Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.
Jeśli:
- Funkcja
jest różniczkowalna w 
jest przedziałem
- Funkcja
ma funkcję pierwotną w przedziale
tzn.
dla
należących do 

to funkcja
jest całkowalna w
oraz:

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

to można zmienić podstawę całkowania na

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:
Założenia:
- Funkcja
jest całkowalna w swej dziedzinie.
- Funkcja
określona na przedziale
jest różniczkowalna w sposób ciągły.
dla każdego
z przedziału 
- Obraz funkcji
zawiera się w dziedzinie funkcji 
Wówczas[1]:

- Obliczając całkę
zastosować można podstawienie
tzn.
więc:

- Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci
) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:
- W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne
Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
- Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus
stosuje się podstawienie 
- Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus
stosuje się podstawienie 
- Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie
stosuje się podstawienie 
Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:



zachodzi:


W przypadku podstawienia
mamy dla funkcji postaci




Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:


Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci
gdzie R jest funkcją wymierną.
I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy:
Wobec tego otrzymuje się:


Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:
II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:

Zachodzi:


Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się:
Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:

Wtedy gdy
to da się tak dobrać
aby
III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu
Przyjmuje się wtedy:
Stąd:


Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:
Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci:
gdzie
i
są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz
i
są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto
gdzie
są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:
- gdy
jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
- gdy
jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie ![{\displaystyle t={\sqrt[{r}]{a+bx^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/becb7bb1f8defca1f2fff0669285c852cba3e136)
- gdy
jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie ![{\displaystyle t={\sqrt[{r}]{\frac {a+bx^{n}}{x^{n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8c36f3bdaf974fc1db34d3d717acc984b72b19)
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:
– podstawiamy
lub 
– podstawiamy
lub 
– podstawiamy
lub 
- Całki typu
obliczamy przez podstawienie
Stąd: 
- Całki typu
gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając
gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p1, p2, ..., pn.
Nagrania na YouTube [dostęp 2024-09-09]:
Integration by substitution (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
typy całek |
|
---|
metody całkowania nieoznaczonego |
|
---|
metody całkowania oznaczonego |
|
---|
twierdzenia |
|
---|