnościach 2. i 3., nazywamy całką Bochnera funkcji względem miary .

Charakteryzacja klasy funkcji całkowalnych w sensie Bochnera[edytuj]

Niech . Każde z następujących zdań jest równoważne:

  • jest całkowalna w sensie Bochnera.
  • jest -mierzalna i spełniony jest warunek 1.
  • Istnieje ciąg -mierzalnych uogólnionych funkcji prostych i taki podzbiór -mierzalny , że oraz ciąg jest jednostajnie zbieżny do funkcji i spełnione są warunki 2. i 3.

Właściwości[edytuj]

Wiele właściwości całki Lebesgue występuje również dla dla całki Bochnera. Przykładem jest kryterium całkowalności w sensie Bochnera, które mówi, że jeśli jest miarą skończoną, to funkcja jest całkowalna w sensie Bochnera wtedy i tylko wtedy, gdy

Jeżeli funkcja jest całkowalna w sensie Bochnera, to jest całkowalna w sensie Pettisa i obie całki są równe.

Bibliografia[edytuj]