Dyfeomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie. Intuicyjnie: przekształcenie to polega na zdeformowaniu siatki prostokątnej bez rozrywania i klejenia. Każda taka deformacja jest homeomorfizmem. Gdy deformacja ta jest funkcją klasy – a więc jest ciągła i jej pochodna jest ciągła – to funkcja ta jest dyfeomorfizmem. Dyfeomerfizmem nie byłaby deformacja z tworzeniem ostrych zagięć (choć byłby to homeomorfizm).

Dyfeomorfizmizomorfizm rozmaitości różniczkowych[1], tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowymi, które jest różniczkowalne oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również różniczkowalne.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech i będą przestrzeniami unormowanymi oraz niech będzie niepustym, otwartym podzbiorem przestrzeni

Przekształcenie nazywane jest dyfeomorfizmem, gdy

  1. obraz jest podzbiorem otwartym w
  2. jest bijekcją,
  3. i są klasy (gdzie jest funkcją odwrotną do ).

Z definicji wynika, że jeśli jest dyfeomorfizmem, to i odwzorowaniami regularnymi.

Gdy to dyfeomorfizmy są po prostu zanurzeniami homeomorficznymi klasy o różniczce maksymalnego rzędu, których funkcja odwrotna jest klasy w obrazie.

W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną[2].

Dyfeomorfizm przywiedlny[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie otwartym podzbiorem Mówi się, że dyfeomorfizm

jest przywiedlny, gdy istnieją takie że

dla

Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a.

Dyfeomorfizm zachowujący orientację[edytuj | edytuj kod]

Funkcja

jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy że

dla

(por. definicję dla ). Dyfeomorfizm zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli

i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy

Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:

Twierdzenie

Niech będzie otwartym podzbiorem będzie drogą kawałkami gładką oraz będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy

gdzie:

gdy zachowuje orientację,
gdy zmienia orientację.

Grupa dyfeomorfizmów[edytuj | edytuj kod]

Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej jest dyfeomorfizmem rozmaitości na siebie. Za pomocą działania składania automorfizmów można utworzyć na rozmaitości grupę automorfizmów. Grupę tę oznacza się symbolem

Ważne dyfeomorfizmy[edytuj | edytuj kod]

Dyfeomorfizm biegunowy
Niech Funkcja określona wzorem
przeprowadza na obszar Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia
Dyfeomorfizm sferyczny
Niech Funkcja określona wzorem
przeprowadza zbiór na zbiór Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia
Dyfeomorfizm walcowy
Niech Funkcja określona wzorem
przeprowadza na obszar Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia

Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie[edytuj | edytuj kod]

Niech i będą przestrzeniami Banacha, będzie niepustym, otwartym podzbiorem oraz będzie dane odwzorowanie klasy Jeśli jest różniczkowalne w punkcie oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) na to istnieje takie otoczenie punktu że odwzorowanie jest dyfeomorfizmem.

Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. dyfeomorfizm, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-02-18].
  2. John W. Milnor: Topologia z różniczkowego punktu widzenia. Warszawa: PWN, 1969, s. 11.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]