Całka Riemanna-Stieltjesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całka Riemanna-Stieltjesa stanowi uogólnienie całki Riemanna.

Definicja[edytuj]

Całkę Riemanna-Stieltjesa funkcji rzeczywistej ƒ względem funkcji g na przedziale [a,b] oznacza się symbolem

i definiuje jako granice po wszystkich podziałach

o średnicach zbiegających do zera z następujących sum całkowych

gdzie .

Przez granicę sum całkowych rozumie się liczbę A (zwaną wartością całki Riemanna-Stieltjesa) taką, że dla każdego istnieje liczba taka, że dla każdego podziału o średnicy i dowolnych zachodzi

Całka Riemanna-Stieltjesa a całka Riemanna[edytuj]

Jeśli g(x)=x, to wprost z definicji widać, że całka jest całką Riemanna . Prawdziwy jest ogólniejszy fakt - jeśli g jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny, to

.

W powyższej równości całka po prawej stronie to całka Riemanna.

Całka Riemanna-Stieltjesa a wahanie funkcji[edytuj]

Wprost z definicji całki Riemanna-Stieltjesa i wahania funkcji otrzymujemy następującą zależność

.

Zatem jeśli g nie ma wahania skończonego, to całka nie istnieje. Stąd w rozważaniach nad całką Riemanna-Stieltjesa z reguły zakłada się, że g ma wahanie skończone. Jeśli g(x) ma wahanie skończone, to jest różnicą h(x)-j(x)dwóch funkcji monotonicznych i wówczas

.

Z tego względu często rozważa się własności całki Riemanna-Stieltjesa względem funkcji monotonicznych g, by następnie korzystając z powyższego wzoru przejść do ogólnych rozważań.