Długość Debye’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W plazmie oraz elektrolicie, długość Debye’a (zwana też czasami promieniem Debye’a) jest typową odległością, jaką potrzebuje plazma do pełnego ekranowania naładowanej elektrycznie powierzchni. Sfera Debye’a to obszar o promieniu równym długości Debye’a, wewnątrz którego rozciąga się strefa wpływu, a na zewnątrz którego strefa ekranowania elektrycznego. Nazwa pochodzi od nazwiska Petera Debye, holenderskiego chemika.

Pojęcie długości Debye’a odgrywa ważną rolę w fizyce plazmy, elektrolitów i koloidów (teoria DLVO).

Przyczyny fizyczne[edytuj | edytuj kod]

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Długość Debye’a pojawia się naturalnie w termodynamicznym opisie dużych systemów poruszających się ładunków. W układzie N różnych rodzajów ładunków, j-ty rodzaj przenoszący ładunek q_j posiada w położeniu \mathbf{r} koncentrację n_j(\mathbf{r}). Nawiązując do tak zwanego „modelu prymitywnego”, ładunki te rozprowadzane są w ciągłym ośrodku charakteryzowanym tylko przez ich względną przenikalność elektryczną \varepsilon_r. Rozkład ładunków w ośrodku daje potencjał elektryczny \Phi(\mathbf{r}), spełniający równanie różniczkowe Poissona:

 \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j \, n_j(\mathbf{r})

gdzie \varepsilon_0 jest stałą elektryczną.

Wolne ładunki nie tylko powodują powstawanie potencjału \Phi(\mathbf{r}), ale również poruszają się pod wpływem siły Coulomba - q_j \, \nabla \Phi(\mathbf{r}). Jeżeli teraz założymy, że system znajduje się w równowadze termodynamicznej, z bezwzględną temperaturą rezerwuaru termicznego równą T, wówczas koncentracja dyskretnych ładunków, n_j(\mathbf{r}), może być rozważana jako uśrednienie termodynamiczna, a powiązany potencjał elektryczny można rozważać jako pole termodynamiczne. Z powyższymi założeniami, koncentracja j-tego rodzaju ładunków opisana jest rozkładem Boltzmanna

 n_j(\mathbf{r}) = n_j^0 \, \exp\left( - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right)

gdzie k_B jest stałą Boltzmanna a n_j^0 jest średnią koncentracją ładunków rodzaju j-tego.

Typowe wartości[edytuj | edytuj kod]

W plazmie kosmicznej, gdzie gęstość elektronów jest bardzo mała, długość Debye’a może osiągać makroskopowe rozmiary, jak np. w magnetosferze, wietrze słonecznym, ośrodku międzyplanetarnym oraz międzygalaktycznym:

Plazma Gęstość
ne (m−3)
Temperatura elektronów
T (K)
Pole magnetyczne
B (T)
Długość Debye’a
λD (m)
Jądro Słońca 1032 107 10−11
Tokamak 1020 108 10 10−4
Wyładowanie gazowe 1016 104 10−4
Jonosfera 1012 103 10−5 10−3
Magnetosfera 107 107 10−8 102
Wiatr słoneczny 106 105 10−9 10
Ośrodek międzygwiezdny 105 104 10−10 10
Ośrodek międzygalaktyczny 1 106 105
Źródło:[1]

Hannes Alfvén podkreślił, że „w rozrzedzonej plazmie, zlokalizowane obszary ładunku mogą powodować ogromne spadki napięcia na odległości rzędu dziesiątek długości Debye’a. Regiony takie nazywane są elektrycznymi warstwami podwójnymi. Elektryczne warstwa podwójna (plazma) jest najprostszym mechanizmem dystrybucji ładunków w kosmosie. Zachodzi w niej spadek potencjału i wygaszenie pola elektrycznego po każdej ze stron. W laboratorium, warstwy podwójne studiowane są od pół wieku, ale ich rola w przestrzeni kosmicznej nie została rozpoznana”.[potrzebne źródło].

Długość Debye’a w plazmie[edytuj | edytuj kod]

W plazmie, ośrodek otaczający może być potraktowany jako próżnia (\varepsilon_r = 1), a wtedy długość Debye’a wyniesie

 \lambda_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_B/q_e^2}{n_e/T_e+\sum_{ij} j^2n_{ij}/T_i}}

gdzie:

λD – długość Debye’a
ε0przenikalność elektryczna próżni
kBstała Boltzmanna
qe – ładunek elektronu
Te oraz Ti – temperatury odpowiednio elektronów i jonów
ne – gęstość elektronów
nij – gęstość rodzajów atomów i, z dodatnim jonowym ładunkiem jqe.

