Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Całkowy sinus hiperboliczny – funkcja specjalna zdefiniowana jako:
s
h
i
(
x
)
=
d
f
∫
0
x
sinh
(
t
)
t
d
t
{\displaystyle \mathrm {shi} \,(x)\;{\stackrel {\mathrm {df} }{=}}\,\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sinh \,(t)}{t}}\,dt}
gdzie
sinh
(
x
)
{\displaystyle \sinh(x)}
sinusem hiperbolicznym . Funkcja podcałkowa ma dla
t
=
0
{\displaystyle t=0}
lim
t
→
0
sinh
(
t
)
t
.
{\displaystyle \lim \limits _{t\to 0}{\tfrac {\sinh \,(t)}{t}}.}
Niektóre własności i zależności:
s
h
i
(
−
x
)
=
−
s
h
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {shi} \,(-x)=-\mathrm {shi} \,(x)}
i
⋅
s
h
i
(
x
)
=
S
i
(
i
x
)
{\displaystyle i\cdot \mathrm {shi} \,(x)=\mathrm {Si} \,(ix)}
s
h
i
(
x
)
=
x
1
⋅
1
!
+
x
3
3
⋅
3
!
+
x
5
5
⋅
5
!
+
x
7
7
⋅
7
!
+
…
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
⋅
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \mathrm {shi} (x)={\tfrac {x}{1\cdot 1!}}+{\tfrac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\tfrac {x^{5}}{5\cdot 5!}}+{\tfrac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {x^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}}
s
h
i
(
x
)
=
E
i
(
x
)
−
E
i
(
−
x
)
2
{\displaystyle \mathrm {shi} \,(x)={\frac {\mathrm {Ei} (x)-\mathrm {Ei} (-x)}{2}}}
gdzie
E
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {Ei} \,(x)}
funkcją całkowo-wykładniczą , zaś
S
i
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {Si} \,(x)}
sinusem całkowym .
Całkowy sinus hiperboliczny występuje w rozwiązaniach równań różniczkowych opisujących niektóre zjawiska w ośrodkach ciągłych (np. przepływ cieczy nienewtonowskich w rurach i szczelinach).
Integral hyperbolic sine (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-29].