Dyfeomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie. Intuicyjnie: przekształcenie to polega na zdeformowaniu siatki prostokątnej bez rozrywania i klejenia. Każda taka deformacja jest homeomorfizmem. Gdy deformacja ta jest funkcją klasy - a więc jest ciągła i jej pochodna jest ciągła - to funkcja ta jest dyfeomorfizmem. Dyfeomerfizmem nie byłaby deformacja z tworzeniem ostrych zagięć (choć byłby to homeomorfizm).

Dyfeomorfizmizomorfizm rozmaitości różniczkowalnych, tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowalnymi, które jest gładkie oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również gładkie.

Definicja[edytuj]

Niech i będą przestrzeniami unormowanymi oraz niech będzie niepustym, otwartym podzbiorem przestrzeni .

Przekształcenie nazywane jest dyfeomorfizmem, gdy

  1. obraz jest podzbiorem otwartym w ,
  2. jest funkcją różnowartościową,
  3. i są klasy (gdzie jest funkcją odwrotną do ) .

Z definicji tej wynika, że jeśli jest dyfeomorfizmem, to i odwzorowaniami regularnymi. Inaczej, każde odwracalne odwzorowanie regularne jest dyfeomorfizmem. Dyfeomorfizm jest szczególnym przypadkiem homeomorfizmu.

Gdy , , to dyfeomorfizmy są po prostu zanurzeniami homeomorficznymi klasy o różniczce maksymalnego rzędu, których funkcja odwrotna jest klasy w obrazie.

W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną[1].

Dyfeomorfizm przywiedlny[edytuj]

Niech D będzie otwartym podzbiorem . Mówi się, że dyfeomorfizm

jest przywiedlny, gdy istnieją takie , że

dla .

Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a.

Dyfeomorfizm zachowujący orientację[edytuj]

Funkcja

jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy , że

dla

(por. definicję dla ). Dyfeomorfizm zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli

i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy

Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:

Twierdzenie

Niech G będzie otwartym podzbiorem , będzie drogą kawałkami gładką oraz będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy

,

gdzie:

, gdy zachowuje orientację,

, gdy zmienia orientację.

Grupa dyfeomorfizmów[edytuj]

Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej jest dyfeomorfizmem rozmaitości na siebie. Za pomocą działania składania automorfizmów można utworzyć na rozmaitości grupę automorfizmów. Grupę tę oznacza się symbolem .

Ważne dyfeomorfizmy[edytuj]

Dyfeomorfizm biegunowy 
Niech . Funkcja określona wzorem

przeprowadza na obszar . Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia .
Dyfeomorfizm sferyczny 
Niech . Funkcja określona wzorem

przeprowadza zbiór na zbiór . Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia .
Dyfeomorfizm walcowy 
Niech . Funkcja określona wzorem

przeprowadza na obszar . Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia .

Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie[edytuj]

Niech i będą przestrzeniami Banacha, będzie niepustym, otwartym podzbiorem oraz będzie dane odwzorowanie klasy . Jeśli jest różniczkowalne w punkcie oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) na , to istnieje takie otoczenie punktu , że odwzorowanie jest dyfeomorfizmem.

Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Przypisy

  1. John W. Milnor: Topologia z różniczkowego punktu widzenia. Warszawa: PWN, 1969, s. 11.

Bibliografia[edytuj]

  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.