Ciąg uogólniony

Ciąg uogólniony – rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym. Ciąg uogólniony nazywa się też ciągiem Moore’a-Smitha (w skrócie MS-ciągiem), a w żargonie matematycznym ciąg uogólniony bywa nazywany netem (z angielskiego).

Definicja formalna

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem, a $(\Sigma ,\leqslant )$ zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy dowolne odwzorowanie $S:\Sigma \to X$. Ciąg taki oznaczamy również $S=(x_{\sigma })_{\sigma \in \Sigma }$ lub $S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \Sigma \}$. Wartość $x_{\sigma }$ jest elementem zbioru $X$ przyporządkowanym elementowi $\sigma \in \Sigma .$

Punkty skupienia i granica

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Punkt $x\in X$ nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego $S=\{x_{\sigma }\colon \;\sigma \in \Sigma \},$ jeśli

$\bigwedge _{U\subseteq X}\bigwedge _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigvee _{\sigma \geqslant \sigma _{0}}x_{\sigma }\in U,$

gdzie $U$ oznacza otoczenie punktu $x.$

Punkt $x\in X$ nazywamy granicą ciągu uogólnionego $S=\{x_{\sigma }\colon \;\sigma \in \Sigma \},$ jeśli

$\bigwedge _{U\subseteq X}\bigvee _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigwedge _{\sigma \geqslant \sigma _{0}}x_{\sigma }\in U,$

gdzie $U,$ tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu $x.$

Mówimy wtedy również, że $S$ jest zbieżny do $x.$

Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu $S$ oznaczamy $\lim S$ albo $\lim _{\sigma \in \Sigma }S.$

Subtelniejsze ciągi uogólnione

Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.

Ciąg uogólniony $S=\{x_{\sigma '}\colon \;\sigma '\in \Sigma '\}$ nazywamy subtelniejszym od ciągu $S=\{x_{\sigma }\colon \;\sigma \in \Sigma \},$ jeśli istnieje funkcja $\varphi \colon \Sigma '\to \Sigma ,$ spełniająca warunki:

1. $\bigwedge _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigvee _{\sigma _{0}'\in \Sigma '}\left[\sigma '\geqslant \sigma _{0}'\Rightarrow \varphi (\sigma ')\geqslant \sigma _{0}\right].$
2. $\bigwedge _{\sigma '\in \Sigma '}x_{\varphi (\sigma ')}=x_{\sigma '}.$

Własności

• Jeśli punkt $x$ jest punktem skupienia ciągu uogólnionego $S'$ subtelniejszego od $S,$ to $x$ jest punktem skupienia $S.$
• Jeśli punkt $x$ jest granicą ciągu uogólnionego $S,$ to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego $S'.$
• Jeśli punkt $x$ jest punktem skupienia ciągu uogólnionego $S,$ to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego $S',$ subtelniejszego od $S.$

Ciągi uogólnione w przestrzeniach topologicznych

• Odwzorowanie $f:X\to Y$ przestrzeni topologicznych jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy $f(\lim \limits _{\sigma \in \Sigma }x_{\sigma })\subseteq \lim _{\sigma \in \Sigma }f(x_{\sigma })$ dla każdego ciągu uogólnionego $\Sigma \to X$.
• Punkt $x$ przestrzeni $X$ jest punktem skupienia zbioru $A\subseteq X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą ciągu uogólnionego $S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \Sigma \}$, gdzie $x_{\sigma }\in A\setminus \{x\}$ dla każdego $\sigma \in \Sigma$.
• Punkt $x$ przestrzeni $X$ należy do domknięcia zbioru $A\subseteq X$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg uogólniony $S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \Sigma \}$ zbieżny do $x$ taki, że $x_{\sigma }\in A$ dla każdego $\sigma \in \Sigma$.
• Zbiór $A\subseteq X$ jest domknięty w przestrzeni $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z każdym zbieżnym ciągiem uogólnionym zawiera jego granice.

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 2007, s. 67-69.
• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1999.
• S. Gładysz: Wstęp do topologii, Warszawa: PWN, 1981.