Ciąg (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy pojęcia ogólnego. Zobacz też: ciągi (podgrup) oraz ciąg dokładny (homomorfizmów).

Ciąg – przyporządkowanie wszystkim liczbom naturalnym z przedziału , lub wszystkim liczbom naturalnym dodatnim, elementów z pewnego ustalonego zbioru[1]. W pierwszym przypadku jest to ciąg skończony, w drugim ciąg nieskończony. Każdej liczbie naturalnej jest przyporządkowywany tylko jeden element, oznaczany zwykle . Elementy zwane są zwykle wyrazami ciągu. W odróżnieniu od elementów zbioru, kolejność wyrazów ciągu jest istotna, a ta sama wartość może wystąpić w ciągu wielokrotnie.

Definicja i oznaczenia[edytuj kod]

W szerszym sensie ciąg to dowolna funkcja określona na dowolnym zbiorze (izomorficznym w sensie struktury porządkowej z pewnym podzbiorem zbioru) liczb naturalnych i o wartościach należących do pewnego zbioru [2]. Zbiór nazywa się zbiorem wskaźników lub indeksów, a jego elementy – wskaźnikami bądź indeksami. Jeśli zbiór wskaźników jest skończony, to sam ciąg również nazywa skończonym, jeśli zbiór nie jest skończony, to ciąg nazywa się nieskończonym.

Wartości funkcji nazywa się wyrazami bądź elementami ciągu i w miejsce tradycyjnego zapisu stosuje się zwykle zapis Sam ciąg oznacza się zazwyczaj nie za pomocą symbolu funkcji, tutaj , lecz dłuższej notacji lub krótszych jej wariantów oraz , gdzie napis w nawiasie nazywa się wyrazem ogólnym ciągu. Niekiedy zamiast nawiasów okrągłych stosuje się nawiasy klamrowe, np. .

Zwykle przyjmuje się (bądź od zera) w przypadku skończonym i pisze często oraz w przypadku nieskończonym i zapisuje (lub od zera, w zależności od przyjętej definicji liczb naturalnych).

Przykłady[edytuj kod]

  • skończony ciąg pięciu liczb naturalnych:
  • nieskończony ciąg stały:
  • nieskończony ciąg:
  • nieskończony ciąg kolejnych liczb pierwszych:
  • nieskończony ciąg następujących liczb wymiernych:
  • skończony ciąg dużych liter alfabetu łacińskiego:

Określanie[edytuj kod]

Wiele ciągów można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów, dlatego wybór sposobu zależy zwykle od zastosowań. Należy mieć przy tym świadomość, że liczba tych ciągów, które można opisać za pomocą jednego z poniższych sposobów jest znikoma, choć nieskończona, w porównaniu do wszystkich możliwych ciągów gdzie są ustalonymi zbiorami nieskończonymi. Wynika to z faktu, iż liczba wszystkich możliwych do zapisania formuł jest co najwyżej przeliczalna, natomiast zbiór wszystkich ciągów jest nieprzeliczalny.

Podanie wzoru na wyraz ogólny[edytuj kod]

Jeżeli wyraz ogólny jest (względnie nieskomplikowaną) funkcją wskaźnika , np.

lub , czy ,

to ciąg można określić wskazując ten związek, np.

Wskazanie wyrazów[edytuj kod]

Jeśli ciąg jest skończony i ma niewiele wyrazów, to najszybszą metodą jest zwykle podanie tych wyrazów (jak to uczyniono w pierwszym przykładzie we wstępie). Jeśli wyrazów jest więcej, to zwykle korzysta się z domyślności czytelnika względem wzoru na wyraz ogólny, z tego powodu reguła wiążąca wskaźnik z wyrazem o tym wskaźniku powinna być w tym wypadku szczególnie prosta, np.

.

Jeżeli wyrazów jest więcej, to wypisanie kilku początkowych i końcowych wyrazów zwykle wystarcza do odgadnięcia postaci ciągu, np.

