Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Opis metody

Jeśli:

• Funkcja $\psi (x)$$\psi (x)$ jest różniczkowalna w $D$$D$
• $I=\psi (D)$$I=\psi (D)$ jest przedziałem
• Funkcja $g(x)$$g(x)$ ma funkcję pierwotną w przedziale $I$$I$, tzn. $G'(t)=g(t)$$G'(t)=g(t)$ dla $t$$t$ należących do $I$$I$
• $f(x)=g(\psi (x))\cdot \psi '(x),x\in D$$f(x)=g(\psi (x))\cdot \psi '(x),x\in D$

to funkcja $f$$f$ jest całkowalna w $D$$D$ oraz:

$\int f(x)dx=\int g(\psi (x))\cdot \psi '(x)dx=G(\psi (x))+C$$\int f(x)dx=\int g(\psi (x))\cdot \psi '(x)dx=G(\psi (x))+C$

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx$,

to można zmienić podstawę całkowania na $g(x)$$g(x)$:

$\int f(g(x))dg(x)$$\int f(g(x))dg(x)$.

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:

• Funkcja $f$$f$ jest całkowalna w swej dziedzinie.
• Funkcja $g$$g$ określona na przedziale $[a;b]$$[a;b]$ jest różniczkowalna w sposób ciągły.
• $g'(x)\neq 0$$g'(x)\neq 0$ dla każdego $x$$x$ z przedziału $(a;b)$$(a;b)$.
• Obraz funkcji $g$$g$ zawiera się w dziedzinie funkcji $f$$f$.

Wówczas:

$\int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)dx=\int \limits _{a}^{b}f(g(t))\cdot g'(t)dt$$\int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)dx=\int \limits _{a}^{b}f(g(t))\cdot g'(t)dt$

Przykłady

• Obliczając całkę $\int {\frac {\ln(x)}{x}}dx$$\int {\frac {\ln(x)}{x}}dx$, zastosować można podstawienie $\ln(x)=t$$\ln(x)=t$, tzn.${\tfrac {dx}{x}}=dt$${\tfrac {dx}{x}}=dt$, więc:

$\int {\frac {\ln(x)}{x}}dx=\int t\ dt={\tfrac {1}{2}}t^{2}+C={\tfrac {1}{2}}\ln(x)^{2}+C$$\int {\frac {\ln(x)}{x}}dx=\int t\ dt={\tfrac {1}{2}}t^{2}+C={\tfrac {1}{2}}\ln(x)^{2}+C$.

• Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

$\int \sin(2x+3)dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)\cdot 2dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)\cdot d(2x+3)=-{\frac {1}{2}}\cos(2x+3)+C$$\int \sin(2x+3)dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)\cdot 2dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)\cdot d(2x+3)=-{\frac {1}{2}}\cos(2x+3)+C$.

Przydatne podstawienia

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci $R(\sin x,\cos x)$$R(\sin x,\cos x)$) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

• W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne $t=\operatorname {tg} {x \over 2}$$t=\operatorname {tg} {x \over 2}$. Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
• Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus ($R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$$R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$), stosuje się podstawienie $t=\cos x$$t=\cos x$
• Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus ($R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$$R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$), stosuje się podstawienie $t=\sin x$$t=\sin x$
• Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie ($R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$$R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$), stosuje się podstawienie $t=\operatorname {tg} x$$t=\operatorname {tg} x$

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

$t=\operatorname {tg} {x \over 2}$$t=\operatorname {tg} {x \over 2}$

${x \over 2}=\operatorname {arctg} t$${x \over 2}=\operatorname {arctg} t$

$dx={2 \over 1+t^{2}}dt$$dx={2 \over 1+t^{2}}dt$

zachodzi:

$\sin x={\frac {2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}}{\sin ^{2}{x \over 2}+\cos ^{2}{x \over 2}}}={\frac {2{\frac {\sin {x \over 2}}{\cos {x \over 2}}}}{{\frac {\sin ^{2}{x \over 2}}{\cos ^{2}{x \over 2}}}+1}}={\frac {2t}{t^{2}+1}}$$\sin x={\frac {2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}}{\sin ^{2}{x \over 2}+\cos ^{2}{x \over 2}}}={\frac {2{\frac {\sin {x \over 2}}{\cos {x \over 2}}}}{{\frac {\sin ^{2}{x \over 2}}{\cos ^{2}{x \over 2}}}+1}}={\frac {2t}{t^{2}+1}}$

