Długość krzywej

Przybliżanie krzywej za pomocą łamanej

Przykład krzywej prostowalnej – da się ją przekształcić w odcinek prostoliniowy, a jego długość nazywa się długością krzywej

Wybrane przybliżenia krzywej Peana. Dla granicznej krzywej nie da się określić długości – krzywa Peana nie jest prostowalna

Długość krzywej – dodatnia wielkość związana z niektórymi krzywymi; uogólnienie długości odcinków i długości łamanych na niektóre inne linie. Są nazywane prostowalnymi lub rektyfikowalnymi, a ich dokładne definicje podano w dalszych sekcjach.

Pojęcie krzywej jest tu rozumiane szeroko – mogą to być linie na płaszczyźnie w jej podstawowym, euklidesowym znaczeniu, linie w trójwymiarowej przestrzeni tego typu, ale też linie w bardziej ogólnych przestrzeniach euklidesowych dowolnego wymiaru. Krzywe i ich długości w najszerszym znaczeniu są definiowane metodami matematyki wyższej, konkretniej analizy i topologii. W tych dziedzinach mówi się o przestrzeniach metrycznych – w tym kontekście pojawia się ogólne pojęcie odległości, którym definiuje się długość.

Zarówno w najprostszych przypadkach, jak i tych najbardziej abstrakcyjnych, krzywe da się przybliżać za pomocą linii łamanych. Polega to na wyborze skończonej liczby punktów krzywej i na odpowiednim połączeniu tych punktów odcinkami, zwanymi cięciwami. Im więcej cięciw ma odpowiednia łamana, tym dokładniej przybliży krzywą, a dla każdej łamanej da się określić długość. Ten zbiór długości przybliżeń może mieć kres górny, inaczej supremum – to właśnie ta graniczna wartość jest nazywana długością krzywej. Nie wszystkie krzywe mają tę własność – taka granica może nie istnieć. Krzywe nieprostowalne występują m.in. w najprostszym kontekście, czyli na płaszczyźnie euklidesowej – długości nie mają m.in. krzywa Peana, krzywa Kocha i niektóre inne fraktale.

Długości krzywych są rozważane od antyku. Przykładowo problem długości okręgu badano w starożytnym Egipcie całe tysiąclecia przed naszą erą (p.n.e.), co doprowadziło do pojęcia liczby pi (π). W nowożytności stworzono nowe działy matematyki jak geometria analityczna i analiza rzeczywista, które umożliwiły postęp w takich badaniach. Pierwsza z nich wprowadziła opis niektórych krzywych przez równania i wykresy funkcji, a druga z nich – pojęcie całki. Dla niektórych krzywych opisanych wzorami długość jest obliczana właśnie przez całki.

Definicja długości krzywej w przestrzeni euklidesowej

Na krzywej $C$ zadajemy $n+1$ punktów $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n},$ ustawionych kolejno wzdłuż krzywej zaczynając od jej jednego końca i poruszając się do drugiego końca, przy czym punkty $a_{0}$ oraz $a_{n}$ umieszcza się odpowiednio na początku i na końcu krzywej. Niech $L_{C}(n)$ oznacza sumę długości odcinków łamanej, wyznaczonej przez punkty $a_{i},i=0,1,\dots ,n,$ tj.

$L_{C}(n)=\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i-1}a_{i}\right|,$

gdzie $\left|a_{i-1}a_{i}\right|$ jest długością odcinka o końcach $a_{i-1},a_{i}.$

Jeżeli powyższa suma zmierza do ustalonej granicy dla $n$ rosnącego do nieskończoności, to graniczną wartość $L_{C}$ tej sumy nazywamy długością krzywej $C,$, tj.

$L_{C}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i-1}a_{i}\right|.$

Dowodzi się, że długość $L_{C}$ krzywej nie zależy od wyboru punktów łamanych, przybliżających daną krzywą $C.$

Krzywą $C,$ której można w ten sposób przypisać długość, nazywa się krzywą prostowalną (lub rektyfikowalną).

