Czterowektor

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Spacer.gif W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.
Szczególna teoria względności
Sr1.svg
Zasada względności
Prędkość światła w próżni
Transformacja Lorentza

Czterowektor – wektor o czterech współrzędnych należący do czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową (dokładniej przestrzenią wektorową pseudoeuklidesową).

Archetypem wszystkich 4-wektorów jest 4-wektor położenia. Na jego podstawie definiuje się wszystkie inne 4-wektory.

Definicja 4-wektora kontrawariantnego[edytuj | edytuj kod]

Nie każdy zespół 4 liczb można nazwać 4-wektorem. Aby tak było, musi być spełniony istotny warunek: 4 liczby otrzymane z pomiarów wykonanych przez różnych obserwatorów oraz mierzących daną wielkość fizyczną na tym samym obiekcie i w tej samej sytuacji fizycznej (np. pomiar energii-pędu tej samej cząstki, która mija tę samą bramkę) muszą byś ze sobą ściśle związane. W szczególności, jeżeli obserwator porusza się względem obserwatora z prędkością w kierunku osi to związki te zadane są przez tzw. transformację Lorentza:

gdzie:

  • – wyniki pomiarów obserwatora
  • – wyniki pomiarów obserwatora
  • – prędkość światła (zgodnie ze Szczególną Teorią Względności Einsteina identyczna dla każdego obserwatora).

Liczbę nazywa się współrzędną czasową.

Liczby nazywa się współrzędnymi przestrzennymi.

Czterowektor zapisany z górnymi indeksami nazywa się 4-wektorem kontrawariantnym.

Czterowektor kontrawariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

gdzie – wektor o współrzędnych przestrzennych.

Definicja 4-wektora kowariantnego[edytuj | edytuj kod]

Ponadto definiuje się czterowektory z dolnymi indeksami – nazywa się je 4-wektorami kowariantnymi.

Wektory kowariantne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem Minkowskiego – patrz niżej) różnią się od kontrawariantnych znakiem współrzędnych przestrzennych, tj.

– wektor kowariantny

oraz

Czterowektor kowariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

gdzie – wektor (kontrawariantny) o współrzędnych przestrzennych.

Zasada opuszczania wskaźników 4-wektora[edytuj | edytuj kod]

Aby otrzymać współrzędne kowariantne 4-wektora, należy pomnożyć współrzędne kontrawariantne przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej (rozważanej np. w Ogólnej Teorii Względności), związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą tensora metrycznego :

przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku przyjmując

W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać (oznaczaną tu symbolem )

Dlatego opuszczanie wskaźnika sprowadza się tu do zmiany znaku przy współrzędnej przestrzennej kontrawariantnej (co omówiono wyżej).

Zasada podnoszenia wskaźników 4-wektora[edytuj | edytuj kod]

Aby otrzymać współrzędne kontrawariantne 4-wektora mając współrzędne kowariantne, należy te ostatnie pomnożyć przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą postaci kontrawariantnej tensora metrycznego :

przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku przyjmując

W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny kontrawariantny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać identyczną jak tensor kowariantny (oznaczaną tu symbolem ), czyli

Podnoszenie wskaźnika sprowadza się więc do zmiany znaku przy współrzędnych przestrzennych kowariantnych

Długość 4-wektora[edytuj | edytuj kod]

Czterowektory są obiektami geometrycznymi. Z tej racji np. ich długość obliczona w różnych układach odniesienia musi dać tę samą wartość. Kwadrat długości 4-wektora wyrażają 3 równoważne wzory:

lub

przy czym sumuje się po powtarzających się wskaźnikach przyjmując

Pierwszy wzór zapisany bez konwencji sumacyjnej Einsteina ma 4 składowe, a ostatnie dwa zawierają w ogólności po 16 składowych.

