Czterowektor

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Czterowektor – w algebrze tensorowej wektor kontrawariantny. Możliwa jest także konstrukcja wektorów kowariantnych za pomocą izomorfizmu muzycznego oraz tensorów o dowolnej walencji przy pomocy iloczynu tensorowego. Pierwszym elementem czterowektora jest składowa czasowa, a kolejne trzy są to współrzędne przestrzenne.

W fizyce czterowektorem nazywamy element czasoprzestrzeni znanej ze szczególnej teorii względności. Czterowektory są elementami czterowymiarowej przestrzeni wektorowej wyposażonej w symetryczny iloczyn skalarny, tak by w tej przestrzeni czterowymiarowej płaski tensor symetryczny Minkowskiego miał sygnaturę (1,-1,-1,-1).

Czterowektor położenia w czasoprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Czterowektorem położenia w czasoprzestrzeni nazywamy wielkość zdefiniowaną następującym wzorem jako tensor kontrkowariantny:

 x^{\mu} = \left(ct,x,y,z\right)=\left(ct,\vec{r}\right) \;
(1)

lub jako wektor kowariantny w przestrzeni Minkowskiego:

x_{\mu} = \left(ct,-x,-y,-z\right) = \left(ct,-\vec{r}\right) .

W czterowektorze położenia (1) można wydzielić część czasową (x^0=ct\;), a także część przestrzenną \vec{r}=(x,y,z)\;.

Część czasowa jest to czas wyrażony w sekundach pomnożony przez prędkość światła, czyli wszystkie współrzędne czterowektora położenia w czasoprzestrzeni są wyrażone w metrach.

Czterowektor prędkości[edytuj | edytuj kod]

Czterowektorem prędkości nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną położenia kontrwariantnego (1) względem wielkości znanej ze szczególnej teorii względności zwanej interwałem czasoprzestrzennym:

u^{\mu}={{dx^{\mu}}\over{ds}}\;
(2)
  • gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego zdefiniowanego w punkcie (3).
Kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego w przestrzeni Minkowskiego przy sygnaturze tensora Minkowskiego (1,-1,-1,-1) jest zdefiniowany następująco:
ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}\;
(3)
  • gdzie \eta_{\mu\nu}\; jest tensorem metrycznym Minkowskiego.

Z definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego (3) dzieląc obustronnie opisany wzór przez kwadrat interwału czasoprzestrzennego i otrzymamy zależność tensorową kontrwariantnych pochodnych tensora położenia względem interwału czasoprzestrzennego.

1=\eta_{\mu\nu}{{dx^{\mu}}\over{ds}}{{dx^{\nu}}\over{ds}}\;
(4)

Korzystając z definicji czterowektora prędkości (2) wyrażenie (4) możemy przedstawić w następującej postaci:

1=\eta_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}\;
(5)

Z tego wyrażenia wynika ścisła zależność między kontrwariantnymi czterowekorami prędkości. Z własności tensora metrycznych równanie (5) można zapisać równoważnie:

1=u_{\nu}u^{\nu}\;
(6)

Stąd wynika zależność między kontrwariantno-kowarantnymi tensorami czterowektora prędkości. Elementy przestrzenne i czasowe według (2) można zapisać dia przestrzeni trójwymiarowej(podprzestrzni czterwymiarowej-czasoprzestrzeni) i dlatego wskaźnik na górze tego tensora jest oznaczony literą grecką.

u^i={{dx^i}\over{ds}}={{dx^i}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=v^i{{\gamma}\over{c}}\;
(7)

Element czasowy tensora czterowektora prędkośći (element tego tensora o wskaźniku zerowym) jest to funkcja gamma, która zależy od prędkości rozważanej cząstki, która powinna być mniejsza niż prędkość światła (cząstki masowe, wartość masy spoczynkowej jest większa niż zero), a nawet równa jej (cząstki bezmasowe, masą spoczynkowa równa zero, one posiadają tylko masę relatywistyczną i dlatego mają tą właśnie prędkość ).

u^0={{cdt}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=\gamma\;
(8)

Na podstawie (7) i (8) czterotensor (2) w postaci czterowektora prędkości w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) w zależności od wielkości obserwowalnych, tzn. prędkość fizyczna poruszającej się cząstki jest wyrażona następująco:

u^{\mu}=\left(\gamma,\vec{v}{{\gamma}\over{c}}\right)
(9)

Uwaga 1: Czterowektor zdefiniowany jako pochodna współrzędnej po interwale nie ma wymiaru prędkości.

Uwaga 2: Każdy sygnał rozprzestrzeniający się z prędkością światła transformuje się jak asymptota diagramu Minkowskiego, a nie zgodnie z transformacją Lorentza. W każdym układzie odniesienia prędkość światła jest stała i parametru zdefiniowanego jako iloczyn ct nie można transformować inaczej, gdyż jest to równoznaczne istnieniu rozwiązania asymptotycznego. Czym innym jest upływ czasu, a czym innym propagacja sygnału na odległość ct.

