Część wspólna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Część wspólna, przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięciezbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Przekrój zbiorów i oznaczony kolorem fioletowym

Część wspólna zbiorów i to zbiór, do którego należą te elementy zbioru które należą również do [1][2]. Część wspólna zbiorów i jest oznaczana przez Tak więc:

[1][3][4],

co jest równoważne zapisowi

[5][6],

gdzie jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[7][8] lub uniwersum[9].

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny [10]:

Można to równoważnie zapisać jako

[11].

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów gdzie zbiór indeksów jest niepusty, część wspólną definiuje się jako

co jest równoważne

[12][13].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Niech będzie zbiorem liczb naturalnych, a niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.
dzieli
  • ale
  • Niech będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek Wówczas

Własności[edytuj | edytuj kod]

Operacje skończone[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące równości:

  • [1]     (łączność),
  • [1]     (przemienność),
  • oraz [14]     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego),
  • oraz [15]     (prawo De Morgana).

Ponadto,

  • wtedy i tylko wtedy, gdy

Operacje nieskończone[edytuj | edytuj kod]

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech oraz będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów są niepuste. Niech będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

  • [16]
  • [17]
  • [17]
  • [18]

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech będzie niepustą rodziną (rodzin) zbiorów. Wówczas

Na przykład niech gdzie oraz Wtedy z jednej strony:

a z drugiej

Związek z funkcjami[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej funkcji dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

  • [19] (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów);
  • [20] (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

W zbiorze potęgowym[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: zbiór potęgowy.

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego (tzw. uniwersum) oraz jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym, zbioru to

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór jest elementem neutralnym operacji części wspólnej

Zapis

gdy (tzn. gdy jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu[21].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]