Część wspólna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Część wspólna zbiorów A i B (przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięcie zbiorów) – zbiór, który zawiera te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Przekrój zbiorów A i B

Część wspólna zbiorów  A i  B to zbiór, do którego należą te elementy zbioru  A , które należą również do  B . Część wspólna zbiorów  A i  B jest oznaczana przez A\cap B. Tak więc:

A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}.

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli \mathcal{A} jest niepustą rodzinę zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór

\bigcap {\mathcal A}  = \{x:(\forall  A \in \mathcal A)(x\in A)\}.

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów (A_i)_{i\in I}, gdzie zbiór indeksów I jest niepusty, część wspólną definiuje się jako

\bigcap_{i\in I} A_i = \{a : (\forall i \in I)(a\in A_i)\}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

{\mathbb N}\cap P=\{n\in {\mathbb N}:2 dzieli n\}.
  • (0,1)\cap [1,2]=\varnothing, ale [0,1]\cap [1,2]=\{1\}
  • \bigcap\limits_{n\in {\mathbb N}} (1-\frac{1}{n+1},1+\frac{1}{n+1})=\{1\}
  • Niech {\mathfrak A} będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek [\sqrt{2},\sqrt{5}). Wówczas
\bigcap {\mathfrak A}=[\sqrt{2},\sqrt{5}].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Operacje skończone[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzą następujące równości:

  •  \bigcap \{ A\} = A =A\cap A,
  •  \bigcap \{ A, B\} = A \cap B,
  • (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)     (łączność),
  • A \cap B = B \cap A     (przemienność),
  • (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B\cup C) oraz (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B\cap C)     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego,
  • C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B) (prawo De Morgana).

Ponadto,

  • A\subseteq B wtedy i tylko wtedy, gdy A\cap B = A.

Operacje nieskończone[edytuj | edytuj kod]

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech \{A_i:i\in I\}, \{B_i:i\in I\} oraz  \{ C_{j,k}:j\in J\ \wedge\ k\in K\} będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów I,J,K są niepuste. Niech  D będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

  • \bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cap B_i)=\bigcap\limits_{i\in I} A_i\cap \bigcap\limits_{i\in I} B_i
  • \bigcap\limits_{i\in I} A_i\cup \bigcap\limits_{i\in I} B_i\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)
  • D\cap \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cap D)
  • D\cup \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cup D)
  • D\setminus \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} D\setminus A_i
  • \bigcap\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}=\bigcap\limits_{k\in K}\bigcap\limits_{j\in J} C_{j,k}
  • \bigcup\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}\subseteq\bigcap\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech {\mathfrak A} będzie niepustą rodziną (rodzin) zbiorów. Wówczas

  • \bigcap(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcap \{\bigcap A : A\in {\mathfrak A}\}.

Na przykład niech  \mathfrak{A} = \{\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2\} , gdzie  \mathcal{A}_1 = \{A_1, A_2\} oraz  \mathcal{A}_2 = \{A_3, A_4\}. Wtedy z jednej strony:

\bigcap(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcap \{A_1, A_2, A_3, A_4\} = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4 ,

a z drugiej

\bigcap \{\bigcap A : A\in {\mathfrak A}\} = \bigcap \{A_1 \cap A_2, A_3 \cap A_4\} = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4.

Przekrój a obrazy i przeciwobrazy[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej funkcji f : X\longrightarrow Y, dowolnej rodziny indeksowanej \{A_i:i\in I\} podzbiorów zbioru  X oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej \{B_j:j\in J\} podzbiorów zbioru  Y , zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

  • \bigcap \{f^{-1}[B_j]: j\in J\} = f^{-1}[\bigcap\limits_{j\in J} B_j] (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazu);
  • f[\bigcap\limits_{i\in I} A_i]\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} f[A_i] (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

Część wspólna zbiorów w rodzinie wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru[edytuj | edytuj kod]

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego U (tzw. uniwersum) oraz {\mathcal P}({\mathbf U}) jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru U, to

({\mathcal P}({\mathbf U}),\cup,\cap,\setminus,\varnothing,{\mathbf U})

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole'a). Algebra Boole'a ta jest zupełna. Zbiór U jest elementem neutralnym operacji części wspólnej \cap.

Zapis

\bigcap \mathcal{A},

gdy \mathcal{A}=\varnothing (tzn. gdy \mathcal{A} jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu[1].

Przypisy

  1. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki : wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 33. ISBN 83-01-14415-7.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.
  2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
  3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]