Całka Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Wykres funkcji Pole obszaru zawartego między wykresem funkcji a osią jest równe

Całka Gaussa znana także jako całka Eulera-Poissonacałka z funkcji Gaussa na całej prostej. Jej nazwa pochodzi od niemieckiego matematyka i fizyka Carla Friedricha Gaussa. Jest to całka

Całka ta ma szeroki zakres zastosowań. Przy niewielkiej zmianie zmiennych jest używana do obliczania normalizacji stałej rozkładu normalnego. Ta sama całka ze skończonymi granicami jest ściśle związania zarówno z funkcją błędu, jak i dystrybuantą rozkładu normalnego. W fizyce tego typu całki pojawiają się często, np. w mechanice kwantowej, i są wykorzystywane do znajdowania gęstości prawdopodobieństwa stanu podstawowego oscylatora harmonicznego, również przy znajdowaniu propagatora dla oscylatora harmonicznego wykorzystujemy tę całkę.

Chociaż nie istnieje żadna elementarna funkcja dla funkcji błędu, co może być sprawdzone za pomocą algorytmu Rischa, całkę Gaussa można rozwiązać analitycznie za pomocą metod wielowymiarowego rachunku. Oznacza to, nie można wyliczyć całki nieoznaczonej

ale całka oznaczona

może być oszacowana.

Całka Gaussa znajduje liczne zastosowania w fizyce, a liczne uogólnienia całki są stosuje się w kwantowej teorii pola.

Obliczanie całki Gaussa[edytuj | edytuj kod]

Przez współrzędne biegunowe[edytuj | edytuj kod]

Standardowy sposób obliczania całki Gaussa, którego pomysł pochodzi od Poissona[1], wykorzystuje następujące równości

Rozważmy funkcję na płaszczyźnie i obliczmy tę całkę, korzystając z dwóch narzędzi

  1. przez podwójne całkowanie w układzie współrzędnych kartezjańskich całka ta jest kwadratem
  2. poprzez całkowanie po powierzchni (w przypadku całki podwójnej w układzie współrzędnych biegunowych) całka ta jest wyliczona i wynosi

Wykorzystując powyższe narzędzia do obliczeń, otrzymujemy

gdzie współczynnik pochodzi z przejścia do współrzędnych biegunowych ( jest standardową miarą na płaszczyźnie wyrażoną we współrzędnych biegunowych), a podstawienie polega na wzięciu stąd

Uzyskujemy

stąd

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Aby uzasadnić całki podwójne niewłaściwe i przyrównać do siebie te dwa wyrażenia, zaczynamy od aproksymacji funkcji

Jeżeli całka

byłaby bezwzględnie zbieżna, mielibyśmy, że jej wartością główną jest granica

która pokrywa się z

Istotnie, zauważmy

Więc wyliczyliśmy całkę

przez wzięcie granicy

Biorąc kwadrat wyrażenia dostajemy

Korzystając z twierdzenia Fubiniego, powyższa całka może być postrzegana jako całka powierzchniowa

po kwadracie o wierzchołkach na płaszczyźnie

Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje wartości większe od 0 dla wszystkich liczb rzeczywistych, całka po okręgu wpisanym w kwadrat musi być mniejsza niż Podobnie całka po okręgu opisanym na kwadracie musi być większa niż Całki te mogą być łatwo obliczone poprzez przejście ze współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych biegunowych

(Zobacz: przejście ze współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych biegunowych).

Całkując, otrzymujemy

Z twierdzenia o trzech ciągach, otrzymujemy, że całka Gaussa

Przez współrzędne kartezjańskie[edytuj | edytuj kod]

Inna technika, pochodząca od Laplace’a (1812)[1], jest następująca. Niech

Ponieważ granica z przy zależy od znaku zmiennej to upraszcza rachunki, korzystając z faktu, że jest funkcją parzystą, zatem całka nad zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych jest po prostu podwojeniem całki od do tj.

Tak więc w całym zakresie całkowania mamy a zmienne i mają te same ograniczenia. To daje nam

Zatem jak oczekiwaliśmy.

Związek z funkcją gamma[edytuj | edytuj kod]

Podcałkowa jest funkcją parzystą

Tak więc, po zmianie zmiennej zamienia się w całkę Eulera

gdzie jest funkcją gamma. To pokazuje dlaczego silnia z połowy jest rzeczywistą wielokrotnością

Ogólniej

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Całka z funkcji Gaussa[edytuj | edytuj kod]

Całką z funkcji Gaussa jest

Alternatywną całką jest

Całka ta jest bardzo przydatna w obliczaniu wartości oczekiwanych niektórych ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa dotyczących rozkładu normalnego. Zobacz np. wartość oczekiwana rozkładu logarytmicznie normalnego.

n-wymiarowe uogólnienie funkcjonalne[edytuj | edytuj kod]

Zobacz: wielowymiarowy rozkład normalny

Przypuśćmy, że jest macierzą symetryczną dodatnio określoną (stąd odwracalną). Wtedy

gdzie ta całka jest rozumiana jako całka na zbiorze Fakt ten jest stosowany w badaniach wielowymiarowego rozkładu normalnego.

Ponadto

gdzie jest permutacją a dodatkowy czynnik po prawej stronie to suma wszystkich kombinatorycznych par z z kopii

Alternatywnie,

dla pewnej analitycznej funkcji pod warunkiem, że spełnia ona pewne ograniczenia dotyczące jej przyrostu oraz niektóre inne kryteria techniczne (to działa dla niektórych funkcji, np. wielomianów). Eksponenta pod całką jest rozumiana jako szereg potęgowy.

Podczas gdy całki funkcjonalne nie mają ścisłej definicji (lub nawet nieścisłe wyliczenie w większości przypadków), można zdefiniować funkcjonalną całkę Gaussa w sposób analogiczny jak w przypadku skończenie wymiarowym. Nadal istnieje jednak problem, że liczba jest nieskończona oraz że wyznacznik funkcyjny byłby w ogóle nieskończony. Ten problem może zostać rozwiązany, jeśli weźmiemy pod uwagę stosunek

W notacji DeWitta to równanie wygląda identycznie jak w przypadku skończenie wymiarowym.

n-wymiarowe wyrażenie liniowe[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli A jest dodatnio określoną macierzą symetryczną, to (zakładając, że wszystkie kolumny są wektorami)

Pokrewne całki[edytuj | edytuj kod]

gdzie jest liczbą całkowitą dodatnią.

Łatwym sposobem na wyliczenie tej całki jest różniczkowanie pod znakiem całki

Wyliczając tę całkę, można również zastosować całkowanie przez części i następnie znaleźć funkcję rekurencyjną.

Wielomiany wyższego stopnia[edytuj | edytuj kod]

Eksponenta wielomianów wyższego stopnia może być łatwo obliczona przy wykorzystaniu szeregów. Na przykład całka z eksponenty z wielomianu stopnia czwartego jest

Zauważmy, że warunek jest słuszny, ponieważ całka od do dokłada czynnik do każdego składnika, podczas gdy całka od do dokłada do każdego składnika. Tego typu całki wykorzystuje się m.in. w kwantowej teorii pola.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]