Czterowektor

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Spacer.gif W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.
Szczególna teoria względności
Sr1.svg
Zasada względności
Prędkość światła w próżni
Transformacja Lorentza

Czterowektor – wektor o czterech współrzędnych zdefiniowany w czasoprzestrzeni (znanej ze szczególnej teorii względności), która jest czterowymiarową przestrzenią wektorową wyposażoną w symetryczny iloczyn skalarny.

Pierwszym elementem czterowektora jest tzw. składowa czasowa, a kolejne trzy to współrzędne przestrzenne.

Czterowektory zapisuje się w postaci kontrawariantnej – z górnymi indeksami lub kowariantnej – z dolnymi indeksami.

Czterowektor położenia w czasoprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Definicja czterowektora położenia[edytuj | edytuj kod]

Czterowektorem położenia w czasoprzestrzeni nazywamy 4-wektor o postaciach:

  • postać kontrawariantna
(1)
  • postać kowariantna

W czterowektorze położenia (1) mamy część czasową () oraz część przestrzenną

Część czasowa jest równa czasowi wyrażonemu w sekundach pomnożonemu przez prędkość światła w próżni, czyli jej wymiarem jest metr, podobnie jak pozostałych współrzędnych czterowektora.

Sens fizyczny czterowektora położenia[edytuj | edytuj kod]

Czterowektor położenia opisuje czas oraz położenie przestrzenne zajścia jakiegoś zdarzenia w czasoprzestrzeni, przy czym przez zdarzenie rozumie się jakieś krótkotrwałe zjawisko, np. fakt mijania słupka przez kulę – zjawisko to zachodzi w chwili w położeniu co opisuje się za pomocą czterowektora

Różniczka interwału czasoprzestrzennego[edytuj | edytuj kod]

Różniczka interwału czasoprzestrzennego w przestrzeni Minkowskiego jest zdefiniowana następująco:

gdzie tensor metryczny w przestrzeni Minkowskiego

Przyjmując tensor w postaci

otrzymuje się

(Zamiast powyższej postaci tensora metrycznego często podaje się, że sygnatura t-ensora Minkowskiego jest )

Czterowektor prędkości[edytuj | edytuj kod]

Czterowektorem prędkości nazywamy pochodną czterowektora położenia (1) względem interwału czasoprzestrzennego:

(2)

gdzie – różniczka interwału czasoprzestrzennego (patrz niżej).

Dzieląc obustronnie wzór na przez otrzyma się

(4)

i wykorzystując definicję czterowektora prędkości (2) otrzyma się

(5)

Korzystając z zasady opuszczania wskaźników tensorów metrycznych równanie (5) można zapisać równoważnie:

(6)

Elementy przestrzenne tensora prędkości[edytuj | edytuj kod]

(7)

Element czasowy tensora czterowektora prędkości[edytuj | edytuj kod]

Element czasowy tensora czterowektora prędkości (element o wskaźniku zerowym) jest to funkcja gamma, która zależy od prędkości rozważanej cząstki, która powinna być mniejsza niż prędkość światła w próżni (cząstki masowe, wartość masy spoczynkowej jest większa niż zero), a nawet równa jej (cząstki bezmasowe, masą spoczynkowa równa zero, one posiadają tylko masę relatywistyczną i dlatego mają tę właśnie prędkość).

(8)

Na podstawie (7) i (8) czterotensor (2) w postaci czterowektora prędkości w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) w zależności od wielkości obserwowalnych, tzn. prędkość fizyczna poruszającej się cząstki jest wyrażona następująco:

(9)

Uwaga 1: Czterowektor zdefiniowany jako pochodna współrzędnej po interwale nie ma wymiaru prędkości.

Uwaga 2: Każdy sygnał rozprzestrzeniający się z prędkością światła w próżni transformuje się jak asymptota diagramu Minkowskiego, a nie zgodnie z transformacją Lorentza. W każdym układzie odniesienia prędkość światła w próżni jest stała i parametru zdefiniowanego jako iloczyn ct nie można transformować inaczej, gdyż jest to równoznaczne istnieniu rozwiązania asymptotycznego. Czym innym jest upływ czasu, a czym innym propagacja sygnału na odległość ct.

Uwaga 3: Wartość interwału leżącego na asymptocie jest zawsze równa zeru, zatem zerowa składowa czterowektora prędkości nie ma sensu fizycznego.

Uwaga 4: Norma czteroprędkości obiektu, to jest wielkość uzyskana przy wykorzystaniu tensora metrycznego czasoprzestrzeni Minkowskiego wynosi zawsze czyli przy czym znak zależy od przyjętej sygnatury tensora metrycznego. Jeżeli obiekt pozostaje w spoczynku, jego czteroprędkość jest oczywiście równoległa do współrzędnej czasowej przy Czteroprędkość jest zatem znormalizowanym wektorem stycznym do linii świata.

Czterowektor pędu[edytuj | edytuj kod]

Kontrwariantnym czterowektorem pędu ciała nazywa się wielkość

(10)

gdzie: - masa spoczynkowa cząstki, – czterowektor prędkości

W szczególności:

a) współrzędna czasowa (element zerowy) jest równa energii cząstki podzielonej przez prędkość światła

(11)

b) współrzędne przestrzenne mają postać

(12)

gdzie: – tzw. masa relatywistyczna cząstki

Według (11) 3-wektor pędu (pęd relatywistyczny) jest iloczynem masy relatywistycznej i prędkości cząstki, przy czym masa relatywistyczna zależy od wartości prędkości cząstki.