Wyrażenie jonowe jest często pomijane, co daje uproszczenie do

 \lambda_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_B T_e}{n_e q_e^2}}

aczkolwiek, jest to tylko dopuszczalne, gdy ruchliwość jonów jest zaniedbywalna w stosunku do skali procesu[2].

Długość Debye’a w elektrolicie[edytuj | edytuj kod]

W elektrolicie lub w roztworze koloidalnym, długość Debye’a[3] jest z reguły oznaczana jako κ−1

 \kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 k_B T}{2 N_A e^2 I}}

gdzie:

Isiła jonowa elektrolitu, mierzona w jednostkach mol/m3
ε0Przenikalność elektryczna próżni
εrwzględna przenikalność elektryczna
kBstała Boltzmanna
T – temperatura absolutna w kelwinach
NAstała Avogadra
eładunek elementarny.

lub dla symetrycznego, monowalencyjnego elektrolitu

 \kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 R T}{2 F^2 C_0}}

gdzie:

Rstała gazowa
Fstała Faradaya
C0 – koncentracja molowa elektrolitu.

Alternatywnie

 \kappa^{-1} = \frac{1}{\sqrt{8\pi \lambda_B N_A I}}

gdzie:

\lambda_Bdługość Bjerruma ośrodka.

Dla wody w temperaturze pokojowej, λB ≈ 0.7 nm.

Rozważając mieszankę wody z elektrolitem 1:1 w temperaturze pokojowej, mamy

 \kappa^{-1}(\mathrm{nm}) = \frac{0.304}{\sqrt{I(\mathrm{M})}}

gdzie:

κ−1 – długość w nanometrach (nm)
Isiła jonowa wyrażona w stężeniu molowym (M lub mol/L)

Długość Debye’a w półprzewodnikach[edytuj | edytuj kod]

Długość Debye’a staje się coraz bardziej znacząca w modelowaniu urządzeń z materiałów stałych, jak usprawnienia w litografii, gdzie możliwe stają się mniejsze geometrie[4][5][6].

Długość Debye’a dla półprzewodników jest dana

 \mathit{L}_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_{\mathrm{Si}} k_B T}{q^2N_d}}

gdzie:

εSi – stała dielektryczna
kB – stała Boltzmanna
T – temperatura w kelwinach
q – ładunek elementarny
Nd – gęstość domieszek (zarówno donatorów jak akceptorów).

Kiedy profil domieszek przekracza długość Debye’a, zachowanie większości nośników nie odpowiada już rozkładowi domieszek. Zamiast tego, pomiar profilu gradientu domieszek daje profil „efektywny”, który lepiej odpowiada profilowi gęstości nośników.

W kontekście półprzewodników, długość Debye’a jest również nazywana długością ekranowania Thomasa-Fermiego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Chapter 19: The Particle Kinetics of Plasma (ang.). [dostęp 30-10-2013].
  2. I.H. Hutchchinson: Principles of plasma diagnostics. ISBN 0521385830.
  3. W.B. Russel, D.A. Saville, W.R. Schowalter: Colloidal Dispersions. Cambridge University Press, 1989.
  4. Eric Stern, Robin Wagner, Fred J. Sigworth, Ronald Breaker i inni. Importance of the Debye Screening Length on Nanowire Field Effect Transistor Sensors. „Nano Letters”. 7 (11), s. 3405–3409, 2007. DOI: 10.1021/nl071792z. Bibcode2007NanoL...7.3405S. 
  5. Lingjie Guo, Effendi Leobandung, Stephen Y. Chou. A room-temperature silicon single-electron metal–oxide–semiconductor memory with nanoscale floating-gate and ultranarrow channel. „Applied Physics Letters”. 70 (7), s. 850, 1997. DOI: 10.1063/1.118236. ISSN 0003-6951. Bibcode1997ApPhL..70..850G. [dostęp 2010-10-25]. 
  6. Sandip Tiwari, Farhan Rana, Kevin Chan, Leathen Shi i inni. Single charge and confinement effects in nano-crystal memories. „Applied Physics Letters”. 69 (9), s. 1232, 1996. DOI: 10.1063/1.117421. Bibcode1996ApPhL..69.1232T. [dostęp 2010-10-25]. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Goldston, Rutherford: Introduction to Plasma Physics. Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 1997.
  • Lyklema: Fundamentals of Interface and Colloid Science. Academic Press, 1993.