Dyfrakcja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Obraz dyfrakcyjny czerwonej wiązki laserowej na ekranie po przejściu przez małą okrągłą szczelinę.

Dyfrakcja (ugięcie fali) – zespół zjawisk związanych ze zmianą kierunku rozchodzenia się fali będący odstępstwem od praw optyki geometrycznej[1]. Dyfrakcję w węższym znaczeniu określa się jako ugięcie światła wokół krawędzi przeszkody lub otworu w obszarze cienia przeszkody.

Dyfrakcja, jako zmiana amplitudy fali niezgodnie z prawami optyki geometrycznej, występuje dla każdej fali o amplitudzie zmieniającej się w kierunku prostopadłym do jej biegu oraz gdy własności falowe ośrodka powodujące różnicowanie amplitudy w wiązce fal (np przesłony). Efekty dyfrakcji są wyraźnie widoczne, gdy obserwuje się falę z dokładnością porównywalną do długości fali. Trwałe wzory dyfrakcyjne wywołują fale spójne.

Efekty zmiany kierunku ruchu i rozpraszania fal, które można wyjaśnić prawami optyki geometrycznej nie są uznawane za dyfrakcję. Rozpraszania dyfrakcyjne pojawiają się, gdy fala przemieszcza się przez medium o zmiennym współczynniku załamania lub gdy fala przemieszcza się przez ośrodek o zmiennej impedancji. Fale dźwiękowe mają długości rzędu 1 metra, ich dyfrakcja ma decydujące znacznie w kształtowaniu przestrzeni akustycznej i jest na równi z odbiciem dźwięku odpowiedzialna za rozprzestrzenianie się dźwięku.

Dyfrakcja występuje przy wszystkich rodzajach fal, w tym fal dźwiękowych falach wodnych i wszystkich rodzajów fal elektromagnetycznych. Dyfrakcja występująca dla materii np. elektronów, atomów i molekuł na kryształach jest wyjaśniana przez mechanikę kwantową[2][3][4].

Zjawisko dyfrakcji opisuje się jako interferencję fal zgodnie z zasadą Huygensa.

W najprostszym przypadku rozważa się przejście światła przez niewielki otwór (szczelinę) w przeszkodzie. Zjawisko zachodzi niezależnie od wielkości przeszkody (otworu), ale wyraźnie jest obserwowane dla przeszkód o rozmiarach porównywalnych z długością fali.

Dyfrakcja używana jest do badania fal oraz obiektów o niewielkich rozmiarach, w tym i kryształów, ogranicza jednak zdolność rozdzielczą układów optycznych.

Mechanizm[edytuj | edytuj kod]

Pełny matematyczny opis dyfrakcji wymaga analizy pola fal wzbudzonego przez źródło fal i rozchodzące się w ośrodku o określonych właściwościach falowych i sprowadza się do rozwiązania różniczkowych równań falowych dla danych warunków. Jest to zagadnienie trudne lub niemożliwe do dokładnego analitycznego rozwiązania.

Dla fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku osi x, pomijając zmianę amplitudy w kierunku rozchodzenia się fali:

Powyższe równanie jest analogiczne do równania dyfuzji w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Współczynnik dyfuzji (D), odpowiadający za zmianę amplitudy fali w miarę jej poruszania się, jest proporcjonalny do długości fali. Urojona wartość współczynnika może prowadzić do oscylacji amplitudy w wyniku jej zależności od danego kierunku[1].

Fale elektromagnetyczne, w tym i światło, opisywane są przez równania Maxwella, amplitudą fali jest natężenie pola elektrycznego, a [[irradiancja] jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy natężenia pola elektrycznego.

Szczególnym przypadkiem fali w ośrodku trójwymiarowym jest wiązka Gaussa, dla fali o takim przebiegu można rozwiązać powyższe równania. Wiązka Gaussa jest falą o symetrii osiowej, której amplituda jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od osi wiązki jak w rozkładzie Gaussa. Dla wiązki takiej będącej falą płaską w początku układu współrzędnych z równań falowych wynika, że w miarę poruszania się w ośrodku jednorodnym wiązka pozostaje wiązką Gaussa, ale jest rozbieżna, co sprawia, że amplituda na osi wiązki maleje wraz z odległością, wiązka jest coraz szersza. W oddali kąt rozbieżności jest równy dyfrakcyjnej szerokość wiązki.[5].

Przyjmując, że fala płaska pada na przesłonę, przyjmując przybliżenie, że bezpośrednio za przesłoną fala ma amplitudę 0, a w części nieprzesłoniętej 1. Z równań falowych wynika, że amplituda rozpływa się na granicy cienia, równania dyfrakcji są matematycznie zgodne z równaniem Schrödingera z mechaniki kwantowej, dyfuzji lub przepływu ciepła. Fala pojawia się w miejscu cienia, a jej amplituda w pobliżu cienia zmniejsza się, ale w przebiegu tym występują drgania. Otrzymane wzory są też zgodne z przybliżonymi wzorami otrzymanymi z fresnelowskiej teorii dyfrakcji fal[1].


