Całkowa nierówność Jensena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całkowa nierówność Jensena

Definicja[edytuj]

Niech będzie funkcją wypukłą, będzie zbiorem o dodatniej mierze, oraz będzie funkcją całkowalną. Niech oznacza miarę zbioru . Wówczas zachodzi nierówność:

Dowód[edytuj]

Ponieważ f jest funkcją wypukłą, to na mocy twierdzenia o hiperpłaszczyźnie podpierającej: (1)

Zatem podstawiając oraz nierówność w zdaniu (1) przekształca się do postaci:

Następnie całkując stronami względem po zbiorze i na mocy zależności oraz :

cnd.

Bibliografia[edytuj]

  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.