W przeciwnym wypadku krzywą nazywa się nieprostowalną (nierektyfikowalną).

Parametryzacje krzywych

Definicje

Efektywnego opisu krzywych dostarcza geometria analityczna. Jedną z metod opisu krzywych jest opis za pomocą równań parametrycznych.

Niech $C$ będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej $n$-wymiarowej (lub ogólnie: w przestrzeni metrycznej) $X.$ Istnieje wtedy funkcja wektorowa jednej zmiennej $\gamma :[a,b]\to X,$ nazywana parametryzacją, która każdej liczbie $t\in [a,b]$ przypisuje wzajemnie jednoznacznie współrzędne kartezjańskie $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ każdego punktu krzywej $C.$ Oznacza to, że:

A. dla parametryzacji krzywych płaskich trzeba podać dwie funkcje parametru $t{:}$

${\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}$

B. dla parametryzacji krzywych w przestrzeni 3-wymiarowej trzeba podać trzy funkcje parametru $t{:}$

${\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}$

C. dla krzywych w przestrzeni n-wymiarowej trzeba podać $n$ funkcji parametru $t{:}$

${\begin{cases}x_{1}=x_{1}(t)\\x_{2}=x_{2}(t)\\\dots \\x_{n}=x_{n}(t)\end{cases}}$

W ogólności można opisywać krzywe za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, jak współrzędne biegunowe, sferyczne itd.

Przykłady płaskie

Długość łuku s spirali logarytmicznej w funkcji kata θ, będącego parametrem definiującym spiralę. Długość łuku s jest parametrem naturalnym spirali

Elipsa

Równania parametryczne definiujące elipsę mającej środek w początku układu współrzędnych i główną oś wzdłuż osi $OX,$ o półosiach $a$ oraz $b,$ jest funkcja $\gamma :[0,2\pi ]\to X\equiv R^{2},$ mają postać

${\begin{cases}x(t)=a\sin {t}\\y(t)=b\cos {t}\end{cases}}.$

Funkcja $\gamma$ parametrowi $t\in [0,2\pi )$ jednoznacznie przypisuje jeden punkt $[x,y]$ elipsy na płaszczyźnie $R^{2}.$

Spirala logarytmiczna

Równania parametryczne spirali logarytmicznej są następujące:

${\begin{cases}x(t)=Ae^{Bt}\cos(t)\\y(t)=Ae^{Bt}\sin(t)\end{cases}},$

gdzie $A,\,B\in \mathbb {R}$ – stałe, określające wymiary spirali, $t\in (-\infty ,+\infty )$ – parametr krzywej.

Przykład trójwymiarowy

Linia śrubowa prawoskrętna (cos t, sin t, t) dla t od 0 do 4π; strzałki pokazują kierunek wzrostu t

Wzór helisy położonej na powierzchni bocznej walca ma we współrzędnych kartezjańskich postać:

${\begin{cases}x(t)=a\cdot \cos(t)\\y(t)=a\cdot \sin(t)\\z=k\cdot t\end{cases}},$

gdzie $a$ jest promieniem walca, a $k$ ilorazem prędkości ruchu punktu po tworzącej oraz prędkości kątowej obrotu walca $t\in (-\infty ,+\infty )$ – parametr krzywej.

Jeśli $k>0,$ linia jest prawoskrętna; jeśli $k<0,$ linia jest lewoskrętna.

Parametr naturalny krzywej

Jeżeli wyznaczy się zależność długości $s$ krzywej od ustalonego punktu początkowego $P_{0}$ do jej dowolnego punktu $P(s),$ to za pomocą długości s można przedefiniować krzywą; wtedy $s$ nazywa się parametrem naturalnym krzywej.

