Dyfeomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
y Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie.

Dyfeomorfizmizomorfizm rozmaitości różniczkowalnych, tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowalnymi, które jest gładkie oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również gładkie.

Definicja[edytuj]

Niech X i Y będą przestrzeniami unormowanymi oraz niech D będzie niepustym, otwartym podzbiorem przestrzeni X.

Przekształcenie F\colon D \to Y nazywane jest dyfeomorfizmem, gdy

  1. obraz F(D) jest podzbiorem otwartym Y,
  2. F jest funkcją różnowartościową,
  3. F i F^{-1} są klasy C^{1} (gdzie F^{-1}\colon F(D) \to D jest funkcją odwrotną do F ) .

Z definicji tej wynika, że jeśli F jest dyfeomorfizmem, to F i F^{-1}odwzorowaniami regularnymi. Inaczej, każde odwracalne odwzorowanie regularne jest dyfeomorfizmem. Dyfeomorfizm jest szczególnym przypadkiem homeomorfizmem.

Gdy X=\mathbb R^{m}, Y=\mathbb R^{k}, to dyfeomorfizmy są po prostu zanurzeniami homeomorficznymi klasy C^1 o różniczce maksymalnego rzędu, których funkcja odwrotna jest klasy C^1 w obrazie.

W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną[1].

Dyfeomorfizm przywiedlny[edytuj]

Niech D będzie otwartym podzbiorem \mathbb R^m. Mówi się, że dyfeomorfizm

\Phi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)\colon D\to \mathbb{R}^m

jest przywiedlny, gdy istnieją takie i, j\leqslant m, że

\varphi_i(x_1,\ldots,x_m)=x_j dla (x_1,\ldots, x_m)\in D.

Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a.

Dyfeomorfizm zachowujący orientację[edytuj]

Funkcja

\varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta)

jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy C^1, że

\varphi^\prime(t)\neq 0 dla t\in (a,b)

(por. definicję dla X=Y=\mathbb R^m). Dyfeomorfizm \varphi zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli

\varphi^\prime>0

i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy

\varphi^\prime<0.

Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:

Twierdzenie

Niech G będzie otwartym podzbiorem \mathbb{R}^n, \Gamma\colon [a,b]\to G będzie drogą kawałkami gładką oraz \varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta) będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy \Omega\in F^1_0(G; Y)

\int\limits_{\Gamma\circ \varphi}\Omega=\varepsilon(\varphi)\int\limits_{\Gamma}\Omega,

gdzie \varepsilon(\varphi)=1, gdy \varphi zachowuje orientację oraz \varepsilon(\varphi)=-1, gdy \varphi zmienia orientację.

Grupa dyfeomorfizmów[edytuj]

Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej M jest dyfeomorfizmem M na siebie. W ten sposób można rozważać grupę automorfizmów z działaniem składania funkcji. Grupę tę oznacza się symbolem DiffM.

Ważne dyfeomorfizmy[edytuj]

Dyfeomorfizm biegunowy 
Niech B = ( 0,+\infty) \times \,( 0, \pi) \subset \mathbb R^2. Funkcja określona wzorem b(r,\phi)=(r\cdot\cos \phi, r\cdot\sin \phi) przeprowadza B na obszar \mathbb R^2 \setminus \left\{(x, 0) \in \mathbb R^2: x \leqslant 0\right\}. Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia J_B = r.
Dyfeomorfizm sferyczny 
Niech S = ( 0,+\infty) \times ( 0,2\pi) \times ( 0, \pi ) \subset \mathbb R^3. Funkcja określona wzorem s(r, \phi, \theta) = \left(\,r\cdot \cos\phi \cdot \sin\theta  , \,r \cdot \sin\phi\cdot \sin\theta, r\cdot\cos\theta \right) przeprowadza zbiór S na zbiór \mathbb R^3 \setminus \left\{(x, y, z) \in \mathbb R^3: x \leqslant 0, y=0\right\}. Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia wynosi J_S = r^2 \cos \theta .
Dyfeomorfizm walcowy 
Niech W = ( 0,+\infty) \times ( 0,2\pi) \times \mathbb R \subset \mathbb R^3. Funkcja określona wzorem w(\rho, \phi, z) = (\rho\cdot\cos \phi, \rho\cdot\sin \phi, z) przeprowadza W na obszar \mathbb R^3 \setminus \left\{(x,y,z) \in \mathbb R^3: x \leqslant 0, y=0\right\}. Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia wynosi J_W = \rho.

Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie[edytuj]

Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha, D będzie niepustym, otwartym podzbiorem X oraz będzie dane odwzorowanie F\colon D \to Y klasy C^1. Jeśli F jest różniczkowalne w punkcie x_0 \in D oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) X na Y, to istnieje takie otoczenie U \subseteq D punktu x_0, że odzworowanie F|_U jest dyfeomorfizmem.

Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Przypisy

  1. John W. Milnor: Topologia z różniczkowego punktu widzenia. Warszawa: PWN, 1969, s. 11.

Bibliografia[edytuj]

  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.