.

Podobnie w przypadku ciągów nieskończonych, gdzie nie podaje się z oczywistych względów ostatniego wyrazu:

.

Określenia rekurencyjne[edytuj kod]

 Zobacz też: Rekurencja.

Definicja rekurencyjna jest to definicja, w której w wyrażeniu definiującym obok symbolu zmiennej n występuje symbol definiowanego ciągu - jest to więc równanie funkcyjne. W praktyce oznacza to, że wyraz ciągu zależy nie tylko od zmiennej n, ale także jednego lub kilku wyrazów poprzednich.

Przykładem ciągu, w którym każdy wyraz zależy od dwóch poprzednich wyrazów, jest ciąg Fibonacciego dany wzorem

dla ,

przy czym oraz . Oczywiście dany wyraz może zależeć od jednego wyrazu, np. ciąg kolejnych silni można zadać wzorem:

,

z warunkiem , jak i od wszystkich poprzednich wyrazów ciągu, np. ciąg liczb Bernoulliego zadaje się równaniem

dla ,

gdzie .

Ciąg naprzemienny dany wzorem można zdefiniować rekurencyjnie jako

dla ,

przymując Z drugiej strony często pożądana jest definicja jawna (nierekurencyjna) ciągów określonych rekurencyjnie, ma ją np. wyżej wspomniany ciąg liczb Bernoulliego:

.

Do definiowania ciągu niekiedy wykorzystuje się inny wcześniej dany ciąg; przykładami mogą być opisane dalej szeregi, czy iloczyny nieskończone, których wyrazy zależą od poprzedniego i wyrazu o tym samym wskaźniku innego ciągu.

Definicje rekurencyjne są bardziej „eleganckie” od wzoru na wyraz ogólny, lecz cechuje je zwykle duża złożoność obliczeniowa.

Definicje opisowe[edytuj kod]

Słowny opis wyrazów ciągów jest często łatwiejszy niż wymienione wyżej metody, a bywa jedynym z możliwych. Zawsze jednak, gdy to możliwe, definicję formalizuje się w postaci jednej z powyższych metod. Aby jednak taka metoda była użyteczna w zastosowaniach, musi być wystarczająco prosta. Często wystarczy ograniczyć się do funkcji elementarnych, jednak najbardziej naturalną klasą funkcji zdają się być funkcje obliczalne, czyli te, dla których istnieje reguła wyliczania jej kolejnych wartości dla kolejnych wskaźników. Niezależnie od tego wykorzystuje się także funkcje rozważane w analizie matematycznej, które umożliwiają w dość zwięzły sposób zdefiniowanie trudnych w innym opisie ciągów, np. funkcja π (pi), która ustala liczbę liczb pierwszych nie większych od danej, definiuje ciąg

,

czy funkcja ζ (zeta/dzeta), która pozwala równoważnie zdefiniować wyżej opisany ciąg liczb Bernoulliego.


Własności[edytuj kod]

Ponieważ ciągi definiuje się jako funkcje, to do ich określania stosuje się pojęcia związane z funkcjami, np. ciąg stały, ciąg monotoniczny (rosnący, malejący, niemalejący, nierosnący), czy ciąg ograniczony.

Jeśli struktura określona na zbiorze elementów ciągu umożliwia mówienie o granicy ciągu, np. struktura metryczna, to ciąg, który ma granicę (właściwą) nazywa się zbieżnym, a w przeciwnym wypadku mówi się, iż jest on rozbieżny. Ciąg spełniający tzw. warunek Cauchy'ego, czyli ciąg, którego wyrazy „zbliżają się” do siebie, nazywa się ciągiem Cauchy'ego.

O ciągach zbiorów można powiedzieć, że są zstępujące lub wstępujące w zależności od tego, czy kolejne wyrazy (zbiory) ciągu zawierają się w poprzedzającym, czy w kolejnym.