Uwaga 3: Wartość interwału leżącego na asymptocie jest zawsze równa zeru, zatem zerowa składowa czterowektora prędkości nie ma sensu fizycznego.

Czterowektor pędu[edytuj | edytuj kod]

Kontrwariantnym czterowektorem pędu ciała o masie spoczynkowej m_0\; i o czterowektorze prędkości prędkości (2) nazywamy wielkość zdefiniowaną następująco:

p^{\mu}=m_0c u^{\mu}\;
(10)

Wyznaczmy elementy czterowektora pędu najpierw jej wielkości przestrzenne

p^i=m_0 cu^i=m_0 c v^i{{\gamma}\over{c}}={{m_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}v_i=m_0\gamma v^i=m_rv^i\;
(11)

Według (11) kontrawariantny tensor pędy w przestrzeni obserwowalnej trójwymiarowej jest to pęd relatywistyczny, który zależy od masy relatywistycznej i prędkości cząstki masowej, czyli masa relatywistyczna zależy od wartości prędkości cząstki. Wyznaczmy element czasowy czterowektora pędu (10) (jej element zerowy).

p^0=m_0 c\gamma={{m_rc^2}\over{c}}={{E}\over{c}}\;
(12)

Współrzędna czasowa czterowektora pędu jest to energia cząstki podzielona przez prędkość światła. Dla cząstek masowych czterowektor pędu dla przestrzeni trójwymiarowej, która jest podprzestrzenią czasoprzestrzeni jest zależny od masy spoczynkowej i od wartości, wektora prędkości danej cząstki. Jeśli cząstka porusza się z prędkością światła, to wtedy pędy relatywistyczny cząstki zależy tylko od energii cząstki.

Czterowektor pędu (10) według (11) (obserwowalny pęd cząstki jako elementy przestrzenne) i (12) (z dokładnością do stałej prędkości światła jest energią badanej cząstki), można zatem zapisać w postaci czterowektora pędu następująco:

p^{\mu}=\left({{E}\over{c}},\vec{p}\right)\;
(13)

Widać, że składowe czterowektora pędu są to wielkości charakteryzujące cząstkę, które są zachowane (energia i pęd cząski- zasada zachowania energii oraz pędu).

Uwaga 4: Zerowa składowa czterowektora pędu dotyczy cząstek poruszających się z prędkością światła po asymptocie diagramu Minkowskiego (np. fotonów), do której nie stosuje się transformacja Lorentza.

Czterowektor siły[edytuj | edytuj kod]

Czterowektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną czteropędu (10) względem interwału czasoprzestrzennego, której różniczka jest zdefiniowana w (3) następująco:

K^{\mu}={{dp^{\mu}}\over{ds}}\;
(14)

Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne czterowektora siły (14) i przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistyczna siły znana z drugiej zasady dynamiki Einsteina.

K^i={{dp^i}\over{ds}}={{dp^i}\over{dtc\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}\;
(15)

Korzystając z definicji siły relatywistycznej, który jest zdefiniowany jako pochodna obserwowalnego pędy (elementy przestrzenne czterowektora pędu) względem czasu, którą mierzymy w sekundach.

F^i={{dp^i}\over{dt}}\;
(16)

Mając definicję współrzędnej w przestrzeni trójwymiarowej siły relatywistycznej (16) oraz definicję funkcji \gamma\;, wtedy elementy przestrzenne czterwektra tensora siły (15) zapisujemy w postaci wzoru:

K^i=F^i{{\gamma}\over{c}}\;
(17)

Wyrażenie (17) możemy zapisać w postaci wektorowej w obserwowalnej przestrzeni (elementy przestrzenne) zapisujemy następująco:

\vec{K}=\vec{F}{{\gamma}\over{c}}\;
(18)

Zatem siła relatywistyczna wyrażona przez czterosiłę (16), a właściwie jej część przestrzenną, jest wyrażone przez czterowektor siły (18) wyznaczając ją z tegoż właśnie wzoru zapisujemy następująco:

\vec{F}=\vec{K}{{c}\over{\gamma}}
(19)

Widzimy, że siła relatywistyczna jest równa zero gdy cząstka się porusza się z prędkością światła przy skończonej jej części przestrzenne czterowektra siły. Można to poznać po definicji funkcji \gamma\;.

