Całka Daniella-Stone’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całka Daniella-Stone’a – model konstrukcji całki zaproponowany w 1918 przez Daniella i Stone’a jako uogólnienie teorii całki Riemanna. Obecnie większą popularnością wśród matematyków cieszy się model zaproponowany przez Lebesgue’a. Względną zaletą modelu Daniella-Stone’a jest brak bezpośredniego odwołania do aparatu teorii miary.

Definicja[edytuj]

Niech będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał nazywamy dodatnim, jeśli dla każdej zachodzi .

Funkcjonał liniowy, dodatni, monotonicznie ciągły, określony na pewnej elementarnej rodzinie funkcji nazywamy całką Daniella-Stone’a. Funkcje z rodziny nazywamy funkcjami elementarnymi tej całki.

Zamiast całkę Daniella-Stone’a oznaczamy także

Przykłady[edytuj]

  • Niech będzie przedziałem liczbowym postaci ; E=C([a,b]), tzn. E jest przestrzenią funkcji ciągłych na . W przypadku, gdy
,
to całka Daniella-Stone’a jest po prostu całką Riemanna.
  • Niech będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą oraz niech oznacza zbiór funkcji ciągłych o zwartych nośnikach na . Jeśli jest funkcjonałem liniowym, dodatnim i ciągłym przy zbieżności niemal jednostajnej, to na mocy twierdzenia Diniego jest monotonicznie ciągły, czyli będzie całką Daniella-Stone’a. Całkę tę nazywamy całką Radona na przestrzeni lokalnie zwartej .
  • W poprzednim przykładzie przyjmijmy . Niech będzie przestrzenią ciągów o skończonej liczbie wyrazów niezerowych. Dla można przyjąć
.
  • Niech będzie zbiorem niepustym oraz niech będzie rodziną wszystkich funkcji rzeczywistych na X. Ponadto niech dany będzie punkt ze zbioru . Dla można zdefiniować ; inne oznaczenie (por. delta Diraca), to
.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
  • Percy John Daniell: A general form of integral. Annals of Mathematics 19, 1918.