$\cos x={\frac {\cos ^{2}{x \over 2}-\sin ^{2}{x \over 2}}{\cos ^{2}{x \over 2}+\sin ^{2}{x \over 2}}}={\frac {1-{\frac {\sin ^{2}{x \over 2}}{\cos ^{2}{x \over 2}}}}{1+{\frac {\sin ^{2}{x \over 2}}{\cos ^{2}{x \over 2}}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$$\cos x={\frac {\cos ^{2}{x \over 2}-\sin ^{2}{x \over 2}}{\cos ^{2}{x \over 2}+\sin ^{2}{x \over 2}}}={\frac {1-{\frac {\sin ^{2}{x \over 2}}{\cos ^{2}{x \over 2}}}}{1+{\frac {\sin ^{2}{x \over 2}}{\cos ^{2}{x \over 2}}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

W przypadku podstawienia $t=\operatorname {tg} x$$t=\operatorname {tg} x$ mamy dla funkcji postaci $R(\sin ^{2}x,\cos ^{2}x,\sin x\cos x)$$R(\sin ^{2}x,\cos ^{2}x,\sin x\cos x)$: $x=\operatorname {arctg} t$$x=\operatorname {arctg} t$, $dx={\frac {dt}{1+t^{2}}}$$dx={\frac {dt}{1+t^{2}}}$

$\sin ^{2}x={\frac {\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t^{2}}{t^{2}+1}}$$\sin ^{2}x={\frac {\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t^{2}}{t^{2}+1}}$

$\cos ^{2}x={\frac {\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{t^{2}+1}}$$\cos ^{2}x={\frac {\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{t^{2}+1}}$

$\sin x\cos x={\frac {\sin x\cos x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t}{t^{2}+1}}$$\sin x\cos x={\frac {\sin x\cos x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t}{t^{2}+1}}$

Przykłady

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

$\int {\frac {dx}{1+\sin x+\cos x}}=\int {\frac {{\frac {2}{1+t^{2}}}dt}{1+{\frac {2t}{t^{2}+1}}+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}=\int {\frac {2dt}{1+t^{2}+2t+1-t^{2}}}=$$\int {\frac {dx}{1+\sin x+\cos x}}=\int {\frac {{\frac {2}{1+t^{2}}}dt}{1+{\frac {2t}{t^{2}+1}}+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}=\int {\frac {2dt}{1+t^{2}+2t+1-t^{2}}}=$

$=\int {\frac {dt}{t+1}}=\ln |t+1|+C=\ln |\operatorname {tg} {x \over 2}+1|+C$$=\int {\frac {dt}{t+1}}=\ln |t+1|+C=\ln |\operatorname {tg} {x \over 2}+1|+C$

Podstawienia Eulera

Podstawienia Eulera stosujemy przy obliczaniu całek funkcji postaci $R({\sqrt {ax^{2}+bx+c}},x)$$R({\sqrt {ax^{2}+bx+c}},x)$, gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera

I podstawienie stosować można, gdy a>0. Przyjmujemy wtedy: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t-{\sqrt {a}}\;x$${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t-{\sqrt {a}}\;x$. Wobec tego otrzymujemy:

$ax^{2}+bx+c=ax^{2}-2{\sqrt {a}}\;x\;t+t^{2}\implies x(b+2{\sqrt {a}}\;t)=t^{2}-c\implies x={\frac {t^{2}-c}{b+2{\sqrt {a}}\;t}}$$ax^{2}+bx+c=ax^{2}-2{\sqrt {a}}\;x\;t+t^{2}\implies x(b+2{\sqrt {a}}\;t)=t^{2}-c\implies x={\frac {t^{2}-c}{b+2{\sqrt {a}}\;t}}$,

$dx={\frac {2t(b+2{\sqrt {a}}\;t)-2{\sqrt {a}}\;(t^{2}-c)}{(b+2{\sqrt {a}}\;t)^{2}}}dt$$dx={\frac {2t(b+2{\sqrt {a}}\;t)-2{\sqrt {a}}\;(t^{2}-c)}{(b+2{\sqrt {a}}\;t)^{2}}}dt$.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}\;{\frac {c-t^{2}}{b+2{\sqrt {a}}\;t}}+t$${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}\;{\frac {c-t^{2}}{b+2{\sqrt {a}}\;t}}+t$.

