Czterowektor

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Spacer.gif W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.
Szczególna teoria względności
Sr1.svg
Zasada względności
Prędkość światła w próżni
Transformacja Lorentza

Czterowektor – wektor o czterech współrzędnych należący do czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową (dokładniej przestrzenią wektorową pseudoeuklidesową).

Archetypem wszystkich 4-wektorów jest 4-wektor położenia. Na jego podstawie definiuje się wszystkie inne 4-wektory.

Definicja 4-wektora kontrawariantnego[edytuj | edytuj kod]

Nie każdy zespół 4 liczb można nazwać 4-wektorem. Aby tak było, musi być spełniony istotny warunek: 4 liczby otrzymane z pomiarów wykonanych przez różnych obserwatorów oraz mierzących daną wielkość fizyczną na tym samym obiekcie i w tej samej sytuacji fizycznej (np. pomiar energii-pędu tej samej cząstki, która mija tę samą bramkę) muszą byś ze sobą ściśle związane. W szczególności, jeżeli obserwator porusza się względem obserwatora z prędkością w kierunku osi , to związki te zadane są przez tzw. transformację Lorentza:

gdzie:

  • - wyniki pomiarów obserwatora
  • - wyniki pomiarów obserwatora
  • - prędkość światła (zgodnie z Szczególną Teorią Względności Einsteina identyczna dla każdego obserwatora)

Liczbę nazywa się współrzędną czasową.

Liczby nazywa się współrzędnymi przestrzennymi.

Czterowektor zapisany z górnymi indeksami nazywa się 4-wektorem kontrawariantnym.

Czterowektor kontrawariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

gdzie - wektor o współrzędnych przestrzennych

Definicja 4-wektora kowariantnego[edytuj | edytuj kod]

Ponadto definiuje się czterowektory z dolnymi indeksami - nazywa się je 4-wektorami kowariantnymi.

Wektory kowariantne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem Minkowskiego - patrz niżej) różnią się od kontrawariantnych znakiem współrzędnych przestrzennych , tj.

- wektor kowariantny
oraz

Czterowektor kowariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

gdzie - wektor (kontrawariantny) o współrzędnych przestrzennych.

Zasada opuszczania wskaźników 4-wektora[edytuj | edytuj kod]

Aby otrzymać współrzędne kowariantne 4-wektora, należy pomnożyć współrzędne kontrawariantne przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej (rozważanej np. w Ogólnej Teorii Względności), związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą tensora metrycznego :

- przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku przyjmując .

W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać (oznaczaną tu symbolem )

Dlatego opuszczanie wskaźnika sprowadza się tu do zmiany znaku przy współrzędnej przestrzennej kontrawariantnej (co omówiono wyżej).

Zasada podnoszenia wskaźników 4-wektora[edytuj | edytuj kod]

Aby otrzymać współrzędne kontrawariantne 4-wektora mając współrzędne kowariantne, należy te ostatnie pomnożyć przez przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą postaci kontrawariantnej tensora metrycznego :

- przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku przyjmując .

W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny kontrawariantny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać identyczną jak tensor kowariantny (oznaczaną tu symbolem ), czyli

Podnoszenie wskaźnika sprowadza się więc do zmiany znaku przy współrzędnych przestrzennych kowariantnych

Długość 4-wektora[edytuj | edytuj kod]

Czterowektory są obiektami geometrycznymi. Z tej racji np. ich długość obliczona w różnych układach odniesienia musi dać tę samą wartość. Kwadrat długości 4-wektora wyrażają 3 równoważne wzory:

lub

- przy czym sumuje się po powtarzających się wskaźnikach przyjmując .

Pierwszy wzór zapisany bez konwencji sumacyjnej Einsteina ma 4 składowe, a ostatnie dwa zawierają w ogólności po 16 składowych.