Jeśli skorzystamy ze wzoru (5) i zróżniczkujemy go po interwale czasoprzestrzennym prowadząc jej kolejne przekształcenia zapisujemy w postaci:

1=\eta_{\mu\nu}u^{\nu}u^{\mu}\Rightarrow 0=\eta_{\mu\nu}{{du^{\nu}}\over{ds}}u^{\mu}+\eta_{\mu\nu}u^{\nu}{{du^{\mu}}\over{ds}}\;
(20)

Ponieważ tensory metryczne z definicji są tensorami symetrycznymi, zatem końcowe wyrażenie (20) zapisujemy następująco:

0=\eta_{\mu\nu}u^{\mu}{{du^{\nu}}\over{ds}}\;
(21)

Mnożymy wyrażenie (21) przez kwadrat wyrażenia, który jest iloczynem masy spoczynkowej m_0\; i prędkości światła, otrzymujemy zgodnie (10) z (21) następne równanie:

0=\eta_{\mu\nu}p^{\mu}{{dp^{\nu}}\over{ds}}\;
(22)

Jeśli z korzystamy z definicji czterowektora siły (14), wtedy wyrażenie (22) zapisujemy według wzoru:

0=\eta_{\mu\nu}p^{\mu}K^{\nu}\;
(23)

Następnie korzystamy z własności tensorów na tensorach metrycznym a w szczególności tensora metrycznego Minkowskiego, wtedy wzór (23) zapisujemy równoważnie

0=p_{\nu}K^{\nu}\;
(24)

W równaniu (24) wydzielamy części przestrzenne (&nu=1,2,3) od jej elementu czasowego (ν=0) oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową czterowektora siły (14), właśnie ten element można zapisać następująco:

0=p_0K^0+p_iK^i\Rightarrow K^0=-{{-p^iK^i}\over{p_0}}=
{{\vec{p}\cdot\vec{F}\gamma/c}\over{E/c}}={{\vec{p}\cdot\vec{F}}\over{E}}\gamma\;
(25)

Zbierając wyniki elementu przestrzennego czterowektora siły (25) i jego elementów przestrzennych (17), wtedy czterowektor siły w zależności od pędu i prędkości cząstki, siły działającej na cząstkę a także jej energii zapisujemy według następującego wzoru:

K^{\mu}=\left({{\vec{p}\cdot\vec{F}}\over{E}}\gamma,\vec{F}{{\gamma}\over{c}}\right)
(26)

Przykłady czterowektorów[edytuj | edytuj kod]

Przykłady czterowektorów znanych w fizyce relatywistycznej:

A^{\nu} = \left({{\varphi}\over{c}}, \vec{A}\right)\,\; – czteropotencjał (łączy potencjał skalarny i wektorowy w teorii elektromagnetyzmu Maxwella)
j^{\nu} = \left(c\rho,\vec{j}\right)\, \; – czterowektor gęstości prądu (zerową składową jest to relatywistyczna gęstość ładunku, pomnożona przez prędkość światła, a jej częścią przestrzenną jest zwykłą gęstością prądu)

Związek czterowektora pędu z masą spoczynkową cząstki[edytuj | edytuj kod]

Z definicji energii cząstki oraz jej wartości pędu relatywistycznego zapisujemy według wzoru, którą wyprowadził Albert Einstein, i przedstawimy je w postaci umożliwiającej dalsze obliczenia.

E^2=p^2c^2+m_0^2c^4\Rightarrow E^2-p^2c^2=m_0^2c^4\Rightarrow \left({{E}\over{c}}\right)^2-p^2=m_0^2c^2\;
(27)

Należy zauważyć, że wektor pędu w przestrzeni można zapisać w postaci wektora współrzędnych wektora pędu, lub w postaci elementów przestrzennych tensora czteropędu.


\vec{p}=\left(p_x,p_y,p_z\right)=\left(p^1,p^2,p^3\right)

Jeśli potraktujemy element zerowy (czasowy) tensora pędu jako iloraz energii cząstki przez prędkość światła, to wyrażenie końcowe w (27) zapisujemy w postaci wyrażenia:

(p^0)^2-\underbrace{\left[(p^1)^2+(p^2)^2+(p^3)^2\right]}_{p^2=\vec{p}^2}=m_0^2c^2\Rightarrow
(p^0)^2-(p^1)^2-(p^2)^2-(p^3)^2=m_0^2c^2\;
(28)

Następnym krokiem jest wykorzystanie z własności tensorów metrycznych i z własności tensora metrycznego Minkowskiego końcowe wyrażenie (28) zapisujemy w postaci ostatecznej:

\eta_{\mu\nu}p^{\mu}p^{\nu}=m_0^2c^2\;
(29)

W wyrażeniu (29) korzystamy z własności tensorów metrycznych na zwykłych tensorach dostajemy równoważne do poprzedniego wyrażenie:

p_{\nu}p^{\nu}=m_0^2c^2\;
(30)

Jest to ogólny wzór wiążący współrzędne czterowektora pędu z jej masą spoczynkową (masa relatywistyczna cząstki przy jej prędkości zerowej).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Krzysztof Pomorski: Mechanika teoretyczna. Lublin: Wydawnictwo UMCS Lublin, 2000. ISBN 83-227-1667-2.