W płaskiej czasoprzestrzeni powyższe wzory na kwadrat długości 4-wektora sprowadzają się do postaci

Z powyższych wzorów widać, iż długość 4-wektora w czasoprzestrzeni nie wyraża się przez uogólniony wzór na długość wektora znany z geometrii Euklidesowej (w którym mielibyśmy sumą kwadratów współrzędnych); czasoprzestrzeń jest bowiem przestrzenią pseudoeuklidesową. W szczególności długości 4-wektorów mogą mieć wartości mniejsze od zera (!). Ze względu na długość 4-wektory dzieli się na:

  • czasowe – gdy
  • zerowe – gdy
  • przestrzenne – gdy

Czterowektor położenia w czasoprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Definicja 4-wektora położenia[edytuj | edytuj kod]

Czterowektorem położenia w czasoprzestrzeni nazywamy 4-wektor o postaciach:

  • postać kontrawariantna (o górnych wskaźnikach)
  • postać kowariantna (o dolnych wskaźnikach)

Współrzędna – tzw. współrzędna czasowa, – tzw. współrzędne przestrzenne.

Uwaga:

Współrzędna czasowa 4-wektora położenia ma wymiar długości, podobnie jak pozostałych współrzędnych czterowektora (jest równa czasowi wyrażonemu w sekundach x prędkość światła w próżni, czyli jej wymiarem jest metr).

Sens fizyczny 4-wektora położenia[edytuj | edytuj kod]

Czterowektor położenia opisuje czas oraz położenie przestrzenne zajścia jakiegoś zdarzenia w czasoprzestrzeni, przy czym przez zdarzenie rozumie się jakieś krótkotrwałe zjawisko, np. fakt mijania słupka przez cząstkę – zjawisko to zachodzi w chwili w położeniu co obserwator opisuje za pomocą czterowektora

Własności transformacyjne 4-wektora położenia[edytuj | edytuj kod]

Temu samemu zdarzeniu inny obserwator przypisze własny czterowektor zawierający wyniki pomiaru czasu i położenia dokonane względem jego układu odniesienia i za pomocą jego własnego zegara. Zespoły liczb otrzymane przez różnych obserwatorów będą na ogół różnić się – jeżeli np. obserwatorzy są w ruchu względem siebie. Jednak wykonując pomiary wielu zdarzeń i porównując je ze sobą obserwatorzy stwierdzą, że zachodzą między ich wynikami ścisłe zależności. W najprostszym przypadku, gdy obserwator porusza się względem obserwatora z prędkością w kierunku osi – przy czym oznacza tu współrzędną wektora prędkości – to związki te zadane są przez tzw. transformację Lorentza:

Zapisując współrzędne w postaci transformacje Lorentza mają bardziej symetryczną postać

Aby otrzymać transformację odwrotną, wystarczy do powyższej transformacji podstawić zamiast symbol i zamienić symbole primowane z nieprimowanymi:

Uwaga: Współrzędne każdego innego 4-wektora poddane transformacji Lorentza muszą dać współrzędne tego 4-wektora w nowym układzie. Nie każdy zespół 4 liczb będzie więc 4-wektorem.

Interwał czasoprzestrzenny zdarzeń[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Df. Interwałem czasoprzestrzennym zdarzeń nazywa się długość różnicy dwóch czterowektorów, opisujących dwa zdarzenia w czasoprzestrzeni.

Interwał jest analogiem odległości w zwykłej przestrzeni.

Niezmienniczość interwału[edytuj | edytuj kod]

Tw. Interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.

Dowód:

(1) Rozważmy dwa zdarzenia oraz zachodzące w czasoprzestrzeni, np. – cząstka mija bramkę, – następuje eksplozja supernowej. Obserwator przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń

Różnica czterowektorów jest czterowektorem którego długość, czyli interwał w płaskiej czasoprzestrzeni wynosi

(2) Obserwator przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń

Obliczając interwał w płaskiej czasoprzestrzeni otrzyma

(3) Ponieważ współrzędne związane są ze współrzędnymi za pomocą transformacji Lorentza – i podobnie dla zdarzenia to podstawiając do ostatniego wzoru te zależności i wykonując proste przekształcenia otrzyma się wyrażenie identyczne jak dla tj.

Oznacza to, że interwały obliczone dla dowolnych dwóch zdarzeń nie zależą od obserwatora. Mówimy, ze interwały są niezmiennikami transformacji Lorentza.

Niezmienniczość interwału stanowi o własnościach geometrycznych czasoprzestrzeni.