W płaskiej czasoprzestrzeni powyższe wzory na kwadrat długości 4-wektora sprowadzają się do postaci

Z powyższych wzorów widać, iż długość 4-wektora w czasoprzestrzeni nie wyraża się przez uogólniony wzór na długość wektora znany z geometrii Euklidesowej (w którym mielibyśmy sumą kwadratów współrzędnych); czasoprzestrzeń jest bowiem przestrzenią pseudoeuklidesową. W szczególności długości 4-wektorów mogą mieć wartości wartości mniejsze od zera (!). Ze względu na długość 4-wektory dzieli się na:

  • czasowe - gdy
  • zerowe - gdy
  • przestrzenne - gdy

Czterowektor położenia w czasoprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Definicja 4-wektora położenia[edytuj | edytuj kod]

Czterowektorem położenia w czasoprzestrzeni nazywamy 4-wektor o postaciach:

  • postać kontrawariantna (o górnych wskaźnikach)
  • postać kowariantna (o dolnych wskaźnikach)

Współrzędna - tzw. współrzędna czasowa, - tzw. współrzędne przestrzenne.

Uwaga:

Współrzędna czasowa 4-wektora położenia ma wymiar długości, podobnie jak pozostałych współrzędnych czterowektora (jest równa czasowi wyrażonemu w sekundach x prędkość światła w próżni, czyli jej wymiarem jest metr).

Sens fizyczny 4-wektora położenia[edytuj | edytuj kod]

Czterowektor położenia opisuje czas oraz położenie przestrzenne zajścia jakiegoś zdarzenia w czasoprzestrzeni, przy czym przez zdarzenie rozumie się jakieś krótkotrwałe zjawisko, np. fakt mijania słupka przez cząstkę – zjawisko to zachodzi w chwili w położeniu co obserwator opisuje za pomocą czterowektora

Własności transformacyjne 4-wektora położenia[edytuj | edytuj kod]

Temu samemu zdarzeniu inny obserwator przypisze własny czterowektor , zawierający wyniki pomiaru czasu i położenia dokonane względem jego układu odniesienia i za pomocą jego własnego zegara. Zespoły liczb otrzymane przez różnych obserwatorów będą na ogół różnić się - jeżeli np. obserwatorzy są w ruchu względem siebie. Jednak wykonując pomiary wielu zdarzeń i porównując je ze sobą obserwatorzy stwierdzą, że zachodzą między ich wynikami ścisłe zależności. W najprostszym przypadku, gdy obserwator porusza się względem obserwatora z prędkością w kierunku osi - przy czym oznacza tu współrzędną wektora prędkości - to związki te zadane są przez tzw. transformację Lorentza:

Zapisując współrzędne w postaci transformacje Lorentza mają bardziej symetryczną postać

Aby otrzymać transformację odwrotną, wystarczy do powyższej transformacji podstawić zamiast symbol i zamienić symbole primowane z nieprimowanymi:

Uwaga: Współrzędne każdego innego 4-wektora poddane transformacji Lorentza muszą dać współrzędne tego 4-wektora w nowym układzie. Nie każdy zespół 4 liczb będzie więc 4-wektorem.

Interwał czasoprzestrzenny zdarzeń[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Df. Interwałem czasoprzestrzennym zdarzeń nazywa się długość różnicy dwóch czterowektorów, opisujących dwa zdarzenia w czasoprzestrzeni.

Interwał jest analogiem odległości w zwykłej przestrzeni.

Niezmienniczość interwału[edytuj | edytuj kod]

Tw. Interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.

Dowód:

(1) Rozważmy dwa zdarzenia oraz zachodzące w czasoprzestrzeni, np. - cząstka mija bramkę, - następuje eksplozja supernowej. Obserwator przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń

Różnica czterowektorów jest czterowektorem , którego długość czyli interwał w płaskiej czasoprzestrzeni wynosi

(2) Obserwator przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń

Obliczając interwał w płaskiej czasoprzestrzeni otrzyma

(3) Ponieważ współrzędne związane są z współrzędnymi za pomocą transformacji Lorentza - i podobnie dla zdarzenia , to podstawiając do ostatniego wzoru te zależności i wykonując proste przekształcenia otrzyma się wyrażenie identyczne jak dla , tj.

Oznacza to, że interwały obliczone dla dowolnych dwóch zdarzeń nie zależą od obserwatora. Mówimy, ze interwały są niezmiennikami transformacji Lorentza.

Niezmienniczość interwału stanowi o własnościach geometrycznych czasoprzestrzeni.

