Domknięcie (topologia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy pojęcia z dziedziny topologii. Zobacz też: inne znaczenia tego wyrazu.

Domknięcie – operacja przyporządkowująca podzbiorowi przestrzeni topologicznej najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór domknięty zawierający ten podzbiór.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Domknięciem zbioru nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji zbiór domknięty, oznaczany lub (od ang. closure), zawierający . Innymi słowy:

.

Uwagi[edytuj]

  • Operacja domknięcia (określona na zbiorze potęgowym przestrzeni topologicznej) jest dobrze określona, gdyż rodzina wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany podzbiór przestrzeni jest niepusta, ponieważ należy do niej cała przestrzeń.
  • W dowolnym zbiorze można określić topologię, wyróżniając przy pomocy tzw. operacji Kuratowskiego rodzinę zbiorów domkniętych.
  • Jeśli jest przestrzenią topologiczną oraz , to następujące warunki są równoważne:
    1. ,
    2. dla każdej bazy otoczeń punktu i każdego mamy ,
    3. dla pewnej bazy otoczeń punktu i każdego mamy .
  • Jeśli jest przestrzenią metryczną oraz , to
, gdzie przez rozumie się odległość punktu od zbioru, tzn. . Oznacza to, że zbiór składa się z tych dla których istnieje ciąg elementów zbioru zbieżny do .
  • Jeżeli jest przestrzenią spełniającą pierwszy aksjomat przeliczalności (np. przestrzenią metryczną) oraz jest podzbiorem zbioru , to punkt z przestrzeni jest punktem domknięcia zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów ze zbioru . W topologii wyróżnia się klasę tzw. przestrzeni Frécheta, które mają tę własność, że domknięcie dowolnego niepustego zbioru składa się z granic ciągów elementów tego zbioru.
  • Dla dowolnej przestrzeni topologicznej punkt należy do domknięcia zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu uogólnionego o wyrazach ze zbioru .

Własności[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz . Wówczas:

  • ,
  • ,
  • ,
  • (idempotentność).

Dalsze własności[edytuj]

  • ,
  • jest domknięty ,
  • (monotoniczność),
  • ; ta własność uogólnia się do przeliczalnej liczby zbiorów:
    • Ogólniej, jeśli jest dowolną rodziną podzbiorów , to
      .
  • Jeśli jest rodziną podzbiorów zbioru , to
    .
  • Jeśli jest rodziną lokalnie skończoną podzbiorów zbioru , to
    .
  • Domknięcie zbioru jest sumą mnogościową tego zbioru oraz jego brzegu.
  • Jeśli jest podprzestrzenią topologiczną , zawierającą , to domknięcie w przestrzeni jest równe części wspólnej i domknięcia w przestrzeni : .
  • Dla każdego mamy: .

Operacja domknięcia a topologia[edytuj]

Jeżeli operację brania domknięcia zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia cztery pierwsze własności, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację domknięcia w zbiorze [1].

Przykłady[edytuj]

  • W topologii antydyskretnej (czyli takiej, w której jedynymi zbiorami otwartymi są i ), domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń, innymi słowy, każdy niepusty podzbiór tej przestrzeni jest gęsty.
  • W topologii dyskretnej (czyli takiej, w której każdy zbiór jest otwarty) domknięciem dowolnego zbioru jest on sam.
  • W topologii euklidesowej, na prostej rzeczywistej domknięciem
  • W przestrzeniach metrycznych, domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie granice ciągów elementów tego zbioru.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 36.

Literatura[edytuj]