Dwunastościan rombowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Dwunastościan rombowy
Dwunastościan rombowy
(Kliknij, aby zobaczyć animowany model)
Typ Wielościan Catalana
Ściana romb
Liczba ścian 12
Liczba krawędzi 24
Liczba wierzchołków 14 = 6 + 8
Wielościan dualny Sześcio-ośmiościan

Dwunastościan rombowywielościan mający 12 ścian, 14 wierzchołków i 24 krawędzie. Wszystkie ściany są przystającymi rombami, w których stosunek długości przekątnych jest równy skąd wynika, że kąt ostry każdej ściany jest równy

W każdym wierzchołku wielościanu spotykają się 3 lub 4 ściany. W ośmiu wierzchołkach stykają się kątami rozwartymi 3 romby, zaś w pozostałych sześciu wierzchołkach stykają się kątami ostrymi 4 romby. Krótsze przekątne wszystkich ścian są krawędziami sześcianu. Dłuższe przekątne ścian są krawędziami ośmiościanu foremnego. Miara kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami jest równy

Dwunastościan rombowy jest wielościanem Catalana dualnym do sześcio-ośmiościanu i dlatego grupa symetrii bryły działa przechodnio na zbiorze ścian. Przechodniość ta oznacza, że dla dwóch ścian i istnieje obrót lub symetria przekształcające bryłę na siebie, a ścianę na ścianę
Grupa symetrii dwunastościanu rombowego działa także przechodnio na zbiorze krawędzi tej bryły.

Sfery związane z dwunastościanem rombowym[edytuj | edytuj kod]

Dwunastościan rombowy (czarne krawędzie) i dualny z nim sześcio-ośmiościan (zielone krawędzie).

Jeśli długość krawędzi dwunastościanu rombowego jest równa to długości promieni niektórych sfer są następujące:

  • promień sfery stycznej do wszystkich 24 krawędzi:
każdy punkt styczności leży w odległości krawędzi od wierzchołka, w którym zbiegają się 3 krawędzie,
chodzi o najmniejszą sferę „zamykającą w sobie” dwunastościan rombowy, przechodzi ona przez 6 wierzchołków, w których zbiegają się 4 krawędzie tej bryły.

Pole i objętość[edytuj | edytuj kod]

Pole powierzchni i objętość dwunastościanu rombowego o krawędzi są równe:

Występowanie w przyrodzie[edytuj | edytuj kod]

Kryształ granatu

Niektóre kryształy występujące w przyrodzie przybierają formę dwunastościanu rombowego[1]. Są to przede wszystkim kryształy granatu, ale tę formę przyjmuje wiele innych minerałów, na przykład magnetyt, sodalit, spinel i sfaleryt.

Pszczoły używają geometrii tej bryły do tworzenia plastrów miodu, których komórki są graniastosłupami prawidłowymi, sześciokątnymi zamkniętymi połówkami dwunastościanu rombowego.

Jak można sobie wyobrazić kształt dwunastościanu rombowego[edytuj | edytuj kod]

Wypełnienie przestrzeni przystającymi dwunastościanami rombowymi.

Krótkie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami rozwartymi są krawędziami i wierzchołkami sześcianu o objętości równej połowie objętości samego dwunastościanu. Długie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami ostrymi, są krawędziami i wierzchołkami ośmiościanu foremnego.

Ten dwunastościan można skonstruować, wychodząc z sześcianu, w następujący sposób: budujemy ostrosłup, którego podstawą jest ściana, a wierzchołkiem lustrzane odbicie środka sześcianu w płaszczyźnie ściany, powiększając sześcian o ten ostrosłup; powtarzając to dla wszystkich ścian uzyskamy dwunastościan rombowy, a użyte ostrosłupy będą składać się na kompletny sześcian – więc objętość dwunastościanu będzie 2 razy większa.

Powyższe wywody można zilustrować w układzie współrzędnych w przestrzeni:

  • Punkty są wierzchołkami sześcianu o ścianach rozpiętych na sześciu czwórkach punktów:
  • Do powyższych 8 punktów dołączamy 6 następnych: Są one obrazami początku układu współrzędnych w symetrii względem poszczególnych ścian, np. punkt jest obrazem w symetrii względem ściany a punkt – w symetrii względem ściany
  • 14 wyżej wymienionych punktów jest wierzchołkami dwunastościanu rombowego[2].

Takie dwunastościany mogą wypełnić przestrzeń – żeby skonstruować taki układ wystarczy wyjść z układu sześcianów wypełniających przestrzeń, usunąć z nich co drugi, tak aby z każdych dwóch o wspólnej ścianie jeden został usunięty, i pozostałych użyć do konstrukcji dwunastościanów, odbijając ich środki względem sześciu ścian.

Wielościany pokrewne[edytuj | edytuj kod]

Dwunastościan rombowy jest elementem ciągu wielościanów rombowych i parkietaży, których grupa symetrii jest [n, 3] grupą Coxetera. Sześcian (geometria) może bowiem być uważany za sześciościan rombowy, gdzie romby są kwadratami.

Wielościan Parkietaż euklidesowy Parkietaż hiperboliczny
[3, 3] [4, 3] [5, 3] [6, 3] [7, 3] [8, 3]
Hexahedron.svg
Sześcian
Rhombicdodecahedron.jpg
Dwunastościan rombowy
Rhombictriacontahedron.jpg
Trzydziestościan rombowy
Rhombic star tiling.png Order73 qreg rhombic til.png Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png

Związki z bryłami czterowymiarowymi[edytuj | edytuj kod]

Czterowymiarowym odpowiednikiem dwunastościanu rombowego jest 24-komórka[3] (jest to komórka foremna[4]).

Jej wierzchołkami są:

  • 16 wierzchołków czterowymiarowego odpowiednika sześcianu – 8-komórki: Jej 3-wymiarowymi ścianami są sześciany rozpięte na ośmiu ósemkach punktów:
  • Ponadto wierzchołkami 24-komórki są obrazy środka układu współrzędnych w ośmiu ścianach:

Przekrój 24-komórki przestrzenią 3-wymiarową prostopadłą do największej przekątnej w jej środku jest dwunastościanem rombowym. Wynika to z powyższych opisów obu figur geometrycznych w układzie współrzędnych kartezjańskich.

Dwunastościan jest także otoczką wypukłą rzutu prostokątnego 8-komórki wzdłuż wielkiej przekątnej. Ilustruje to rysunek poniżej. Rzut zielonych punktów jest wtedy środkiem dwunastościanu.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. W warszawskim Muzeum Ziemi jeden z wystawionych w ekspozycji kryształów ma formę dwunastościanu rombowego.
  2. Ilustracja ta jest analogiczna do konstrukcji 24-komórki podanej w cytowanej książce Marcela Bergera na s. 490–491.
  3. Marcel Berger: Géométrie (tłum. na jęz. ros.). Москва: Мир, 1984, s. 490–494.
  4. Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1956, s. 135–149.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • The Geometrical Foundation of Natural Structure (Section 3-9)
  • Magnus Wenninger: Dual Models. Cambridge University Press, 1983. DOI: 10.1017/CBO9780511569371. MR730208. ISBN 978-0-521-54325-5.
  • The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 19, Rhombic dodecahedron
  • The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ​ISBN 978-1-56881-220-5​ (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 285, Rhombic dodecahedron)
  • Marcel Berger: Géométrie (tłum. na jęz. ros.). Москва: Мир, 1984.
  • Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1956.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Modele komputerowe[edytuj | edytuj kod]

Projekty papierowe[edytuj | edytuj kod]

Zastosowania praktyczne[edytuj | edytuj kod]