Część wspólna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Część wspólna zbiorów A i B (przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięcie zbiorów) – zbiór, który zawiera te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.

Definicje[edytuj]

Przekrój zbiorów A i B

Część wspólna zbiorów i to zbiór, do którego należą te elementy zbioru , które należą również do . Część wspólna zbiorów i jest oznaczana przez . Tak więc:

.

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór

.

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów , gdzie zbiór indeksów jest niepusty, część wspólną definiuje się jako

Przykłady[edytuj]

  • Niech będzie zbiorem liczb naturalnych, a niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.
dzieli .
  • , ale
  • Niech będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek . Wówczas
.

Własności[edytuj]

Operacje skończone[edytuj]

Dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące równości:

  • ,
  • ,
  •     (łączność),
  •     (przemienność),
  • oraz     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego,
  • (prawo De Morgana).

Ponadto,

  • wtedy i tylko wtedy, gdy .

Operacje nieskończone[edytuj]

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech , oraz będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów są niepuste. Niech będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech będzie niepustą rodziną (rodzin) zbiorów. Wówczas

Na przykład niech , gdzie oraz . Wtedy z jednej strony:

,

a z drugiej

.

Przekrój a obrazy i przeciwobrazy[edytuj]

Dla dowolnej funkcji , dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru , zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

  • (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazu);
  • (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

Część wspólna zbiorów w rodzinie wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru[edytuj]

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego (tzw. uniwersum) oraz jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru , to

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole'a). Algebra Boole'a ta jest zupełna. Zbiór jest elementem neutralnym operacji części wspólnej .

Zapis

,

gdy (tzn. gdy jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu[1].

Przypisy

  1. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki : wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 33. ISBN 83-01-14415-7.

Bibliografia[edytuj]

  1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.
  2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
  3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.

Zobacz też[edytuj]