Całkowanie przez podstawienie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Opis metody[edytuj]

Jeśli:

  • Funkcja jest różniczkowalna w
  • jest przedziałem
  • Funkcja ma funkcję pierwotną w przedziale , tzn. dla należących do

to funkcja jest całkowalna w oraz:

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

,

to można zmienić podstawę całkowania na :

.

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:

  • Funkcja jest całkowalna w swej dziedzinie.
  • Funkcja określona na przedziale jest różniczkowalna w sposób ciągły.
  • dla każdego z przedziału .
  • Obraz funkcji zawiera się w dziedzinie funkcji .

Wówczas:

Przykłady[edytuj]

  • Obliczając całkę , zastosować można podstawienie , tzn., więc:
.
  • Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:
.

Przydatne podstawienia[edytuj]

Całkowanie funkcji trygonometrycznych[edytuj]

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

  • W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne . Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
  • Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus (), stosuje się podstawienie
  • Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus (), stosuje się podstawienie
  • Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie (), stosuje się podstawienie

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

zachodzi:

W przypadku podstawienia mamy dla funkcji postaci : ,

Przykłady[edytuj]

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

Podstawienia Eulera[edytuj]

Podstawienia Eulera stosujemy przy obliczaniu całek funkcji postaci , gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera[edytuj]

I podstawienie stosować można, gdy a>0. Przyjmujemy wtedy: . Wobec tego otrzymujemy:

,
.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy: .

II podstawienie Eulera[edytuj]

II podstawienie stosować można, gdy c>0. Przyjmujemy wówczas: . Mamy zatem:

,

.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, otrzymujemy: .

Jeżeli drugie podstawienie Eulera zapiszemy następująco to gdy to da się tak dobrać aby

III podstawienie Eulera[edytuj]

III podstawienie stosować można, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu . Przyjmujemy wtedy: . Stąd:

,
.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy:

Całkowanie różniczek dwumiennych[edytuj]

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: , gdzie i są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz i są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto , gdzie są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

  • gdy jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
  • gdy jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie .
  • gdy jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie .

Podstawienia trygonometryczne[edytuj]

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

  • - podstawiamy lub
  • - podstawiamy lub
  • - podstawiamy lub

Inne podstawienia[edytuj]

  • Całki typu obliczamy przez podstawienie . Stąd: .
  • Całki typu , gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając , gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p1, p2, ..., pn.

Zobacz też[edytuj]