Interwał dla światła[edytuj | edytuj kod]

Interwał obliczony dla światła jest zerowy w tym sensie, że:

Jeżeli zdarzenie polega na emisji światła z danego źródła, a zdarzenie polega na odbierze tego światła przez jakiś detektor, to

gdyż lewa strona równości przedstawia kwadrat drogi przebytej przez światło, a prawa strona przedstawia kwadrat odległości przestrzennej dzielącej źródło i detektor. Przenosząc wyrażenie z prawej strony na lewą otrzyma się wyrażenie na interwał czasoprzestrzenny. Oznacza to, że interwał dla światła jest zerowy - i własność to jest taka sama dla dowolnego obserwatora.

Uwaga:

Niezmienność interwału wynika de facto z postulatu niezmienniczości prędkości światła względem wszystkich obserwatorów, na którym Einstein w 1905 r. oparł Szczególną Teorię Względności. Transformacja Lorentza, którą w tym artykule zakłada się, jest tego konsekwencją.

Różniczka interwału czasoprzestrzennego zdarzeń[edytuj | edytuj kod]

(1) Df. Różniczką interwału czasoprzestrzennego nazywa się interwał obliczony dla dwóch zdarzeń leżących w infinitezymalnej odległości czasoprzestrzennej, tj. jeżeli mamy dwa zdarzenia opisane 4-wektorami

to różniczka ma postać

czyli

(2) W przestrzeni Minkowskiego długość różniczkowego interwału dzielącego zdarzenie od innego zdarzenia oblicza z ogólnego wzoru na długość 4-wektora w tej przestrzeni, tj.

Jeżeli współrzędne czasoprzestrzenne zdarzenia oznaczymy symbolami , a przyrosty tych współrzędnych oznaczymy symbolami

to różniczka wyrazi się w zwartej formie wzorem

gdzie - tensor metryczny Minkowskiego w punkcie

(3) W dowolnie zakrzywionej czasoprzestrzeni różniczka interwału wyrazi się wzorem

gdzie - tensor metryczny w punkcie

Czterowektor prędkości[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Czterowektorem prędkości nazywamy pochodną czterowektora położenia cząstki względem interwału czasoprzestrzennego:

gdzie:

  • – różniczka interwału czasoprzestrzennego dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki, dla której definiuje się 4-wektor prędkości
  • - różniczka przemieszczenia cząstki w czasoprzestrzeni.

Przy czym zachodzi związek:

Aby pokazać, jaki jest sens fizyczny tak przyjętej definicji 4-wektora prędkości należy najpierw zauważyć, że:

Tw. 1: [edytuj | edytuj kod]

gdzie - infinitezymalny upływ czasu własnego, przy czym - tzw. czas własny cząstki, czyli czas mierzony w układzie, w którym cząstka (przynajmniej chwilowo) jest w spoczynku. Powyższy wzór oznacza, że:

Różniczka interwału dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki jest proporcjonalna do upływu czasu własnego cząstki , tj. czasu, jaki dzieli te zdarzenia

Dowód:

W układzie, w którym cząstka spoczywa, jej przemieszczenia przestrzenne są zerowe, tj. . Oznaczając upływ czasu w układzie cząstki symbolem i podstawiając to do wzoru na interwał liczony w układzie cząstki otrzyma się szukany wzór:

, cnd.

Tw. 2: [edytuj | edytuj kod]

- infinitezymalny upływ czasu mierzony w układzie, w którym cząstka ma prędkość przestrzenną , jest większy o czynnik od upływu czasu w układzie cząstki (przy czym jest istotnie większa od 1 dla dużych prędkości ).

Dowód:

Z transformacji Lorentza, napisanej dla różniczek przemieszczeń mamy

gdzie przyjęto oznaczenie . Przemieszczenia cząstki w układzie jej czasu własnego jest zerowe, tj. . Stąd otrzymamy wzór (równoważny w sposób trywialny tezie twierdzenia)

, cnd.

Ostatecznie z Tw. 1 oraz Tw. 2 mamy:

Między upływem czasu własnego cząstki, upływem czasu w układzie spoczynkowym oraz różniczką interwału dla zdarzeń na linii świata cząstki zachodzą zależności:

Wzory te pozwalają znaleźć postać 4-wektora prędkości, zależną w jawny sposób od prędkości cząstki, co pokazano niżej.

