Diagram Arganda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Diagram Arganda jest sposobem geometrycznego przedstawienia liczby zespolonej na płaszczyźnie. Liczbie zespolonej odpowiada w nim punkt (x, y) w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Początek układu współrzędnych odpowiada liczbie zero, a oś odciętych - zbiorowi liczb rzeczywistych. Diagram Arganda został po raz pierwszy zastosowany przez matematyka duńskiego Caspara Wessela w 1797 roku, lecz jego dzieło zostało odkryte dopiero po upływie 100 lat, w 1897 roku, gdy Duńska Akademia Nauk wydała jego francuski przekład[1]. W roku 1807 Szwajcar Robert Argand opublikował pracę Próba pewnego sposobu przedstawienia wielkości urojonych w konstrukcjach geometrycznych[2], w której zinterpretował same liczby i oba działania na nich (dodawanie i mnożenie). Książka Arganda, wydana anonimowo, stała się znana po publikacji jej przez Josepha Blaise Gergonne'a w Rocznikach matematyki czystej i stosowanej[3]. Tamże została opublikowana żywa dyskusja na temat interpretacji wielkości urojonych[4]. Pierwszym matematykiem, który posługiwał się diagramem we właściwy sposób był Carl Friedrich Gauss w dysertacji z 1799 roku.

Praca Wessela[edytuj | edytuj kod]

Wessel nie zajmował się subtelnościami w rodzaju pytań o równość odcinków skierowanych (wektorów) na płaszczyźnie, a dla dodawania i mnożenia sprawdzał tylko poszczególne prawa rachunku. Wektor łączący początek układu współrzędnych z punktem (0, 1) oznaczał przez i znalazł następujące wyniki[5]:

Jednostki podstawowe Wessela.













Na tej podstawie wnioskował, że . Następnie odcinkowi skierowanemu przyporządkował liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej . Na tak określonych liczbach zespolonych rozważał wszystkie działania i udowodnił wzór de Moivre'a (również dla wykładnika ułamkowego) oraz rozwiązał wiele zadań o trójkątach sferycznych.

Diagram Arganda - ujęcie formalne[edytuj | edytuj kod]

Wystarczy określić mnożenie. Ponieważ

,

więc

,

czyli liczbę zespoloną można identyfikować z liczbą rzeczywistą i wtedy

.

Zatem i . Wtedy


Diagram Arganda w ujęciu H. S. M. Coxetera[6][edytuj | edytuj kod]

Suma liczb zespolonych

Punkty na płaszczyźnie dodaje się tak, jak odpowiadające im wektory wychodzące z początku układu (czyli zera):

(x, y) + (a, b) = (x + a, y + b).

Innymi słowy, aby dodać (a, b), stosujemy przesunięcie przekształcające punkt (0, 0) w punkt (a, b).

Mnożenie liczby zespolonej przez liczbę całkowitą

Mnożenie punktu przez liczbę rzeczywistą jest jednokładnością. Na przykład:

2 (x, y) = (x, y) + (x, y) = (2x, 2y)
−1 (x, y) = −(x, y) = (−x, −y)
k·(x, y) = (k·x, k·y)
0·(x, y) = (0, 0)

Mnożenie przez - 1 jest półobrotem wokół punktu O. Dlatego mnożenie przez pierwiastek kwadratowy z - 1 jest takim przekształceniem, którego kwadrat (czyli złożenie przekształcenia z samym sobą) jest półobrotem wokół punktu O, czyli ćwierćobrót wokół punktu O (czyli obrót o kąt prosty)[7].

Mnożenie liczb zespolonych; współrzędne kartezjańskie
Mnożenie liczb zespolonych; współrzędne biegunowe

Wobec tego mnożenie przez dowolną liczbę zespoloną powinno być przekształceniem, dla którego punkt O jest punktem stałym i które zawiera zarówno jednokładności o środku w O, jak i obroty dokoła O jako przypadki szczególne. Mnożenie dowolnego punktu (x, y) przez ustalony punkt (a, b) definiuje się jako podobieństwo spiralne o środku O, które przeprowadza punkt (1, 0) w punkt (a, b)[8]. Jeżeli punkty (a, b) i (x, y) mają współrzędne biegunowe odpowiednio (s, η) i (r, θ), czyli

Wówczas podobieństwo spiralne, w którym mnoży się r przez s i dodaje η do θ, przekształca współrzędne

na współrzędne

.

Stąd wzór

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Caspar Wessel: Essai sur la représentation analytique de la direction, avec applications etc.. 1897.
  2. Jean Robert Argand: Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géometriqués. Paris: 1806.
  3. „Annales de mathématiques pures et appliquées”. 4, 1813/14. Joseph Blaise Gergonne. 
  4. Juszkiewicz A. P. (red.): Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia (tłum. z jęz. ros.). T. 3. Warszawa: PWN, 1977, s. 71.
  5. Juszkiewicz A. P. (red.): Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia (tłum. z jęz. ros.). T. 3. Warszawa: PWN, 1977, s. 70-71.
  6. Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej (tłum. z jęz. ang.). Warszawa: PWN, 1967, s. 156-158.
  7. Hardy G. H.: Pure Mathematics. Wyd. 10. London: 1955, s. 83.
  8. Klein F.: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus erster Band. Arithmetik, Algebra, Analysis. Wyd. 3. Berlin: 1928, s. 57.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej (tłum. z jęz. ang.). Warszawa: PWN, 1967.
  2. Klein F.: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus erster Band. Arithmetik, Algebra, Analysis. Wyd. 3. Berlin: 1928.
  3. Hardy G. H.: Pure Mathematics. Wyd. 10. London: 1955.
  4. Juszkiewicz A. P. (red.): Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia (tłum. z jęz. ros.). T. 3. Warszawa: PWN, 1977.
  5. Birkhoff G., Mac Lane S.: Przegląd algebry współczesnej (tłum. z jęz. ang.). Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1966.