Wzory na długości krzywych

Krzywe płaskie – opis kartezjański

Jeśli krzywa płaska zadana jest funkcją $y=y(x),$ która jest różniczkowalna, to rolę niezależnego parametru pełni współrzędna $x;$ wtedy wzór na długość krzywej $C(x)=[x,y(x)]$ ma postać:

$L_{C}=\int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}dx,$

gdzie $y'(x)\equiv dy/dx$ – pochodna funkcji $y=y(x)$ względem zmiennej $x.$ Jeżeli krzywa płaska $C(t)=[x(t),y(t)]$ jest sparametryzowana równaniami

${\begin{cases}x=f(t),\\y=g(t),\end{cases}}$

gdzie funkcje $f$ i $g$ są różniczkowalne względem parametru $t,$ to długość krzywej opisuje wzór:

$L_{C}=\int _{t_{a}}^{t_{b}}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}dt,$

gdzie $x'(t)\equiv dx/dt$ oraz $y'(t)\equiv dy/dt$ – pochodne funkcji $x(t)$ oraz $y(t)$ względem parametru $t.$

Przykład: Obliczenie długości cykloidy

Zakreślanie cykloidy

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi

${\begin{cases}x(t)=r(t-\sin {t}),\\y(t)=r(1-\cos {t}),\end{cases}}$

gdzie $r>0$ jest promieniem toczącego się koła; jeden łuk cykloidy otrzymamy dla $t\in [0,2\pi ].$

Tw. Długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się koła, tj. $L=8r.$

Dowód:

Pochodne funkcji $x(t)$ oraz $y(t)$ względem parametru $t$ mają postać:

${\begin{cases}x'(t)=r(1-\cos {t})\\y'(t)=r\sin {t}\end{cases}}$

Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru (2)

$L=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\;{\mbox{d}}t$

dla $t_{1}=0,t_{2}=2\pi$ otrzymamy

${\begin{aligned}L&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {[r(1-\cos {t})]^{2}+[r\sin {t}]^{2}}}\;{\mbox{d}}t=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}(1-\cos {t})^{2}+r^{2}\sin ^{2}{t}}}\;{\mbox{d}}t\\&=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {1-2\cos {t}+\cos ^{2}{t}+\sin ^{2}{t}}}\;{\mbox{d}}t=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {1-2\cos {t}+1}}\;{\mbox{d}}t\\&=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {2-2\cos {t}}}\;{\mbox{d}}t=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {2(1-\cos {t})}}\;{\mbox{d}}t.\end{aligned}}$

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego na różnicę kosinusów

$1-\cos {t}=2\sin ^{2}{\tfrac {t}{2}},$

otrzymamy

$L=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {4\sin ^{2}{\tfrac {t}{2}}}}\;{\mbox{d}}t=2r\int \limits _{0}^{2\pi }|\sin {\tfrac {t}{2}}|\;{\mbox{d}}t.$

W granicach całkowania $t\in [0,2\pi ]$ wyrażenie $\sin t/2$ jest nieujemne, stąd otrzymujemy ostatecznie równość

$L=2r\int \limits _{0}^{2\pi }\sin {\tfrac {t}{2}}\;{\mbox{d}}t=2r\left(-2\cos {\tfrac {t}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{2\pi }=8r,cnd.$

Krzywe płaskie – opis biegunowy

We współrzędnych biegunowych: jeżeli krzywa płaska jest wyrażona za pomocą współrzędnych biegunowych, tj. $C(t)=[r(t),\phi (t)],$ to wzór na długość krzywej ma postać:

$L_{C}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\phi (t_{1})}^{\phi (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\phi }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\phi .$

Drugie wyrażenie odpowiada przypadkowi, gdy parametr jest równy współrzędnej kątowej, tj. $t=\phi ;$ wtedy $r=r(\phi ).$

Krzywe w trójwymiarze – opis walcowy

We współrzędnych walcowych wzór na długość krzywej ma postać:

$L_{C}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.$

Krzywe w trójwymiarze – opis sferyczny

Niech będzie dana krzywa $\mathbf {C} (t)=[r(t),\theta (t),\phi (t)]$ zdefiniowana za pomocą równań parametrycznych w układzie współrzędnych sferycznych, gdzie $\theta$ jest kątem mierzonym od dodatniej półosi $z$ oraz $\phi$ kątem azymutalnym. Między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi zachodzą zależności

$\mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).$

Stąd wyprowadza się wzór na długość krzywej we współrzędnych sferycznych:

$L_{C}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.$

Długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych

Przestrzenie nieeuklidesowe – to przestrzenie metryczne, stanowiące uogólnienie pojęcia przestrzeni euklidesowej, w ogólności $n$-wymiarowe. Przestrzenie takie opisuje np. szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności Einsteina.