Elementy przestrzenne 4-wektora prędkości[edytuj | edytuj kod]

gdzie: oraz - współrzędne wektora prędkości cząstki w przestrzeni , takie że:

Element czasowy 4-wektora prędkości[edytuj | edytuj kod]

Jawna postać 4-wektora prędkości[edytuj | edytuj kod]

Na podstawie powyższych wzorów czterowektor prędkości można zapisać w postaci jawnie zależnej od prędkości cząstki

Tw. 3: Długość czterowektora prędkości wynosi 1.[edytuj | edytuj kod]

Dowód: Pisząc równość i dzieląc ją obustronnie przez otrzyma się

Korzystając z definicji czterowektora prędkości otrzymuje się

lub równoważnie - po opuszczeniu jednego wskaźnika

Powyższe dwa wzory przedstawiają po prawych stronach wyrażenia na długość 4-wektora prędkości, która wg lewych stron tych równości wynosi 1, cdn.

Uwaga 1: Czterowektor prędkości jest bezwymiarowy - nie ma wymiaru prędkości.

Uwaga 2: Dla światła nie można zdefiniować czterowektora prędkości, gdyż: a) Wartość interwału czasoprzestrzennego dla światła jest zawsze równa zeru - w definicji 4-wektora prędkości mielibyśmy zero w mianowniku b). Podstawiając do wzoru na wartość uzyska się symbol nieoznaczony.

Uwaga 3: Dla światła nie można dokonać transformacji Lorentza do układu poruszającego się z prędkością światła - wtedy bowiem otrzymuje się zera w mianownikach symbolu .

Uwaga 4: Układ odniesienia związany ze światłem jest w pewnym sensie wyróżniony, bowiem w każdym innym układzie odniesienia prędkość sygnału świetlnego w próżni jest taka sama - niezależnie od tego, z jak wielką prędkością układ ten porusza się np. w stronę źródła światła (co jest wbrew klasycznej fizyce, wg której obserwator w takim układzie mierzyłby prędkość światła większą niż c).

Uwaga 5: Upływ czasu mierzy się w teorii względności za pomocą sygnałów świetlnych. Czy da się zmierzyć upływu czasu w układzie poruszającym się z prędkością światła? Przekształcając wzór otrzyma się

- wzór ten przedstawia upływ czasu w układzie poruszającym się z prędkością , gdy w układzie spoczywającym upływa czas . Podstawiając do tego wzoru otrzyma się - dla światła czas nie płynie.

Uwaga 6: Długość (norma) 4-wektora prędkości obliczona w czasoprzestrzeni Minkowskiego zależy od przyjętej sygnatury tensora metrycznego. W tym artykule przyjęto sygnaturę (+,---) - wtedy długość wynosi 1. Jeżeli przyjąć sygnaturę (-,+++), to długość wyniesie bo wtedy.

Uwaga 7: Jeżeli cząstka pozostaje w spoczynku, tzn. - wtedy jej 4-wektor prędkości ma postać , czyli jest równoległy do współrzędnej czasowej, której wartość wynosi ( bo ).

Czteroprędkość jako wektor styczny do trajektorii cząstki[edytuj | edytuj kod]

Geometrycznie czteroprędkość jest wektorem stycznym do linii świata cząstki (unormowanym do 1 lub -1).

Uzasadnienie:

Linia świata cząstki jest definiowana jako krzywa w czasoprzestrzeni (przestrzeni 4-wymiarowej), którą kreśli poruszająca się cząstka; jak każdą krzywą linię świata można zapisać w postaci parametrycznej, tj. podając zależności współrzędnych wektora wodzącego punktów krzywej od parametru, np. od interwału , czyli

Pochodna wektora wodzącego po parametrze jest wektorem stycznym do krzywej, czyli

Wektor ten jest tożsamy z wcześniej zdefiniowanym 4-wektorem , nazwanym 4-wektorem prędkości cząstki. Jak pokazaliśmy, długość tego wektora wynosi 1 (lub -1 dla sygnatury (-+++)).

Czterowektor pędu[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Kontrwariantnym czterowektorem pędu ciała nazywa się iloczyn 4-wektora prędkości ciała przez

gdzie: masa spoczynkowa cząstki

(1) Wykorzystując wzory

oraz

czterowektor pędu można łatwo zapisać w równoważnej postaci

Widać stąd, że składowymi czterowektora pędu są energia i pęd cząstki - dlatego wektor ten nazywa się też 4-wektorem energii-pędu: współrzędna czasowa jest równa energii cząstki podzielonej przez prędkość światła

(2) współrzędne przestrzenne są składowymi pędu cząstki

gdzie: – tzw. masa relatywistyczna cząstki. Wynika stąd, że 3-wektor pędu (pęd relatywistyczny) jest iloczynem masy relatywistycznej i prędkości cząstki.