Przykłady dyfrakcji[edytuj | edytuj kod]

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie[edytuj | edytuj kod]

Bieg promieni i wykres natężenia światła dla pojedynczej szczeliny.

Dyfrakcja fali na wąskiej i nieskończenie długiej szczelinie jest dwuwymiarowym modelem dyfrakcji, który można łatwo realizować praktycznie. W doświadczeniu tym równoległa wiązka światła (np. z lasera) pada prostopadle na przepuszczającą pojedynczą nieskończenie długą i wąską szczelinę w całkowicie nieprzepuszczającym ekranie. Szczelinę, o szerokości d, można podzielić na jednakowe elementy. Zgodnie z zasadą Huygensa każdy punkt szczeliny, jest źródłem fali. Dla fali padającej prostopadle do szczeliny, fale wychodząc ze szczeliny są zgodne w fazie. Między falami wytworzonymi przez źródła zachodzi interferencja, co powoduje wzmacnianie lub osłabianie światła dochodzącego do danego punktu ekranu z różnych fragmentów szczeliny.

Pierwsze minimum

Zakładając, że promienie są równoległe, co odpowiada temu że źródło promieniowania i ekran są daleko od szczeliny. Przybliżenie to jest nazywane interferencją dalekiego pola lub interferencją Fraunhofera.

Gdy różnica dróg fali ze skrajnego i środkowego elementu równa jest połowie długości fali, to fale z obu połówek szczeliny wygaszą się. Jeżeli wiązki są niemal równoległe, to różnica odległości pojawia się tylko przy wyjściu promieni ze szczeliny, wówczas:

Dla małych kątów powyższa równość może być przybliżona do:

Dyfrakcyjna rozbieżność wiązki

Szerokość połówkowa natężenia fali w przybliżeniu leży w połowie minimum, co sprawia, że szerokość kątowa wiązki jest równa odległości od środka wiązki do pierwszego minimum. Dla szczeliny (generatora fali) znacznie większej od długości emitowanej fali powyższy wzór określający dyfrakcyjną rozbieżność wiązki jako:

Dyfrakcyjna kątowa szerokość (rozbieżność) wiązki jest tym większa im wiązka jest cieńsza, każda wiązka początkowo równoległa, ma rozbieżność większą od rozbieżności dyfrakcyjnej.

Kryterium Rayleigha

Z dyfrakcji wynika kryterium Rayleigha mówiące, że dwa punkty mogą być dostrzeżone jako oddzielne, jeżeli ich kątowa odległość jest większa od szerokości dyfrakcyjnej przyrządu optycznego, którym jest tworzony obraz[6]. Dla obiektywu lub zwierciadła o średnicy d rozdzielczość kątowa w przybliżeniu wynosi:


Dla pojedynczej szczeliny, w odległości znacznie większej od szerokości szczeliny, jasność w funkcji kąta odchylenia od osi przyjmuje postać:

,

gdzie:

  • I – intensywność światła,
  • I0 – intensywność światła w maksimum, czyli dla kąta równego 0,
  • λ – długość fali,
  • d – szerokość szczeliny,
  • jeśli i

Przepuszczenie fali przez szczelinę dyfrakcyjną pozwala na określenie kierunku rozchodzenia się fali. Im mniejsza jest szerokość szczeliny, tym dokładniej można to zrobić. Jednocześnie zmniejszanie szczeliny powoduje, że trudniej jest określić energię fali, ponieważ rozprasza się ona na większy obszar. W efekcie iloczyn błędu określenia energii oraz błędu pomiaru kierunku musi być większy od pewnej stałej. Oznacza to, że istnieje granica dokładności pomiaru parametrów rozchodzącej się fali. Próba dokładniejszego określenia jednego z parametrów fali powoduje zwiększenie niepewności pomiaru drugiego sprzężonego z nim, i tak[7]:

Zjawisko to ma fundamentalne znaczenie, jeżeli weźmie się pod uwagę, że każda materialna cząstka jest falą. Zjawisko to w mechanice kwantowej odpowiada zasadzie nieoznaczoności. Dualizm korpuskularno-falowy powoduje, że możliwa jest obserwacja dyfrakcji cząstek materialnych. Eksperymenty udowodniły, że zjawisko to zachodzi dla elektronów i neutronów jak i cząsteczek.

Dyfrakcja Fresnela na pojedynczym otworze[edytuj | edytuj kod]

W metoda określania obrazu fal w wyniku dyfrakcji, zapoczątkowana przez Fresnela, polega na podziale powierzchni źródła fali (szczeliny, otworu, otoczenia przesłony) na fragmenty, określane jako strefy Fresnela, emitujące fale w przeciwnej fazie przez co wygaszające się[8][1]. W zmatematyzowanej postaci metoda Fresnela polega na obliczeniu całek, umożliwiając obliczenie amplitudy fali w określonych miejscach.