Odległość infinitezymalna między punktami: długość wektora $d\mathbf {x} =(dx^{1},\dots ,dx^{n})$ łączącego punkt $\mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})$ z infinitezymalnie odległym punktem $\mathbf {y} =\mathbf {x} +d\mathbf {x}$ zadana jest wzorem

$|d\mathbf {x} |={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} )dx^{i}dx^{j}}},$

gdzie $g_{ij}(\mathbf {x} ),i,j=1,\dots ,n$ to współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia $\mathbf {x}$).

Długość krzywej

Jeżeli krzywa $\gamma$ dana jest przez $n$ równań parametrycznych

$\mathbf {x} (t)=[x^{1}(t),\dots ,x^{n}(t)],\quad t\in \langle a,b\rangle$

gdzie $\mathbf {x} (a)=\mathbf {x} _{a},\,\,\mathbf {x} (b)=\mathbf {x} _{b}$ – punkty początkowy i końcowy krzywej, to wektor infinitezymalnego przemieszczenia $d\mathbf {x} (t)$ wzdłuż krzywej ma postać

$d\mathbf {x} (t)=\left[{\frac {dx^{1}}{dt}},\dots ,{\frac {dx^{n}}{dt}}\right]dt.$

Długość infinitezymalnego przemieszczenia jest pierwiastkiem z iloczynu skalarnego wektora $d\mathbf {x} (t)$ z samym sobą, tj.

$|d\mathbf {x} (t)|={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} (t)){\frac {dx^{i}(t)}{dt}}{\frac {dx^{j}(t)}{dt}}}}\,\,dt.$

Długość łuku krzywej $\gamma$ jest równa całce z długości tych infinitezymalnych przemieszczeń, tj.

$L_{C}=\int \limits _{a}^{b}|d\mathbf {x} (t)|,$

czyli ostatecznie mamy

$L_{C}=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} (t)){\frac {dx^{i}(t)}{dt}}{\frac {dx^{j}(t)}{dt}}}}\,\,dt.$

Uwaga:

Wyżej podane wzory na długości łuku krzywej w przestrzeniach 2D i 3D są szczególnymi przypadkami powyższego, ogólnego wzoru. Mianowicie:

(a) w układzie współrzędnych biegunowych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego $\mathbf {x} (t)=[r(t),\phi (t)]$ (por. Przykłady obliczeń tensora metrycznego)

$g_{11}=1,\quad g_{22}=r$

– stąd wynika wzór (3) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,

(b) w układzie współrzędnych sferycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego $\mathbf {x} (t)=[r(t),\theta (t),\phi (t)]$

$g_{11}=1,\quad g_{22}=r,\quad g_{33}=r\sin(\theta )$

– stąd wynika wzór (1) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,

(c) w układzie współrzędnych cylindrycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego $\mathbf {x} (t)=[r(t),\theta (t),z(t)]$

$g_{11}=1,\quad g_{22}=r,\quad g_{33}=1$

– stąd wynika wzór (2) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych.

Zobacz też

• Obwód (geometria)
• lista krzywych
• wahanie funkcji

Bibliografia

• N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 2010.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974.

Linki zewnętrzne

• Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2026-01-19]:
  • Długość krzywej, 8 czerwca 2021.
  • Długość krzywej zadanej w postaci biegunowej, 22 czerwca 2021.
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Arc Length, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-19].
• Length (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-14].