Długość 4-wektora pędu[edytuj | edytuj kod]

Między energią całkowitą cząstki a jej pędem i masą istnieje zależność (wzór podany przez Einsteina)

czyli

Wyrażenie powyższe z lewej strony jest długością 4-wektora

(zgodnie z ogólną zasadą kwadrat długości dowolnego 4-wektora oblicza się odejmując od kwadratu jego części czasowej kwadrat części przestrzennej). Ogólną zasadą jest, iż długość dowolnego 4-wektora powinna być identyczna w każdym układzie współrzędnych. Widać, że długość 4-wektora pędu jest stałą , czyli faktycznie nie zależny od układu współrzędnych, w którym się ja oblicza.

Długość 4-wektora pędu w postaci jawnie niezmienniczej[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z ogólnego wyrażenia na długość dowolnego 4-wektora wyrażenie na kwadrat długości 4-wektora pędu przyjmie postać

lub - po opuszczeniu wskaźnika

Na podstawie wcześniejszych obliczeń możemy napisać

Uwaga: Do fotonów nie stosuje się transformacja Lorentza oraz fotony mają zerową masę spoczynkową, dlatego powyższego wyprowadzenia na 4-pęd nie można zastosować do fotonów. Mimo to pokazuje się, że wyrażenie na 4-pęd fotonu jest identyczne jak dla cząstek masowych.

Czterowektor siły[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Czterowektorem siły nazywa się pochodną czteropędu względem interwału czasoprzestrzennego:

lub równoważnie - korzystając ze wzoru

Współrzędne przestrzenne czterowektora siły[edytuj | edytuj kod]

Część przestrzenna czterowektora siły ma więc postać

Powyższy wzór można przekształcić wprowadzając wektor siły znany z szczególnej teorii względności

(identyczny wzór podał już Newton, formułując II zasadę dynamiki; Einstein zmodyfikował newtonowski wzór na pęd, zastępując iloczyn masy i prędkości wyrażeniem ).

Ponieważ , to przyjmie postać

Oznacza to, że: składowa przestrzenna 4-siły jest proporcjonalna do wektora siły.

Stąd siła wyraża się za pomocą wzorem

Współrzędna czasowa czterowektora siły[edytuj | edytuj kod]

Różniczkując wyrażenie na długość 4-wektora prędkości

po interwale czasoprzestrzennym daje

Korzystając z faktu, że tensory metryczne są tensorami symetrycznymi, otrzyma się

Mnożąc powyższe wyrażenie przez i podstawiając otrzyma się

Korzystając z definicji czterowektora siły otrzyma się

lub równoważnie (po opuszczeniu wskaźnika)

czyli

(gdzie sumowanie przeprowadza się po ). Wyznaczając część czasową czterowektora siły otrzyma się

Wyrażenie czterowektora siły przez pęd, energię i siłę[edytuj | edytuj kod]

Wykorzystując otrzymane wzory na i czterowektor siły zapiszemy w postaci

Widać stad, że czterowektor siły wyraża się przez prędkość, pęd i energię cząstki oraz siłę działającą na cząstkę.

Czterowektor falowy[edytuj | edytuj kod]

Czterowektor falowy - to czterowektor przypisany fali świetlnej poruszającej się w kierunku (gdzie - wektor falowy fali świetlnej), o częstotliwości

Czterowektor gęstości prądu[edytuj | edytuj kod]

Czterowektor gęstości prądu - to czterowektor przypisany prądowi elektrycznemu (składowa czasowa jest relatywistyczną gęstością ładunku , pomnożoną przez prędkość światła; składowa przestrzenna jest wektorem gęstości prądu elektrycznego )

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

W języku polskim:

  • L. D. Landau, J. M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009 (klasyczny podręcznik)
  • K Pomorski: Mechanika teoretyczna. Lublin: Wydawnictwo UMCS Lublin, 2000. ISBN 83-227-1667-2.

W języku angielskim:

  • W. Rindler, Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5
  • D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press 2017
  • D. J. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, WILEY-VCH Veinhein 2008