Diagram przemienny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Diagram przemienny – w matematyce, a szczególnie jej dziale nazywanym teorią kategorii, diagram składający się z obiektów (nazywanych również wierzchołkami) i morfizmów (znanych także jako strzałki lub krawędzie), w którym wybranie dowolnej drogi skierowanej między dwoma jego obiektami prowadzi do tego samego wyniku ze względu na składanie morfizmów. Diagramy przemienne odgrywają analogiczną rolę w teorii kategorii do równań w algebrze.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

W następującym przykładzie przedstawiającym pierwsze twierdzenie o izomorfizmie przemienność oznacza, że f = \tilde{f} \circ \pi:

First isomorphism theorem (plain).svg

Niżej znajduje się standardowy kwadrat przemienny, w którym h \circ f = k \circ g.

Commutative square.svg

Symbole[edytuj | edytuj kod]

W tekstach algebraicznych rodzaj morfizmu może być oznaczony różnymi typami strzałek: monomorfizmy za pomocą \hookrightarrow, epimorfizmy za pomocą \twoheadrightarrow, a izomorfizmy za pomocą \overset{\sim}{\rightarrow}. Przerywana strzałka zwykle oznacza, że w danym diagramie postuluje się istnienie wskazanego morfizmu. Jest to na tyle popularne, że w tekstach nie tłumaczy się rodzajów strzałek.

Sprawdzanie przemienności[edytuj | edytuj kod]

Przemienność ma sens dla wieloboku dowolnej skończonej liczbie boków (włączając w to nawet 1 i 2), a diagram jest przemienny, jeżeli każdy poddiagram wieloboczny jest przemienny.

Dowodzenie[edytuj | edytuj kod]

Popularną metodą dowodzenia, szczególnie w algebrze homologicznej, jest tzw. diagram chasing (ściganie [elementów] po diagramie). Dla danego diagramu przemiennego „dowód przez ściganie” polega na formalnym wykorzystaniu jego własności, takich jak iniektywność, czy suriektywność przekształceń albo ciągi dokładne. W wyniku tego postępowania konstruuje się sylogizm, dla którego graficzne przedstawienie w postaci diagramu jest tylko pomocą wzrokową. Nazwa ma swoje źródło w metodzie dowodzenia: „ściga” się elementy po całym diagramie, aż skonstruuje się upragniony element lub sprawdzi poprawność wyniku.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]