Całka Riemanna-Stieltjesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Całka Riemanna-Stieltjesa stanowi uogólnienie całki Riemanna[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Całkę Riemanna-Stieltjesa funkcji rzeczywistej względem funkcji na przedziale oznacza się symbolem

i definiuje jako granice po wszystkich podziałach

o średnicach zbiegających do zera z następujących sum całkowych

gdzie

Przez granicę sum całkowych rozumie się liczbę (zwaną wartością całki Riemanna-Stieltjesa) taką, że dla każdego istnieje liczba taka, że dla każdego podziału o średnicy i dowolnych zachodzi

Całka Riemanna-Stieltjesa a całka Riemanna[edytuj | edytuj kod]

Jeśli to wprost z definicji widać, że całka jest całką Riemanna Prawdziwy jest ogólniejszy fakt – jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny, to

W powyższej równości całka po prawej stronie to całka Riemanna.

Całka Riemanna-Stieltjesa a wahanie funkcji[edytuj | edytuj kod]

Wprost z definicji całki Riemanna-Stieltjesa i wahania funkcji otrzymujemy następującą zależność

Zatem jeśli nie ma wahania skończonego, to całka nie istnieje. Stąd w rozważaniach nad całką Riemanna-Stieltjesa z reguły zakłada się, że ma wahanie skończone. Jeśli ma wahanie skończone, to jest różnicą dwóch funkcji monotonicznych i wówczas

Z tego względu często rozważa się własności całki Riemanna-Stieltjesa względem funkcji monotonicznych by następnie korzystając z powyższego wzoru przejść do ogólnych rozważań.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. całka Stieltjesa, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-04].