Część wspólna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Część wspólna, przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięciezbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.

Definicje[edytuj]

Przekrój zbiorów A i B oznaczony kolorem fioletowym

Część wspólna zbiorów i to zbiór, do którego należą te elementy zbioru , które należą również do [1][2]. Część wspólna zbiorów i jest oznaczana przez . Tak więc:

[1][3][4],

co jest równoważne zapisowi

[5][6],

gdzie jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[7][8] lub uniwersum[9].

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny [10]:

.

Można to równoważnie zapisać jako

[11].

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów , gdzie zbiór indeksów jest niepusty, część wspólną definiuje się jako

co jest równoważne

[12][13].

Przykłady[edytuj]

  • Niech będzie zbiorem liczb naturalnych, a niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.
dzieli .
  • , ale
  • Niech będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek . Wówczas
.

Własności[edytuj]

Operacje skończone[edytuj]

Dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące równości:

  • ,
  • ,
  • [1]     (łączność),
  • [1]     (przemienność),
  • oraz [14]     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego,
  • oraz [15] (prawo De Morgana).

Ponadto,

  • wtedy i tylko wtedy, gdy .

Operacje nieskończone[edytuj]

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech , oraz będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów są niepuste. Niech będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

  • [16]
  • [17]
  • [17]
  • [18]

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech będzie niepustą rodziną (rodzin) zbiorów. Wówczas

Na przykład niech , gdzie oraz . Wtedy z jednej strony:

,

a z drugiej

.

Związek z funkcjami[edytuj]

Dla dowolnej funkcji , dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru , zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

  • [19] (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów);
  • [20] (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

W zbiorze potęgowym[edytuj]

 Zobacz też: zbiór potęgowy.

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego (tzw. uniwersum) oraz jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym, zbioru , to

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole'a). Algebra Boole'a ta jest zupełna. Zbiór jest elementem neutralnym operacji części wspólnej .

Zapis

,

gdy (tzn. gdy jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu[21].

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  1. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki : wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
  2. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
  3. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
  4. Roman Leitner: Zarys matematyki wyższej dla studentów. Wyd. 11. Cz. 1. Warszawa: WNT, 1999. ISBN 83-204-2395-3.
  5. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
  6. Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.

Zobacz też[edytuj]