Całkowanie przez podstawienie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Opis metody[edytuj | edytuj kod]

Jeśli:

  • Funkcja jest różniczkowalna w
  • jest przedziałem
  • Funkcja ma funkcję pierwotną w przedziale tzn. dla należących do

to funkcja jest całkowalna w oraz:

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

to można zmienić podstawę całkowania na :

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:

  • Funkcja jest całkowalna w swej dziedzinie.
  • Funkcja określona na przedziale jest różniczkowalna w sposób ciągły.
  • dla każdego z przedziału
  • Obraz funkcji zawiera się w dziedzinie funkcji

Wówczas:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Obliczając całkę zastosować można podstawienie tzn. więc:
  • Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

Przydatne podstawienia[edytuj | edytuj kod]

Całkowanie funkcji trygonometrycznych[edytuj | edytuj kod]

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

  • W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
  • Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus (), stosuje się podstawienie
  • Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus (), stosuje się podstawienie
  • Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie (), stosuje się podstawienie

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

zachodzi:

W przypadku podstawienia mamy dla funkcji postaci :

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

Podstawienia Eulera[edytuj | edytuj kod]

Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera[edytuj | edytuj kod]

I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: Wobec tego otrzymuje się:

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:

II podstawienie Eulera[edytuj | edytuj kod]

II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:

Zachodzi:

Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się:

Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:

Wtedy gdy to da się tak dobrać aby

III podstawienie Eulera[edytuj | edytuj kod]

III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu Przyjmuje się wtedy:

Stąd:

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:

Całkowanie różniczek dwumiennych[edytuj | edytuj kod]

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: gdzie i są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz i są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto gdzie są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

  • gdy jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
  • gdy jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie
  • gdy jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie

Podstawienia trygonometryczne[edytuj | edytuj kod]

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

  • – podstawiamy lub
  • – podstawiamy lub
  • – podstawiamy lub

Inne podstawienia[edytuj | edytuj kod]

  • Całki typu obliczamy przez podstawienie Stąd:
  • Całki typu gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p1, p2, ..., pn.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]