Ciąg uogólniony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciąg uogólniony – rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie niepustym zbiorem, zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy zbiór [1], gdzie jest elementem zbioru przyporządkowanym elementowi .

Punkty skupienia i granica[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Punkt nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego , jeśli

gdzie oznacza otoczenie punktu .

Punkt nazywamy granicą ciągu uogólnionego jeśli

gdzie , tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu . Mówimy wtedy również, że jest zbieżny do .

Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu oznaczamy albo .

Subtelniejsze ciągi uogólnione[edytuj]

Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.

Ciąg uogólniony nazywamy subtelniejszym od ciągu , jeśli istnieje funkcja , spełniająca warunki:

  1. .
  2. .

Własności[edytuj]

  • Jeśli punkt jest punktem skupienia ciągu uogólnionego subtelniejszego od , to jest punktem skupienia .
  • Jeśli punkt jest granicą ciągu uogólnionego , to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego .
  • Jeśli punkt jest punktem skupienia ciągu uogólnionego , to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego , subteleniejszego od .

Bibliografia[edytuj]

Przypisy

  1. Czasem piszemy także .