Interwał dla światła[edytuj | edytuj kod]

Interwał obliczony dla światła jest zerowy w tym sensie, że:

Jeżeli zdarzenie polega na emisji światła z danego źródła, a zdarzenie polega na odbierze tego światła przez jakiś detektor, to

gdyż lewa strona równości przedstawia kwadrat drogi przebytej przez światło, a prawa strona przedstawia kwadrat odległości przestrzennej dzielącej źródło i detektor. Przenosząc wyrażenie z prawej strony na lewą otrzyma się wyrażenie na interwał czasoprzestrzenny. Oznacza to, że interwał dla światła jest zerowy – i własność to jest taka sama dla dowolnego obserwatora.

Uwaga:

Niezmienność interwału wynika de facto z postulatu niezmienniczości prędkości światła względem wszystkich obserwatorów, na którym Einstein w 1905 r. oparł Szczególną Teorię Względności. Transformacja Lorentza, którą w tym artykule zakłada się, jest tego konsekwencją.

Różniczka interwału czasoprzestrzennego zdarzeń[edytuj | edytuj kod]

(1) Df. Różniczką interwału czasoprzestrzennego nazywa się interwał obliczony dla dwóch zdarzeń leżących w infinitezymalnej odległości czasoprzestrzennej, tj. jeżeli mamy dwa zdarzenia opisane 4-wektorami

to różniczka ma postać

czyli

(2) W przestrzeni Minkowskiego długość różniczkowego interwału dzielącego zdarzenie od innego zdarzenia oblicza z ogólnego wzoru na długość 4-wektora w tej przestrzeni, tj.

Jeżeli współrzędne czasoprzestrzenne zdarzenia oznaczymy symbolami a przyrosty tych współrzędnych oznaczymy symbolami

to różniczka wyrazi się w zwartej formie wzorem

gdzie – tensor metryczny Minkowskiego w punkcie

(3) W dowolnie zakrzywionej czasoprzestrzeni różniczka interwału wyrazi się wzorem

gdzie – tensor metryczny w punkcie

Czterowektor prędkości[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Czterowektorem prędkości nazywamy pochodną czterowektora położenia cząstki względem interwału czasoprzestrzennego:

gdzie:

  • – różniczka interwału czasoprzestrzennego dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki, dla której definiuje się 4-wektor prędkości,
  • – różniczka przemieszczenia cząstki w czasoprzestrzeni.

Przy czym zachodzi związek:

Aby pokazać, jaki jest sens fizyczny tak przyjętej definicji 4-wektora prędkości należy najpierw zauważyć, że:

Tw. 1: [edytuj | edytuj kod]

gdzie – infinitezymalny upływ czasu własnego, przy czym – tzw. czas własny cząstki, czyli czas mierzony w układzie, w którym cząstka (przynajmniej chwilowo) jest w spoczynku. Powyższy wzór oznacza, że:

Różniczka interwału dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki jest proporcjonalna do upływu czasu własnego cząstki tj. czasu, jaki dzieli te zdarzenia

Dowód:

W układzie, w którym cząstka spoczywa, jej przemieszczenia przestrzenne są zerowe, tj. . Oznaczając upływ czasu w układzie cząstki symbolem i podstawiając to do wzoru na interwał liczony w układzie cząstki otrzyma się szukany wzór:

cnd.

Tw. 2: [edytuj | edytuj kod]

– infinitezymalny upływ czasu mierzony w układzie, w którym cząstka ma prędkość przestrzenną jest większy o czynnik od upływu czasu w układzie cząstki (przy czym jest istotnie większa od 1 dla dużych prędkości ).

Dowód:

Z transformacji Lorentza, napisanej dla różniczek przemieszczeń mamy

gdzie przyjęto oznaczenie Przemieszczenia cząstki w układzie jej czasu własnego jest zerowe, tj. . Stąd otrzymamy wzór (równoważny w sposób trywialny tezie twierdzenia)

cnd.

Ostatecznie z Tw. 1 oraz Tw. 2 mamy:

Między upływem czasu własnego cząstki, upływem czasu w układzie spoczynkowym oraz różniczką interwału dla zdarzeń na linii świata cząstki zachodzą zależności:

Wzory te pozwalają znaleźć postać 4-wektora prędkości, zależną w jawny sposób od prędkości cząstki, co pokazano niżej.