Dla cząstek masowych czterowektor pędu dla przestrzeni trójwymiarowej, która jest podprzestrzenią czasoprzestrzeni jest zależny od masy spoczynkowej i od wartości wektora prędkości danej cząstki. Jeśli cząstka porusza się z prędkością światła, to wtedy pęd relatywistyczny zależy tylko od energii cząstki.

Czterowektor pędu (10) według (11) (obserwowalny pęd cząstki jako elementy przestrzenne) i (12) (z dokładnością do stałej prędkości światła jest energią cząstki), można zatem zapisać w postaci czterowektora pędu następująco:

(13)

Widać, że składowe czterowektora pędu są to wielkości charakteryzujące cząstkę, które są zachowane (energia i pęd cząski- zasada zachowania energii oraz pędu).

Uwaga 4: Zerowa składowa czterowektora pędu dotyczy cząstek poruszających się z prędkością światła po asymptocie diagramu Minkowskiego (np. fotonów), do której nie stosuje się transformacja Lorentza.

Czterowektor siły[edytuj | edytuj kod]

Czterowektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodna czteropędu (10) względem interwału czasoprzestrzennego, którego różniczka jest zdefiniowana w (3), następująco:

(14)

Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne czterowektora siły (14) a przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistycznej siły znana z drugiej zasady dynamiki Einsteina.

(15)

Korzystając z definicji siły relatywistycznej, która jest zdefiniowana jako pochodna obserwowalnego pędu (elementów przestrzennych czterowektora pędu) względem czasu, który mierzymy w sekundach:

(16)

Mając definicję współrzędnej w przestrzeni trójwymiarowej siły relatywistycznej (16) oraz definicję funkcji wtedy elementy przestrzenne czterwektra tensora siły (15) zapisujemy w postaci wzoru:

(17)

Wyrażenie (17) możemy zapisać w postaci wektorowej w obserwowalnej przestrzeni (elementy przestrzenne) zapisujemy następująco:

(18)

Zatem siła relatywistyczna wyrażona przez czterosiłę (16), a właściwie jej część przestrzenną, jest wyrażone przez czterowektor siły (18) wyznaczając ją z tegoż właśnie wzoru zapisujemy następująco:

(19)

Widzimy, że siła relatywistyczna jest równa zero gdy cząstka się porusza się z prędkością światła przy skończonej jej części przestrzenne czterowektora siły. Można to poznać po definicji funkcji

Jeśli skorzystamy ze wzoru (5) i zróżniczkujemy go po interwale czasoprzestrzennym prowadząc jej kolejne przekształcenia zapisujemy w postaci:

(20)

Ponieważ tensory metryczne z definicji są tensorami symetrycznymi, zatem końcowe wyrażenie (20) zapisujemy następująco:

(21)

Mnożymy wyrażenie (21) przez kwadrat wyrażenia, który jest iloczynem masy spoczynkowej i prędkości światła, otrzymujemy zgodnie (10) z (21) następne równanie:

(22)

Jeśli z korzystamy z definicji czterowektora siły (14), wtedy wyrażenie (22) zapisujemy według wzoru:

(23)

Następnie korzystamy z własności tensorów na tensorach metrycznym, a w szczególności tensora metrycznego Minkowskiego, wtedy wzór (23) zapisujemy równoważnie

(24)

W równaniu (24) wydzielamy części przestrzenne () od jej elementu czasowego () oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową czterowektora siły (14), właśnie ten element można zapisać następująco:

(25)

Zbierając wyniki elementu przestrzennego czterowektora siły (25) i jego elementów przestrzennych (17), wtedy czterowektor siły w zależności od pędu i prędkości cząstki, siły działającej na cząstkę, a także jej energii zapisujemy według następującego wzoru:

(26)

Przykłady czterowektorów[edytuj | edytuj kod]

Przykłady czterowektorów znanych w fizyce relatywistycznej:

– wektor falowy jest czterowektorem(ma prawo transformacyjne takie jak czterowektor)
– czterowektor gęstości prądu (zerową składową jest to relatywistyczna gęstość ładunku, pomnożona przez prędkość światła, a jej częścią przestrzenną jest zwykłą gęstością prądu)

Związek czterowektora pędu z masą spoczynkową cząstki[edytuj | edytuj kod]

Z definicji energii cząstki oraz jej wartości pędu relatywistycznego zapisujemy według wzoru, którą wyprowadził Albert Einstein, i przedstawimy je w postaci umożliwiającej dalsze obliczenia.

(27)

Należy zauważyć, że wektor pędu w przestrzeni można zapisać w postaci wektora współrzędnych wektora pędu, lub w postaci elementów przestrzennych tensora czteropędu.

Jeśli potraktujemy element zerowy (czasowy) tensora pędu jako iloraz energii cząstki przez prędkość światła, to wyrażenie końcowe w (27) zapisujemy w postaci wyrażenia:

(28)

Następnym krokiem jest wykorzystanie z własności tensorów metrycznych i z własności tensora metrycznego Minkowskiego końcowe wyrażenie (28) zapisujemy w postaci ostatecznej:

(29)

W wyrażeniu (29) korzystamy z własności tensorów metrycznych na zwykłych tensorach dostajemy równoważne do poprzedniego wyrażenie:

(30)

Jest to ogólny wzór wiążący współrzędne czterowektora pędu z jej masą spoczynkową (masa relatywistyczna cząstki przy jej prędkości zerowej).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Krzysztof Pomorski: Mechanika teoretyczna. Lublin: Wydawnictwo UMCS Lublin, 2000. ISBN 83-227-1667-2.