Długość krzywej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Długość łuku)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Długość krzywej to wielkość charakteryzująca krzywą określoną jako W tym przypadku tę krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.

Krzywą w przestrzeni euklidesowej można przybliżać łamaną o skończonej liczbie odcinków (można żądać, by ich końce leżały na krzywej; w szczególności, by końce łamanej pokrywały się z końcami krzywej), których długość łatwo obliczyć (np. za pomocą twierdzenia Pitagorasa) – długość całego przybliżenia jest wtedy sumą długości wszystkich odcinków.

Zwiększanie liczby odcinków (o krótszej długości) łamanej umożliwia lepsze przybliżanie krzywej. Długości kolejnych przybliżeń mogą rosnąć nieograniczenie, jednak istnieje klasa krzywych, dla których długości ich przybliżeń dążą do pewnej wartości wraz ze wzrostem liczby i skracaniem długości odcinków łamanej. Jeśli dla danej krzywej istnieje kres górny długości dowolnego jej przybliżenia wielomianowego, to wielkość tę nazywa się długością tej krzywej. Samą krzywą nazywa się wtedy prostowalną albo rektyfikowalną.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej (lub ogólnie metrycznej) Istnieje wtedy funkcja ciągła nazywana parametryzacją, której obrazem jest krzywa Oznaczmy dalej oraz długość odcinka daną jako odległość między punktami i

Z podziału odcinka uzyskujemy skończony zbiór punktów na krzywej Długość krzywej wyraża się wtedy wzorem:

gdzie supremum (kres górny) wzięto po wszystkich podziałach odcinka oraz

Dowodzi się, że wartość nie zależy od wyboru parametryzacji. Jeśli jest ona skończona, to krzywą nazywa się prostowalną (lub rektyfikowalną) i nieprostowalną (lub nierektyfikowalną) w przeciwnym przypadku.

Parametr naturalny krzywej[edytuj | edytuj kod]

Parametrem tym jest długość łuku krzywej mierzona od jej wyróżnionego punktu początkowego do punktu bieżącego po krzywej

Przypadki szczególne[edytuj | edytuj kod]

Jeśli spełnia warunek Lipschitza, to jest ona prostowalna. Wówczas można zdefiniować wielkość

dzięki której można wyrazić długość krzywej sparametryzowanej za pomocą wzorem:

Jeśli jest różniczkowalna, to długość krzywej wyraża się wzorem:

Jeżeli krzywa płaska sparametryzowana jest w kartezjańskim układzie współrzędnych XY równaniami oraz gdzie funkcje i są gładkie, to długość tej krzywej opisuje wzór:

We współrzędnych biegunowych powyższy wzór przyjmuje postać

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Cykloida[edytuj | edytuj kod]

Zakreślanie cykloidy
 Zobacz też: cykloida.

Długość łuku cykloidy opisanej równaniem parametrycznym:

wynosi gdzie jest ustalone oraz

Dowód

Obliczamy pochodne:

Podstawiamy do wzoru:

skąd

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego na różnicę kosinusów

dochodzimy do równości

Ze względu na to, iż w granicach całkowania wyrażenie jest nieujemne, otrzymujemy ostatecznie równość

Długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się okręgu.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]