Elementy przestrzenne 4-wektora prędkości[edytuj | edytuj kod]

gdzie: oraz – współrzędne wektora prędkości cząstki w przestrzeni takie że:

Element czasowy 4-wektora prędkości[edytuj | edytuj kod]

Jawna postać 4-wektora prędkości[edytuj | edytuj kod]

Na podstawie powyższych wzorów czterowektor prędkości można zapisać w postaci jawnie zależnej od prędkości cząstki

Tw. 3: Długość czterowektora prędkości wynosi 1.[edytuj | edytuj kod]

Dowód: Pisząc równość i dzieląc ją obustronnie przez otrzyma się

Korzystając z definicji czterowektora prędkości otrzymuje się

lub równoważnie – po opuszczeniu jednego wskaźnika

Powyższe dwa wzory przedstawiają po prawych stronach wyrażenia na długość 4-wektora prędkości, która wg lewych stron tych równości wynosi 1, cdn.

Uwaga 1: Czterowektor prędkości jest bezwymiarowy – nie ma wymiaru prędkości.

Uwaga 2: Dla światła nie można zdefiniować czterowektora prędkości, gdyż: a) Wartość interwału czasoprzestrzennego dla światła jest zawsze równa zeru – w definicji 4-wektora prędkości mielibyśmy zero w mianowniku b). Podstawiając do wzoru na wartość uzyska się symbol nieoznaczony.

Uwaga 3: Dla światła nie można dokonać transformacji Lorentza do układu poruszającego się z prędkością światła – wtedy bowiem otrzymuje się zera w mianownikach symbolu

Uwaga 4: Układ odniesienia związany ze światłem jest w pewnym sensie wyróżniony, bowiem w każdym innym układzie odniesienia prędkość sygnału świetlnego w próżni jest taka sama – niezależnie od tego, z jak wielką prędkością układ ten porusza się np. w stronę źródła światła (co jest wbrew klasycznej fizyce, wg której obserwator w takim układzie mierzyłby prędkość światła większą niż c).

Uwaga 5: Upływ czasu mierzy się w teorii względności za pomocą sygnałów świetlnych. Czy da się zmierzyć upływu czasu w układzie poruszającym się z prędkością światła? Przekształcając wzór otrzyma się

– wzór ten przedstawia upływ czasu w układzie poruszającym się z prędkością gdy w układzie spoczywającym upływa czas Podstawiając do tego wzoru otrzyma się – dla światła czas nie płynie.

Uwaga 6: Długość (norma) 4-wektora prędkości obliczona w czasoprzestrzeni Minkowskiego zależy od przyjętej sygnatury tensora metrycznego. W tym artykule przyjęto sygnaturę (+,---) – wtedy długość wynosi 1. Jeżeli przyjąć sygnaturę (-,+++), to długość wyniesie bo wtedy

Uwaga 7: Jeżeli cząstka pozostaje w spoczynku, tzn. – wtedy jej 4-wektor prędkości ma postać czyli jest równoległy do współrzędnej czasowej, której wartość wynosi (bo ).

Czteroprędkość jako wektor styczny do trajektorii cząstki[edytuj | edytuj kod]

Geometrycznie czteroprędkość jest wektorem stycznym do linii świata cząstki (unormowanym do 1 lub -1).

Uzasadnienie:

Linia świata cząstki jest definiowana jako krzywa w czasoprzestrzeni (przestrzeni 4-wymiarowej), którą kreśli poruszająca się cząstka; jak każdą krzywą linię świata można zapisać w postaci parametrycznej, tj. podając zależności współrzędnych wektora wodzącego punktów krzywej od parametru, np. od interwału czyli

Pochodna wektora wodzącego po parametrze jest wektorem stycznym do krzywej, czyli

Wektor ten jest tożsamy z wcześniej zdefiniowanym 4-wektorem nazwanym 4-wektorem prędkości cząstki. Jak pokazaliśmy, długość tego wektora wynosi 1 (lub -1 dla sygnatury (-+++)).

Czterowektor pędu[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Kontrwariantnym czterowektorem pędu ciała nazywa się iloczyn 4-wektora prędkości ciała przez

gdzie: masa spoczynkowa cząstki.

(1) Wykorzystując wzory

oraz

czterowektor pędu można łatwo zapisać w równoważnej postaci

Widać stąd, że składowymi czterowektora pędu są energia i pęd cząstki – dlatego wektor ten nazywa się też 4-wektorem energii-pędu: współrzędna czasowa jest równa energii cząstki podzielonej przez prędkość światła

(2) współrzędne przestrzenne są składowymi pędu cząstki

gdzie: – tzw. masa relatywistyczna cząstki. Wynika stąd, że 3-wektor pędu (pęd relatywistyczny) jest iloczynem masy relatywistycznej i prędkości cząstki.