II podstawienie Eulera

II podstawienie stosować można, gdy c>0. Przyjmujemy wówczas: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt+{\sqrt {c}}$${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt+{\sqrt {c}}$. Mamy zatem:

$ax^{2}+bx+c=x^{2}t^{2}+2{\sqrt {c}}xt+c\implies ax+b=xt^{2}+2{\sqrt {c}}t\implies x(a-t^{2})=2{\sqrt {c}}t-b\implies x={\frac {2{\sqrt {c}}t-b}{a-t^{2}}}$$ax^{2}+bx+c=x^{2}t^{2}+2{\sqrt {c}}xt+c\implies ax+b=xt^{2}+2{\sqrt {c}}t\implies x(a-t^{2})=2{\sqrt {c}}t-b\implies x={\frac {2{\sqrt {c}}t-b}{a-t^{2}}}$,

$dx={\frac {2{\sqrt {c}}(a-t^{2})+2t(2{\sqrt {c}}t-b)}{(a-t^{2})^{2}}}dt$$dx={\frac {2{\sqrt {c}}(a-t^{2})+2t(2{\sqrt {c}}t-b)}{(a-t^{2})^{2}}}dt$.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, otrzymujemy: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {2{\sqrt {c}}t^{2}-bt}{a-t^{2}}}+{\sqrt {c}}$${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {2{\sqrt {c}}t^{2}-bt}{a-t^{2}}}+{\sqrt {c}}$.

Jeżeli drugie podstawienie Eulera zapiszemy następująco ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=(x-\alpha )t-{\sqrt {\lambda }}$${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=(x-\alpha )t-{\sqrt {\lambda }}$ to gdy $(a>0)\vee (b^{2}-4ac>0)$$(a>0)\vee (b^{2}-4ac>0)$ to da się tak dobrać $\alpha$$\alpha$ aby $\lambda >0$$\lambda >0$

III podstawienie Eulera

III podstawienie stosować można, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₀, x₁ trójmianu $ax^{2}+bx+c$$ax^{2}+bx+c$. Przyjmujemy wtedy: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-x_{0})(x-x_{1})}}=t(x-x_{1})$${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-x_{0})(x-x_{1})}}=t(x-x_{1})$. Stąd:

$(x-x_{1})t^{2}=a(x-x_{0})\implies x(t^{2}-a)=t^{2}x_{1}-ax_{0}\implies x={\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}}$$(x-x_{1})t^{2}=a(x-x_{0})\implies x(t^{2}-a)=t^{2}x_{1}-ax_{0}\implies x={\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}}$,

$dx={\frac {2ta(x_{0}-x_{1})}{(t^{2}-a)^{2}}}dt$$dx={\frac {2ta(x_{0}-x_{1})}{(t^{2}-a)^{2}}}dt$.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t\left({\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}}-x_{1}\right)$${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t\left({\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}}-x_{1}\right)$

Całkowanie różniczek dwumiennych

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: $x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx$$x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx$, gdzie $a$$a$ i $b$$b$ są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz $m,n$$m,n$ i $p$$p$ są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto $p={\frac {q}{r}}$$p={\frac {q}{r}}$, gdzie $q,r$$q,r$ są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

$\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}~dx$$\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}~dx$

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

• gdy $p$$p$ jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
• gdy ${\frac {m+1}{n}}$${\frac {m+1}{n}}$ jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie $t={\sqrt[{r}]{a+bx^{n}}}$$t={\sqrt[{r}]{a+bx^{n}}}$.
• gdy ${\frac {m+1}{n}}+p$${\frac {m+1}{n}}+p$ jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie $t={\sqrt[{r}]{\frac {a+bx^{n}}{x^{n}}}}$$t={\sqrt[{r}]{\frac {a+bx^{n}}{x^{n}}}}$.

Podstawienia trygonometryczne

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

• $\int R(x,{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})dx$$\int R(x,{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})dx$ - podstawiamy $x=a\operatorname {sinh} t$$x=a\operatorname {sinh} t$ lub $x=a\operatorname {tan} t$$x=a\operatorname {tan} t$
• $\int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})dx$$\int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})dx$ - podstawiamy $x=a\operatorname {cosh} t$$x=a\operatorname {cosh} t$ lub $x=a\operatorname {sec} t$$x=a\operatorname {sec} t$
• $\int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})dx$$\int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})dx$ - podstawiamy $\ x=a\tanh t$$\ x=a\tanh t$ lub $\ x=a\sin t$$\ x=a\sin t$

Inne podstawienia

• Całki typu $\int R(e^{x})dx$$\int R(e^{x})dx$ obliczamy przez podstawienie $\ e^{x}=t$$\ e^{x}=t$. Stąd: $\ x=\ln {t},\quad dx={\frac {dt}{t}}$$\ x=\ln {t},\quad dx={\frac {dt}{t}}$.
• Całki typu $\int R\left(x,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{1}},\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{2}},\cdots ,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{n}}\right)dx$$\int R\left(x,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{1}},\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{2}},\cdots ,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{n}}\right)dx$, gdzie p₁, p₂, ..., p_n są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając ${\frac {ax+b}{cx+d}}=t^{k}$${\frac {ax+b}{cx+d}}=t^{k}$, gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p₁, p₂, ..., p_n.

Zobacz też

• całkowanie przez części