Deterministyczny automat skończony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Deterministyczny automat skończony (ang. Deterministic Finite-state Automaton, DFA) to abstrakcyjna maszyna o skończonej liczbie stanów, która zaczynając w stanie początkowym czyta kolejne symbole pewnego słowa, po przeczytaniu każdego zmieniając swój stan na stan będący wartością funkcji jednego przeczytanego symbolu oraz stanu aktualnego. Jeśli po przeczytaniu całego słowa maszyna znajduje się w którymś ze stanów oznaczonych jako akceptujące (końcowe), słowo należy do języka regularnego, do rozpoznawania którego jest zbudowana.

Deterministyczny automat skończony, podobnie jak inne automaty skończone może być reprezentowany za pomocą tabeli przejść pomiędzy stanami lub diagramu stanów.

Przykład[edytuj]

Zbudujmy na przykład maszynę rozpoznającą takie słowa nad alfabetem binarnym (reprezentujące liczby, przy najbardziej znaczącej z lewej strony), które są podzielne przez 5.

Żeby zbudować tę maszynę skorzystajmy z faktu, że:

(wartość liczby to ostatnia cyfra plus dwa razy wartość liczby zbudowanej z pozostałych cyfr)

Czyli:

Ale jako że obchodzi nas nie wynik, a jedynie jego podzielność przez 5, możemy wykonywać obliczenia w arytmetyce modulo 5.

Czyli zaczynamy od stanu , i po przeczytaniu każdej cyfry przechodzimy ze stanu do stanu . Jeśli po przeczytaniu całego słowa jesteśmy w stanie , oznacza to, że reszta z dzielenia słowa przez 5 wynosi 0, a więc słowo jest podzielne przez 5:

Deterministic Finite-state Automaton.svg
stan startowy -
stany akceptujące - tylko

Formalna definicja[edytuj]

Deterministyczny automat skończony może zostać jednoznacznie opisany przez piątkę , gdzie

  • jest alfabetem
  • jest zbiorem stanów
  • jest wyróżnionym stanem początkowym należącym do
  • jest zbiorem stanów akceptujących (końcowych), będącym podzbiorem
  • jest funkcją przejścia, przypisującą parze nowy stan , w którym znajdzie się automat po przeczytaniu symbolu w stanie .

Funkcja może być częściowo określona. To znaczy mogą istnieć takie pary , dla których nie jest określony nowy stan.

W powyższym przykładzie mamy:

  • :

Minimalizacja[edytuj]

Do każdego deterministycznego automatu skończonego istnieje jednoznaczny automat minimalny, który akceptuje ten sam język.

Algorytm minimalizacji[edytuj]

1. Usuń z automatu wszystkie stany, które nie są osiągalne ze stanu początkowego.
2. Utwórz tabelę par stanów automatu , gdzie .
2.1. Zaznacz wszystkie pary stanów, gdzie , a .
2.2. Dla każdej nie zaznaczonej jeszcze pary stanów oraz dla każdego elementu sprawdź, czy para jest zaznaczona. Jeśli tak, zaznacz również .
2.3. Powtarzaj krok 2.2. tak długo, dopóki żadna zmiana w tabeli nie będzie już możliwa.
2.4. Każda para, która pozostała niezaznaczona, zostaje stopiona do jednego stanu.

Przykład[edytuj]

minimalizacja automatu rozpoznającego wyrazy binarne podzielne przez 5 (zobacz przykład automatu powyżej)

Krok 1: Wszystkie stany automatu są osiągalne ze stanu początkowego .
Krok 2: Tworzenie tabeli


Krok 2.1: Zaznaczamy wszystkie pary stanów, gdzie , a .
[0]
[0]
[0]
[0]
Kroki 2.2 - 2.3:
  • Zaznaczamy parę , ponieważ oraz , a para jest już zaznaczona. [1]
  • Zaznaczamy parę , ponieważ oraz , a para jest już zaznaczona. [2]
  • Zaznaczamy parę , ponieważ oraz , a para jest już zaznaczona. [3]
  • Zaznaczamy parę , ponieważ oraz , a para jest już zaznaczona. [4]
  • Zaznaczamy parę , ponieważ oraz , a para jest już zaznaczona. [5]
  • Zaznaczamy parę , ponieważ oraz , a para jest już zaznaczona. [6]
[0]
[0] [2]
[0] [4] [1]
[0] [5] [3] [6]
Krok 2.4: Wszystkie pary stanów automatu zostały zaznaczone. Z tego wynika, że pierwotny automat jest już automatem minimalnym.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]

  • Automater (pol.) - demonstracja tworzenia minimalnego, deterministycznego automatu skończonego z podanego wyrażenia regularnego