Długość 4-wektora pędu[edytuj | edytuj kod]

Między energią całkowitą cząstki a jej pędem i masą istnieje zależność (wzór podany przez Einsteina)

czyli

Wyrażenie powyższe z lewej strony jest długością 4-wektora

(zgodnie z ogólną zasadą kwadrat długości dowolnego 4-wektora oblicza się odejmując od kwadratu jego części czasowej kwadrat części przestrzennej). Ogólną zasadą jest, iż długość dowolnego 4-wektora powinna być identyczna w każdym układzie współrzędnych. Widać, że długość 4-wektora pędu jest stałą czyli faktycznie nie zależny od układu współrzędnych, w którym się ja oblicza.

Długość 4-wektora pędu w postaci jawnie niezmienniczej[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z ogólnego wyrażenia na długość dowolnego 4-wektora wyrażenie na kwadrat długości 4-wektora pędu przyjmie postać

lub – po opuszczeniu wskaźnika

Na podstawie wcześniejszych obliczeń możemy napisać

Uwaga: Do fotonów nie stosuje się transformacja Lorentza oraz fotony mają zerową masę spoczynkową, dlatego powyższego wyprowadzenia na 4-pęd nie można zastosować do fotonów. Mimo to pokazuje się, że wyrażenie na 4-pęd fotonu jest identyczne jak dla cząstek masowych.

Czterowektor siły[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Czterowektorem siły nazywa się pochodną czteropędu względem interwału czasoprzestrzennego:

lub równoważnie – korzystając ze wzoru

Współrzędne przestrzenne czterowektora siły[edytuj | edytuj kod]

Część przestrzenna czterowektora siły ma więc postać

Powyższy wzór można przekształcić wprowadzając wektor siły znany ze szczególnej teorii względności

(identyczny wzór podał już Newton, formułując II zasadę dynamiki; Einstein zmodyfikował newtonowski wzór na pęd, zastępując iloczyn masy i prędkości wyrażeniem ).

Ponieważ to przyjmie postać

Oznacza to, że: składowa przestrzenna 4-siły jest proporcjonalna do wektora siły.

Stąd siła wyraża się za pomocą wzorem

Współrzędna czasowa czterowektora siły[edytuj | edytuj kod]

Różniczkując wyrażenie na długość 4-wektora prędkości

po interwale czasoprzestrzennym daje

Korzystając z faktu, że tensory metryczne są tensorami symetrycznymi, otrzyma się

Mnożąc powyższe wyrażenie przez i podstawiając otrzyma się

Korzystając z definicji czterowektora siły otrzyma się

lub równoważnie (po opuszczeniu wskaźnika)

czyli

(gdzie sumowanie przeprowadza się po ). Wyznaczając część czasową czterowektora siły otrzyma się

Wyrażenie czterowektora siły przez pęd, energię i siłę[edytuj | edytuj kod]

Wykorzystując otrzymane wzory na i czterowektor siły zapiszemy w postaci

Widać stad, że czterowektor siły wyraża się przez prędkość, pęd i energię cząstki oraz siłę działającą na cząstkę.

Czterowektor falowy[edytuj | edytuj kod]

Czterowektor falowy – to czterowektor przypisany fali świetlnej poruszającej się w kierunku (gdzie wektor falowy fali świetlnej), o częstotliwości

Czterowektor gęstości prądu[edytuj | edytuj kod]

Czterowektor gęstości prądu – to czterowektor przypisany prądowi elektrycznemu (składowa czasowa jest relatywistyczną gęstością ładunku pomnożoną przez prędkość światła; składowa przestrzenna jest wektorem gęstości prądu elektrycznego )

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

W języku polskim:

  • L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009 (klasyczny podręcznik).
  • K Pomorski: Mechanika teoretyczna. Lublin: Wydawnictwo UMCS Lublin, 2000. ISBN 83-227-1667-2.

W języku angielskim:

  • Wolfgang Rindler, Introduction to Special Relativity (2nd edn.), wyd. 2nd ed, Oxford [England]: Clarendon Press Oxford, 1991, ISBN 0-19-853952-5, OCLC 22490653.
  • D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, 2017.
  • D.J. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, WILEY-VCH, Veinhein 2008.