Defekt trójkąta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Defekt trójkąta – różnica między kątem półpełnym a sumą kątów trójkąta[1]. Dla trójkąta sumę jego kątów oznaczamy przez a defekt przez Wtedy

W geometrii absolutnej defekt trójkąta jest nie mniejszy od zera. Udowodnił to Adrien Legendre w 1794 roku. Wykazał on, że:

  1. Jeśli suma kątów każdego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, to ma miejsce aksjomat Euklidesa.
  2. W każdym trójkącie
  3. Jeśli suma kątów choć jednego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, to suma kątów każdego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu. Oznacza to, że ma wtedy miejsce aksjomat Euklidesa, a defekt każdego trójkąta jest wtedy równy zero.

Z powyższych faktów wynika, że albo defekt każdego trójkąta jest równy zero i geometria jest geometrią euklidesową, albo defekt choć jednego trójkąta jest większy od zera i wtedy defekt każdego trójkąta jest większy od zera, a geometria jest geometrią hiperboliczną.

Własności defektu[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli trójkąt jest zawarty w trójkącie to
  • Pojęcie defektu można rozszerzyć na dowolne wielokąty. Defekt wielokąta jest wtedy sumą defektów trójkątów dowolnej jego triangulacji. Można wykazać, że defekt wielokąta nie zależy od jego triangulacji. Jeżeli wielokąt jest zawarty w wielokącie to

Twierdzenie Gaussa[edytuj | edytuj kod]

Carl Friedrich Gauss udowodnił w 1832 roku, że:

W geometrii hiperbolicznej pole trójkąta jest proporcjonalne do jego defektu[2].

Schemat dowodu twierdzenia Gaussa[edytuj | edytuj kod]

Schemat został zamieszczony w książce H.S.M. Coxetera[3].

1. Wszystkie trójkąty potrójnie asymptotyczne są przystające[4].
2. Pole trójkąta potrójnie asymptotycznego ma wartość skończoną
3. Pole podwójnie asymptotycznego trójkąta AMN jest funkcją jego jedynego kąta niezerowego NAM. Jeśli jest kątem przyległym do kąta NAM, to pole tego trójkąta jest równe Gauss użył kąta przyległego, aby funkcja ta była rosnąca.
4.

Po zsunięciu dwóch trójkątów podwójnie asymptotycznych LAN i MAN o kątach i tak aby oba te kąty były przyległe otrzymujemy trójkąt potrójnie asymptotyczny. Stąd równość 4.

Gdy dąży do zera jeden z tych trójkątów zanika, a gdy dąży do przyjmuje kształt trójkąta potrójnie asymptotycznego. Dlatego

5.

Jeśli to po zsunięciu trzech trójkątów podwójnie asymptotycznych o kątach otrzymujemy trójkąt potrójnie asymptotyczny. Stąd równość 5.

Z równości 5. wynika

6.

Z 6. wynika, że istnieje taka stała że:

gdzie stała jest równa

Uzupełnienie skończonego trójkąta ABC do trójkąta potrójnie asymptotycznego
7. Pole dowolnego trójkąta ABC o skończonych bokach jest stałą wielokrotnością jego defektu:

Trójkąt o skończonych bokach można uzupełnić do trójkąta potrójnie asymptotycznego, przedłużając jego boki w porządku cyklicznym. Trójkąt potrójnie asymptotyczny jest wtedy sumą trójkąta skończonego ABC i trzech trójkątów podwójnie asymptotycznych:

o defektach odpowiednio równych kątom i Trójkąt potrójnie asymptotyczny ma defekt czyli

co oznacza, że

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Н.В. Ефимов: Высшая Геометрия. Москва: Наука, 1978, s. 23.
  2. H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 319–320.
  3. Coxeter, op. cit., s. 319–321.
  4. Coxeter, op. cit., s. 316.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Н.В. Ефимов: Высшая Геометрия. Москва: Наука, 1978.