Czterowektor

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Czterowektor – element czasoprzestrzeni znanej ze szczególnej teorii względności. Czterowektory są elementami czterowymiarowej przestrzeni wektorowej wyposażonej w symetryczny iloczyn skalarny, tak by w tej przestrzeni czterowymiarowej płaski tensor symetryczny Minkowskiego miał sygnaturę (1,-1,-1,-1).

W algebrze tensorowej czterowektorem jest wektor kontrawariantny. Możliwa jest także konstrukcja wektorów kowariantnych za pomocą izomorfizmu muzycznego oraz tensorów o dowolnej walencji przy pomocy iloczynu tensorowego. Pierwszym elementem czterowektora jest składowa czasowa, a kolejne trzy są to współrzędne przestrzenne.

Czterowektor położenia w czasoprzestrzeni[edytuj]

Czterowektorem położenia w czasoprzestrzeni nazywamy wielkość zdefiniowaną następującym wzorem jako tensor kontrkowariantny:

(1)

lub jako wektor kowariantny w przestrzeni Minkowskiego:

W czterowektorze położenia (1) można wydzielić część czasową (), a także część przestrzenną .

Część czasowa jest to czas wyrażony w sekundach pomnożony przez prędkość światła, czyli wszystkie współrzędne czterowektora położenia w czasoprzestrzeni są wyrażone w metrach.

Czterowektor prędkości[edytuj]

Czterowektorem prędkości nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną położenia kontrwariantnego (1) względem wielkości znanej ze szczególnej teorii względności zwanej interwałem czasoprzestrzennym:

(2)
  • gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego zdefiniowanego w punkcie (3).
Kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego w przestrzeni Minkowskiego przy sygnaturze tensora Minkowskiego (1,-1,-1,-1) jest zdefiniowany następująco:
(3)
  • gdzie jest tensorem metrycznym Minkowskiego.

Z definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego (3) dzieląc obustronnie opisany wzór przez kwadrat interwału czasoprzestrzennego i otrzymamy zależność tensorową kontrwariantnych pochodnych tensora położenia względem interwału czasoprzestrzennego.

(4)

Korzystając z definicji czterowektora prędkości (2) wyrażenie (4) możemy przedstawić w następującej postaci:

(5)

Z tego wyrażenia wynika ścisła zależność między kontrwariantnymi czterowekorami prędkości. Z własności tensora metrycznych równanie (5) można zapisać równoważnie:

(6)

Stąd wynika zależność między kontrwariantno-kowarantnymi tensorami czterowektora prędkości. Elementy przestrzenne i czasowe według (2) można zapisać dia przestrzeni trójwymiarowej(podprzestrzni czterwymiarowej-czasoprzestrzeni) i dlatego wskaźnik na górze tego tensora jest oznaczony literą grecką.

(7)

Element czasowy tensora czterowektora prędkośći (element tego tensora o wskaźniku zerowym) jest to funkcja gamma, która zależy od prędkości rozważanej cząstki, która powinna być mniejsza niż prędkość światła (cząstki masowe, wartość masy spoczynkowej jest większa niż zero), a nawet równa jej (cząstki bezmasowe, masą spoczynkowa równa zero, one posiadają tylko masę relatywistyczną i dlatego mają tą właśnie prędkość ).

(8)

Na podstawie (7) i (8) czterotensor (2) w postaci czterowektora prędkości w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) w zależności od wielkości obserwowalnych, tzn. prędkość fizyczna poruszającej się cząstki jest wyrażona następująco:

(9)

Uwaga 1: Czterowektor zdefiniowany jako pochodna współrzędnej po interwale nie ma wymiaru prędkości.

Uwaga 2: Każdy sygnał rozprzestrzeniający się z prędkością światła transformuje się jak asymptota diagramu Minkowskiego, a nie zgodnie z transformacją Lorentza. W każdym układzie odniesienia prędkość światła jest stała i parametru zdefiniowanego jako iloczyn ct nie można transformować inaczej, gdyż jest to równoznaczne istnieniu rozwiązania asymptotycznego. Czym innym jest upływ czasu, a czym innym propagacja sygnału na odległość ct.

Uwaga 3: Wartość interwału leżącego na asymptocie jest zawsze równa zeru, zatem zerowa składowa czterowektora prędkości nie ma sensu fizycznego.

Czterowektor pędu[edytuj]

Kontrwariantnym czterowektorem pędu ciała o masie spoczynkowej i o czterowektorze prędkości prędkości (2) nazywamy wielkość zdefiniowaną następująco:

(10)

Wyznaczmy elementy czterowektora pędu najpierw jej wielkości przestrzenne

(11)

Według (11) kontrawariantny tensor pędy w przestrzeni obserwowalnej trójwymiarowej jest to pęd relatywistyczny, który zależy od masy relatywistycznej i prędkości cząstki masowej, czyli masa relatywistyczna zależy od wartości prędkości cząstki. Wyznaczmy element czasowy czterowektora pędu (10) (jej element zerowy).

(12)

Współrzędna czasowa czterowektora pędu jest to energia cząstki podzielona przez prędkość światła. Dla cząstek masowych czterowektor pędu dla przestrzeni trójwymiarowej, która jest podprzestrzenią czasoprzestrzeni jest zależny od masy spoczynkowej i od wartości, wektora prędkości danej cząstki. Jeśli cząstka porusza się z prędkością światła, to wtedy pędy relatywistyczny cząstki zależy tylko od energii cząstki.

