Centralizator i normalizator

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Centralizator (centrum), normalizator – specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.

Centralizator[edytuj]

Niech . Centralizatorem elementu nazywamy podgrupę

.

Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.

Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru , niekoniecznie będącego podgrupą.

Centralizatorem zbioru nazywamy grupę

.

Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru .

Centrum[edytuj]

Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:

.

Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy , mamy zatem .

O centralizatorze elementu można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie zawierającej w swoim centrum .

Indeks grupy względem centrum można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elemenetów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.

W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia, .

Twierdzenie Schura[edytuj]

Jeśli , to .

Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w[1].

Normalizator[edytuj]

Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru .

Normalizatorem w jest podgrupa

.

Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli , to jest największą podgrupą mającą jako swoją podgrupę normalną.

Działanie grupy na zbiorze[edytuj]

Niech będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy grupy na zbiorze warstw zadane wzorem . Wówczas jest podgrupą normalną . Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w .

Jeśli , to

Oznaczenia[edytuj]

W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie mamy więc oraz dla dowolnego zbioru .

Własności[edytuj]

Niech będą grupami, :

  • Niech . , co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy i komutują ze sobą.
    • Jeśli , to .
  • Jeśli jest abelowa, to oraz ,
    • grupa jest abelowa .
  • jest zawsze podgrupą normalną ,
    • jest podgrupą normalną .
  • Jeśli grupa ilorazowa jest cykliczna, to jest abelowa.
  • Jeśli jest grupą nieabelową, to jej indeks względem jest większy od .
  • Jeśli , to .

Uwagi[edytuj]

Jeżeli , wtedy grupa ilorazowa jest izomorficzna z podgrupą , grupą automorfizmów .

Jeżeli , to jest izomorficzna z , podgrupą zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy .

Jeżeli , to homomorfizm taki, że , pozwala na opisanie oraz w terminach działania grupy na grupie :

  • jest stabilizatorem w ,
  • jest podgrupą punktów stałych .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Herrn Huppert: Endliche Gruppen, I. Springer Verlag, 1967.

Bibliografia[edytuj]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4