Ciało ułamków

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ciało ułamków pierścienia całkowitegociało, konstruowalne dla danego pierścienia całkowitego , o tej własności, że pierścień ten zanurza się w nim izomorficznie[1][2]. Innymi słowy, ciało ułamków pierścienia całkowitego to pierścień ułamków zdefiniowany względem podzbiorzu multyplikatywnego , czyli na dziedzinie całkowitości[3].

Obiekt ten nazywany jest ciałem ułamków pierścienia całkowitego[1] lub ciałem ułamków dziedziny całkowitości[4].

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Mając daną dziedzinę całkowitości , konstruuje się ciało ułamków tego pierścienia w następujący sposób. W zbiorze określa się następującą relację:

[5][6][7][8][9].

Relacja jest:

  • zwrotna, ponieważ: ;
  • symetryczna, ponieważ: ;
  • przechodnia, ponieważ:
[5][9].

Zatem jest to relacja równoważności[5][7][10][9].

Skonstruujmy zbiór ilorazowy (zbiór klas abstrakcji relacji ) następująco:

[11],

ze zdefiniowanymi w nim dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia klas abstrakcji:

[11][9][8][12].

Powstała struktura , wraz z określonymi na niej działaniami, jest ciałem[13][14] i nazywana jest ciałem ułamków pierścienia [15][7][16].

Ułamki[edytuj | edytuj kod]

Elementy ciała ułamków pierścienia całkowitego nazywa się ułamkami, a klasę zapisuje się zwyczajowo jako [9][15][7][8], przy czym liczbę nazywa się licznikiem, a mianownikiem[9].

Zanurzenie izomorficzne[edytuj | edytuj kod]

Zdefiniujmy funkcję następująco:

, gdzie jest jedynką pierścienia[13][17][18][9][19].

Funkcja ta jest izomorficznym zanurzeniem pierścienia w ciało ułamków[13][17][19]. Umożliwia to utożsamienie elementów dziedziny całkowitości z odpowiednimi ułamkami ciała [17].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]


Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli pierścienie całkowite są izomorficzne, to ich ciała ułamków również[30][31].
  • Ciało ułamków dowolnego ciała jest izomorficzne z ciałem [32].
  • Ciało ułamków niezerowego ideału pierścienia całkowitego jest izomorficzne z ciałem ułamków tego pierścienia[33].
  • Ciało ułamków dziedziny całkowitości to jedyne (z dokładnością do izomorfizmu) najmniejsze (w sensie inkluzji) ciało, w które zanurza się pierścień [19].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.334
  2. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 172-175, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330.
  3. a b c WolframMathWorld, Field of Fractions
  4. a b c Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s.195, Definicja 133
  5. a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.334, Twierdzenie 17.1 - Dowód.
  6. a b c Wykład 10 - ciała i pierścienie ilorazowe, s.1
  7. a b c d Edupedia, Ciało ułamków
  8. a b c Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 194, ISBN 83-01-14388-6, ISBN 978-83-01-14388-6, OCLC 76326157.
  9. a b c d e f g h Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 173, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330.
  10. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s.195, z.754
  11. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.335, Twierdzenie 17.1 - Dowód.
  12. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s.196, z.755
  13. a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.336, Twierdzenie 17.1. - Dowód.
  14. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s.197, z.756
  15. a b c d Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.336
  16. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 174, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330.
  17. a b c Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 195, ISBN 83-01-14388-6, ISBN 978-83-01-14388-6, OCLC 76326157.
  18. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s.197, z.757
  19. a b c Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 175, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330.
  20. a b Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 172, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330.
  21. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.338, Zadanie 17.2.
  22. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s.197, z.768
  23. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ​ISBN 978-83-01-15817-0​; s.176, z.1.
  24. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.338, Zadanie 17.1.
  25. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.292, Zadanie 15.5
  26. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s.197, z.769
  27. Pierre Antoine Grillet, Abstract algebra, 2007 s. 124.
  28. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ​ISBN 978-83-01-15817-0​; s.175, Przykład.
  29. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s.195-196, Przykład 110.
  30. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.337, Twierdzenie 17.2.
  31. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s.197, z.766
  32. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s.197, z.765
  33. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s.198, z.755