Czterowektor pędu (10) według (11) (obserwowalny pęd cząstki jako elementy przestrzenne) i (12) (z dokładnością do stałej prędkości światła jest energią badanej cząstki), można zatem zapisać w postaci czterowektora pędu następująco:

(13)

Widać, że składowe czterowektora pędu są to wielkości charakteryzujące cząstkę, które są zachowane (energia i pęd cząski- zasada zachowania energii oraz pędu).

Uwaga 4: Zerowa składowa czterowektora pędu dotyczy cząstek poruszających się z prędkością światła po asymptocie diagramu Minkowskiego (np. fotonów), do której nie stosuje się transformacja Lorentza.

Czterowektor siły[edytuj]

Czterowektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną czteropędu (10) względem interwału czasoprzestrzennego, której różniczka jest zdefiniowana w (3) następująco:

(14)

Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne czterowektora siły (14) i przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistyczna siły znana z drugiej zasady dynamiki Einsteina.

(15)

Korzystając z definicji siły relatywistycznej, który jest zdefiniowany jako pochodna obserwowalnego pędy (elementy przestrzenne czterowektora pędu) względem czasu, którą mierzymy w sekundach.

(16)

Mając definicję współrzędnej w przestrzeni trójwymiarowej siły relatywistycznej (16) oraz definicję funkcji , wtedy elementy przestrzenne czterwektra tensora siły (15) zapisujemy w postaci wzoru:

(17)

Wyrażenie (17) możemy zapisać w postaci wektorowej w obserwowalnej przestrzeni (elementy przestrzenne) zapisujemy następująco:

(18)

Zatem siła relatywistyczna wyrażona przez czterosiłę (16), a właściwie jej część przestrzenną, jest wyrażone przez czterowektor siły (18) wyznaczając ją z tegoż właśnie wzoru zapisujemy następująco:

(19)

Widzimy, że siła relatywistyczna jest równa zero gdy cząstka się porusza się z prędkością światła przy skończonej jej części przestrzenne czterowektra siły. Można to poznać po definicji funkcji .

Jeśli skorzystamy ze wzoru (5) i zróżniczkujemy go po interwale czasoprzestrzennym prowadząc jej kolejne przekształcenia zapisujemy w postaci:

(20)

Ponieważ tensory metryczne z definicji są tensorami symetrycznymi, zatem końcowe wyrażenie (20) zapisujemy następująco:

(21)

Mnożymy wyrażenie (21) przez kwadrat wyrażenia, który jest iloczynem masy spoczynkowej i prędkości światła, otrzymujemy zgodnie (10) z (21) następne równanie:

(22)

Jeśli z korzystamy z definicji czterowektora siły (14), wtedy wyrażenie (22) zapisujemy według wzoru:

(23)

Następnie korzystamy z własności tensorów na tensorach metrycznym a w szczególności tensora metrycznego Minkowskiego, wtedy wzór (23) zapisujemy równoważnie

(24)

W równaniu (24) wydzielamy części przestrzenne (&nu=1,2,3) od jej elementu czasowego (ν=0) oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową czterowektora siły (14), właśnie ten element można zapisać następująco:

(25)

Zbierając wyniki elementu przestrzennego czterowektora siły (25) i jego elementów przestrzennych (17), wtedy czterowektor siły w zależności od pędu i prędkości cząstki, siły działającej na cząstkę a także jej energii zapisujemy według następującego wzoru:

(26)

Przykłady czterowektorów[edytuj]

Przykłady czterowektorów znanych w fizyce relatywistycznej:

– wektor falowy jest czterowektorem(ma prawo transformacyjne takie jak czterowektor)
– czterowektor gęstości prądu (zerową składową jest to relatywistyczna gęstość ładunku, pomnożona przez prędkość światła, a jej częścią przestrzenną jest zwykłą gęstością prądu)

Związek czterowektora pędu z masą spoczynkową cząstki[edytuj]

Z definicji energii cząstki oraz jej wartości pędu relatywistycznego zapisujemy według wzoru, którą wyprowadził Albert Einstein, i przedstawimy je w postaci umożliwiającej dalsze obliczenia.

(27)

Należy zauważyć, że wektor pędu w przestrzeni można zapisać w postaci wektora współrzędnych wektora pędu, lub w postaci elementów przestrzennych tensora czteropędu.

Jeśli potraktujemy element zerowy (czasowy) tensora pędu jako iloraz energii cząstki przez prędkość światła, to wyrażenie końcowe w (27) zapisujemy w postaci wyrażenia:

(28)

Następnym krokiem jest wykorzystanie z własności tensorów metrycznych i z własności tensora metrycznego Minkowskiego końcowe wyrażenie (28) zapisujemy w postaci ostatecznej:

(29)

W wyrażeniu (29) korzystamy z własności tensorów metrycznych na zwykłych tensorach dostajemy równoważne do poprzedniego wyrażenie:

(30)

Jest to ogólny wzór wiążący współrzędne czterowektora pędu z jej masą spoczynkową (masa relatywistyczna cząstki przy jej prędkości zerowej).

Bibliografia[edytuj]

  • Krzysztof Pomorski: Mechanika teoretyczna. Lublin: Wydawnictwo UMCS Lublin, 2000. ISBN 83-227-1667-2.