Całkowanie przez części

Całkowanie przez części to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek postaci:

$\int f(x)g(x)dx.$

Jeśli potrafimy znaleźć takie $h(x),$ że $h'(x)=f(x),$ to możemy przekształcić tę całkę do postaci:

$\int f(x)g(x)dx=\int h'(x)g(x)dx=h(x)g(x)-\int h(x)g'(x)dx.$

W przypadku całek oznaczonych granice całkowania uwzględnia się także w części równania zostającej poza całką:

$\int \limits _{a}^{b}h'(x)g(x)dx=\left[h(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}h(x)g'(x)dx.$

Często stosuje się zapis skrócony wzoru:

$\int udv=uv-\int vdu.$

Dowód

Metoda całkowania przez części wynika ze wzoru na pochodną iloczynu:

$\left(h(x)g(x)\right)'=h(x)g'(x)+h'(x)g(x),$

$h'(x)g(x)=\left(h(x)g(x)\right)'-h(x)g'(x),$

$\int h'(x)g(x)dx=h(x)g(x)-\int h(x)g'(x)dx.$

Całki pętlące się (zwrotne)

W przypadku całki z iloczynu funkcji, których kolejne pochodne powtarzają się okresowo, mamy do czynienia z tzw. całką pętlącą się (zwrotną), np.:

$\int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)dx.$

Całka w wyrażeniu po prawej stronie równa się całce po lewej stronie, więc

$2\int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}(\cos(x)+\sin(x))+C,$

$\int e^{x}\cos(x)dx={\tfrac {1}{2}}e^{x}(\cos(x)+\sin(x))+C'.$

Zobacz też

• całkowanie przez podstawienie

Linki zewnętrzne

• Nagrania na YouTube [dostęp 2025-10-27]:
  • Helena Kazieko, Całkowanie przez części, kanał Nauka / Science SGGW , 5 maja 2020.
  • Paweł Lubowiecki, Całka nieoznaczona cz. III. – Całkowanie przez części, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT”, 7 czerwca 2022.
  • Analiza – całkowanie przez części, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku”.
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Integration by Parts, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-07-16].
• Integration by parts (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].