Ciało doskonałe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciało doskonałeciało które spełnia następujące równoważne warunki:

  • każde rozszerzenie skończone jest rozdzielcze, tzn. każdy wielomian nierozkładalny nad ma różne pierwiastki;
  • jest charakterystyki 0, bądź, jeżeli jest charakterystyki każdy element jest -tą potęgą;
  • każdy element jest -tą potęgą, gdzie oznacza wykładnik charakterystyczny równy jeżeli ma charakterystykę 0 oraz równy gdy jest charakterystyki
  • domknięcie rozdzielcze jest algebraicznie domknięte;
  • każda k-algebra jest algebrą rozdzielczą, tzn. jest zredukowany nad każdym rozszerzeniem ciała

W szczególności doskonałymi są wszystkie ciała charakterystyki zero oraz ciała skończone.

Ogólniej, pierścień charakterystyki (będącej liczbą pierwszą) nazywa się doskonałym, jeżeli endomorfizm Frobeniusa jest automorfizmem[1].

Przykłady[edytuj]

Przykładami ciał doskonałych są: ciała charakterystyki zero, ciała skończone, ciała algebraicznie domknięte, suma mnogościowa ciał doskonałych, ciała algebraiczne nad ciałem doskonałym (w szczególności ciało niedoskonałe musi być przestępne nad swoim podciałem pierwszym, które jest doskonałe). Z drugiej strony, jeśli jest dodatniej charakterystyki, to gdzie jest nieoznaczone, nie jest doskonałe. Istotnie, większość ciał pojawiających się w praktyce nie jest doskonała. Ciała niedoskonałe pojawiają się głównie w geometrii algebraicznej.

Domknięcie doskonałe i udoskonalenie[edytuj]

Pierwszy warunek mówi, dla charakterystyki iż ciało z dołączonymi wszystkimi pierwiastkami -tego stopnia (zwykle oznaczane ) jest doskonałe; nazywa się je domknięciem doskonałym (ang. perfect closure) i oznacza Równoważnie domknięcie doskonałe jest maksymalnym podrozszerzeniem czysto nierozdzielczym. Jeżeli jest skończonym rozszerzeniem normalnym, to [2].

Wyrażone w języku własności uniwersalnych domknięcie doskonałe pierścienia o charakterystyce wraz z homomorfizmem pierścieni takim, że dla każdego innego pierścienia doskonałego chrakterystyki z homomorfizmem istnieje jednoznacznie wyznaczony homomorfizm taki, że faktoryzuje się poprzez tzn. Dowodzi się, że domknięcie doskonałe zawsze istnieje[3].

Udoskonalenie (ang. perfection) pierścienia charakterystyki jest pojęciem dualnym do poprzedniego (choć termin ten oznacza niekiedy domknięcie doskonałe). Innymi słowy udoskonalenie pierścienia jest pierścieniem doskonałym charakterystyki z odwzorowaniem takim, że dla dowolnego pierścienia doskonałego charakterystyki wyposażonego w odwzorowanie istnieje jednoznacznie wyznaczone przekształcenie takie, że faktoryzuje się poprzez tzn. Udoskonalenie można również skonstruować jak podano niżej. Niech dany będzie układ rzutowy

w którym odwzorowania przejścia są endomorfizmami Frobieniusa. Granicą odwrotną tego układu jest składa się ona z ciągów elementów takich, że dla wszystkich Odwzorowanie przekształca na [4].

Przypisy

  1. Serre, 1979, rozdział II.4
  2. Cohn, tw. 11.4.10
  3. Bourbaki, 2003, rozdział V.5.1.4, s. 111
  4. Brinon, Conrad, 2009, rozdział 4.2

Bibliografia[edytuj]