Rodzaje[edytuj kod]

W przypadku, gdy elementy należą do pewnego ciała (np. liczb wymiernych, czy rzeczywistych), można wyróżnić następujące, ważne rodzaje ciągów:

  • arytmetyczny z parametrami: różnicą oraz wyrazem początkowym ,
    w postaci rekurencyjnej,
    w postaci jawnej,
  • geometryczny z parametrami: ilorazem i wyrazem początkowym ,
    w postaci rekurencyjnej,
    w postaci jawnej.

Szereg definiuje się rekurencyjnie jako ciąg zależny od ciągu według reguły

,

gdzie W postaci jawnej zapisuje się go zwykle jako ciąg tzw. sum częściowych,

,

co tylko pozornie omija rekurencyjną naturę definicji. Jeżeli jest ciągiem funkcyjnym, to szereg również nazywa się szeregiem funkcyjnym.

Podobnie definiuje się iloczyny nieskończone jako ciągi zależne od ciągów w następujący sposób:

,

przy czym .

Stosuje się też różne nazwy ciągu stosownie do zbioru jego elementów: w przypadku zbioru liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów danego nazywa się podciągiem.

Przestrzenie ciągów[edytuj kod]

 Osobny artykuł: Przestrzeń funkcyjna.

W zbiorze ciągów o elementach z ustalonego ciała , gdzie jest pewnym zbiorem wskaźników można określić działania wprowadzając tym samym pewną strukturę algebraiczną, bądź wprowadzić w niej metrykę wprowadzającą strukturę topologiczną.

Dodawanie[edytuj kod]

Sumę dwóch ciągów definiuje się zwykle jako ciąg o wyrazach będących sumą odpowiednich wyrazów tych ciągów,

.

Wśród ciągów o elementach z ustalonego ciała można wyróżnić ciąg stale równy zeru, który pełni rolę elementu neutralnego dodawania ciągów.

Dla danego ciągu można również wyróżnić element przeciwny, będący ciągiem o wyrazach przeciwnych do danego, czyli

.

Działanie to prowadzi do określenia odejmowania i wprowadzenia struktury grupy (przy czym można je określić na ciągach elementów z uboższej struktury algebraicznej, np. grupy i dalej uogólniać).

Mnożenie[edytuj kod]

Mnożenie dwóch ciągów,

,

można określić jako

,

co czyni z pierścień (z dzielnikami zera).

Przyjęcie definicji Cauchy'ego (wariantu splotu dyskretnego, por. mnożenie Cauchy'ego szeregów i macierzy),

,

przy założeniu, że zbiór wskaźników zadaje w strukturę pierścienia bez dzielników zera. Struktura ta jest izomorficzna z sumą prostą egzemplarzy . Można w niej zanurzyć pierścień wielomianów o współczynnikach z .

Mnożenie przez skalar[edytuj kod]

Działanie mnożenia ciągu przez ustalony element z ciała (mnożenie przez skalar),

,

czyni z wraz z dodawaniem przestrzeń liniową (jeśli rozpatruje się ciągi o elementach z ciała) lub moduł (jeśli elementy ciągów pochodzą z pierścienia) nad . Jeśli jest skończony, to z działaniami dodawania ciągów i mnożenia ich przez skalar nazywa się przestrzenią współrzędnych.

Struktura topologiczna[edytuj kod]

 Zobacz też: Przestrzeń Lp.

W przestrzeni liniowej ciągów o elementach z ciała można określić strukturę przestrzeni unormowanej. Klasa norm postaci

umożliwia wyróżnienie podprzestrzeni tych ciągów, dla których norma jest skończona, co czyni z przestrzeń Banacha.

Przypisy

  1. Stefan Banach: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: 1951.
  2. Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, 2003, s. 263. ISBN 83-7469-189-1.

Zobacz też[edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj kod]