Całkowanie przez części

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całkowanie przez części to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek postaci:

\int f(x) g(x) dx\;

Jeśli potrafimy znaleźć takie h(x), że h' (x) = f(x), to możemy przekształcić tę całkę do postaci:

\int f(x) g(x) dx = \int h'(x) g(x) dx = h(x)g(x) - \int h(x) g' (x) dx

W przypadku całek oznaczonych granice całkowania uwzględnia się także w części równania zostającej poza całką:

\int\limits_a^b h'(x) g(x) dx = \left[h(x) g(x)\right]_a^b - \int\limits_a^b h(x) g'(x) dx

Często stosuje się zapis skrócony wzoru:

\int u dv = uv-\int v du.

Dowód[edytuj]

Metoda całkowania przez części wynika ze wzoru na pochodną iloczynu:

 \left(h(x)g(x)\right)' = h(x)g'(x) + h'(x)g(x)
 h'(x)g(x) = \left(h(x)g(x)\right)' -  h(x)g'(x)
 \int h'(x)g(x) dx = h(x)g(x) - \int h(x)g'(x) dx

Całki pętlące się (zwrotne)[edytuj]

W przypadku całki z iloczynu funkcji, których kolejne pochodne powtarzają się okresowo, mamy do czynienia z tzw. całką pętlącą się (zwrotną), np.:

\int e^x \cos(x)dx = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x)dx = e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) dx

Całka w wyrażeniu po prawej stronie równa się całce po lewej stronie, więc

2 \int e^x \cos(x)dx = e^x (\cos(x)+\sin(x)) + C
\int e^x \cos(x)dx = \tfrac12 e^x (\cos(x)+\sin(x)) + C'

Zobacz też[edytuj]