Długość fali Comptona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Długość fali Comptona, komptonowska długość fali (KDF)kwantowa własność cząstki. Pojęcie zostało wprowadzone przez Arthura Comptona w jego objaśnieniach dotyczących procesu rozpraszania fotonów przez elektrony (proces ten określany jest mianem rozpraszania komptonowskiego). Długość fali Comptona cząstki jest równa długości fali fotonu, którego energia jest taka sama jak masa spoczynkowa cząstki.

Standardowa długość fali Comptona[edytuj | edytuj kod]

Standardowa KDF dla danej cząstki jest wyrażona za pomocą wzoru

gdzie:

stała Plancka,
– masa spoczynkowa cząstki,
prędkość światła.

Znaczenie tego wyrażenia ukazane jest we wzorze na tzw. przesunięcie Comptona.

Wartość długości fali Comptona dla elektronu, obliczona przez CODATA w 2014, wynosi [1]. Inne cząstki mają różne wartości długości fali Comptona.

Zredukowana długość fali Comptona[edytuj | edytuj kod]

Gdy długość fali zostanie podzielona przez uzyskamy „zredukowaną” długość fali Comptona tj. długość fali Comptona dla 1 radiana zamiast dla radianów:

gdzie jest „zredukowaną” stałą Plancka.

Zastosowanie w równianiach dla masywnych cząstek[edytuj | edytuj kod]

Zredukowana fala Comptona jest naturalną reprezentacją masy na poziomie kwantowym i występuje w tej postaci w wielu podstawowych równaniach mechaniki kwantowej. Zredukowana długość fali Comptona pojawia się w relatywistycznym równaniu Kleina-Gordona dla cząstki swobodnej:

Występuje w równaniu Diraca (poniższe obliczenia są wyraźną kowariantną formą konwencji sumacyjnej Einsteina):

Zredukowana fala Comptona pojawia się również w równaniu Schrödingera, choć jej obecność nie jest ujawniona w tradycyjnych reprezentacjach równania. Taka forma równania przedstawiona została poniżej (na przykładzie elektronu, pochodzącego z atomu wodoropodobnego):

Dzieląc obie strony równania przez otrzyma się następującą postać:

na końcu podstawiając Stałą struktury subtelnej otrzymujemy:

Relacja między zredukowaną i niezredukowaną długością fali Comptona[edytuj | edytuj kod]

Zredukowana KDF jest naturalną reprezentacją dla masy w skali kwantowej. Równania, które odnoszą się do masy inercyjnej (jak np. równania Kleina-Gordona i Schrödingera), wykorzystują zredukowaną długość fali[2]. Długość niezredukowanej fali Comptona jest naturalną reprezentacją masy, która została przekształcona w energię. W równaniach odnoszących się do zamiany masy w energię, a także do długości fal fotonów, które dokonują interakcji z masą, wykorzystują niezredukowaną długość fali.

Cząstka o masie spoczynkowej posaida energię spoczynkową Długość niezredukowanej fali Comptona tej cząstki jest długością fali fotonu o tej samej energii. Dla fotonów o częstotliwości energia wynosi:

przez co uzyskujemy wzór na niezredukowaną lub standardową KDF, jeżeli zostanie rozwiązany dla wartości

Ograniczenia pomiarów[edytuj | edytuj kod]

Długość fali Comptona wyraża podstawowe ograniczenie pomiaru położenia cząstki, z uwzględnieniem mechaniki kwantowej i szczególnej teorii względności[3]

Ograniczenie to zależy od masy cząstki. Aby to zobaczyć, należy zauważyć, że można zmierzyć pozycję cząstki, odbijając od niej światło – ale dokładny pomiar pozycji wymaga światła o krótkiej długości fali. Światło o krótkiej długości fali składa się z fotonów o wysokiej energii. Jeśli energia tych fotonów przekracza gdy uderzy się w cząsteczkę, której położenie jest mierzone, zderzenie może wytworzyć wystarczającą ilość energii, aby stworzyć nową cząsteczkę tego samego typu. [Potrzebne źródło] To sprawia, że kwestią sporną jest lokalizacja oryginalnej cząstki.

Ten argument pokazuje również, że zredukowana długość fali Comptona jest punktem, poniżej którego kwantowa teoria pola – która może opisywać tworzenie cząstek i anihilację – staje się istotna. Powyższy argument można nieco bardziej sprecyzować w następujący sposób: Załóżmy, że chcemy zmierzyć pozycję cząstki z dokładnością Wówczas zgodnie z zasadą nieoznaczoności dla pozycji i pędu otrzymujemy:

więc niepewność pędu cząstki spełnia równanie:

Stosując relatywistyczną relację między pędem i energią gdy wartość jest większa od wówczas nieokreśloność energii jest większa niż co jest wystarczającą energią do stworzenia kolejnej cząstki tego samego typu. Lecz należy to wykluczyć. W szczególności minimalna nieokreśloność występuje, gdy rozproszony foton ma energię graniczną równą energii obserwowanej zdarzenia. Wynika z tego, że istnieje podstawowe minimum dla

Zatem niepewność położenia musi być większa niż połowa zredukowanej długości fali Comptona

Długość fali Comptona można skontrastować z długością fali de Broglie’a, która zależy od pędu cząstki i określa granicę między zachowaniem cząstki a falą w mechanice kwantowej.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. CODATA 2014 value for Compton wavelength for the electron from NIST.
  2. Greiner, W., Relativistic Quantum Mechanics: Wave Equations (Berlin/Heidelberg: Springer, 1990), s. 18–22.
  3. Luis J. Garay. Quantum Gravity And Minimum Length. „International Journal of Modern Physics A”. 10 (2), s. 145–165, 1995. DOI: 10.1142/S0217751X95000085. arXiv:gr-qc/9403008. Bibcode1995IJMPA..10..145G (ang.).