Ciąg uogólniony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ciąg uogólniony – rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym. Ciąg uogólniony nazywa się też ciągiem Moore’a-Smitha (w skrócie MS-ciągiem), a w żargonie matematycznym ciąg uogólniony bywa nazywany netem (z angielskiego).

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie niepustym zbiorem, zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy zbiór [1], gdzie jest elementem zbioru przyporządkowanym elementowi

Punkty skupienia i granica[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Punkt nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego jeśli

gdzie oznacza otoczenie punktu

Punkt nazywamy granicą ciągu uogólnionego jeśli

gdzie tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu

Mówimy wtedy również, że jest zbieżny do

Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu oznaczamy albo

Subtelniejsze ciągi uogólnione[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.

Ciąg uogólniony nazywamy subtelniejszym od ciągu jeśli istnieje funkcja spełniająca warunki:

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli punkt jest punktem skupienia ciągu uogólnionego subtelniejszego od to jest punktem skupienia
  • Jeśli punkt jest granicą ciągu uogólnionego to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego
  • Jeśli punkt jest punktem skupienia ciągu uogólnionego to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego subtelniejszego od

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Czasem piszemy także

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.
  • G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1999.
  • S. Gładysz: Wstęp do topologii, Warszawa: PWN, 1981.