Miejsca wygaszania i wzmocnienia się fal można określić bez odwoływania się do zaawansowanego aparatu matematycznego.

Zakładając, że na otwór pada fala płaska prostopadle do otworu, to by fale z kolejnych obszarów znosiły się, to ich droga od otworu do analizowanego miejsca musi różnić się o pół długości fali. Określając liczbę stref Fresnela można określić natężenie fali na osi układu. Jeżeli liczba stref n jest parzysta, to w centrum fale wygaszają się, gdy liczba stref jest nieparzysta, to w centrum jest jasny punkt. Związek liczby stref Fresnela ze średnicą otworu lub przesłony określa przybliżony wzór[9]:

Gdy otwór dyfrakcyjny stanowi jedną strefę Fresnela, to promieniowanie całego otworu jest w zgodnej fazie i w centrum obrazu dyfrakcyjnego występuje maksimum. W obszarze tym można stosować przybliżenie Fraunhofera:

Dyfrakcja na wielu szczelinach[edytuj | edytuj kod]

Aby wzmocnić falę przechodzącą przez szczelinę stosuje się w optyce układy wielu takich szczelin, nazywane siatką dyfrakcyjną. Efekty optyczne od każdej szczeliny dodają się, przez co zachowanie fali zależy tylko od stałej siatki (odległości dzielącej najbliższe sobie rysy).

Zjawisko dyfrakcji zachodzi również, kiedy fale przechodzą przez wiele blisko siebie położonych warstw. Jeżeli odległość między warstwami jest stała, kolejne maksima fali można opisać zależnością:

,

gdzie:

  • d – stała siatki,
  • θ – kąt od osi wiązki światła,
  • λ – długość fali,
  • n – przyjmuje wartości całkowite dodatnie od 1,2,3,...

Dla promieniowania rentgenowskiego zjawisko to pozwala na obserwacje kolejnych warstw kryształu. W świetle widzialnym dyfrakcję na warstwach można obserwować jako rozproszenie światła białego na powierzchni płyty CD. Kolejne ścieżki tworzą następujące po sobie warstwy, na których fale o różnych kolorach, załamują się pod różnym kątem. W efekcie światło białe rozdziela się na poszczególne barwy.

Fala, która omija przeszkodę mniejszą niż długość fali, nie reaguje na tak mały obiekt. Fakt ten powoduje konieczność stosowania krótszych fal do obserwacji mniejszych przedmiotów. Aby obserwować strukturę krystaliczną materii, konieczne jest użycie fal rentgenowskich. Zjawisko dyfrakcji pozwoliło na rozwój krystalografii rentgenowskiej, dzięki której badano strukturę kryształów, odkryto także strukturę spirali DNA.

Trudności techniczne[edytuj | edytuj kod]

W procesie produkcji układów scalonych wykorzystuje się światło do rysowania kształtu obwodu elektrycznego na podłożu. Zjawisko dyfrakcji zmusza producentów mikroprocesorów do zastosowania fal dwa razy krótszych niż konieczna szerokość ścieżek struktury układu. Dla obwodów o dokładności 0,13 μm, oznacza to konieczność posłużenia się ultrafioletem. Jeżeli układy scalone mają się rozwijać zgodnie z prawem Moore’a, konieczne jest wdrożenie nowych technologii opierających się na falach coraz mniejszej długości. Światło ulega największemu załamaniu w narożach i zakrętach ścieżek maski, więc konstruktorzy obecnie tak modyfikują maskę w narożach otworów i na zakrętach ścieżek, by zminimalizować, a wręcz wykorzystać efekty dyfrakcji. Długość światła dobiera się tak, by pierwsze prążki interferencyjne równoległych ścieżek nie nakładały się w miejscach przerw między ścieżkami, poprawiono własności emulsji. Po dokonaniu tych zmian wyżej wymienione kryterium długości fali udało się złagodzić.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Efekty dyfrakcji światła zostały po raz pierwszy dokładnie zaobserwowane i opisane przez Francesca Grimaldi, który wprowadził też pojęcie dyfrakcji, na podstawie łacińskiego słowa diffringere, "rozbić na kawałki", odnosząc się do światła rozpadającego na granicy cienia przedmiotu umieszczonego w wiązce światła słonecznego. Książki Grimaldiego o świetle opublikowano w 1665 roku, po jego śmierci[10].

Newton znał zjawisko dyfrakcji podjął serię eksperymentów w nadziei odkrycia praw ilościowych rządzących tym zjawiskiem i dowodów na istnienie sił krótkiego zasięgu między światłem a materią. Niemożliwość Newtona do pomyślnego zakończenia części dotyczącej dyfrakcji była głównym powodem, dla którego publikacja Optyki została opóźniona o dwanaście lat. Newton opracował model dyfrakcji, zakładając, że „droga” prążków dyfrakcyjnych jest identyczna lub zbieżna z prostoliniową drogą promieni, które je wytworzyły. Kiedy odkrył, że to nie może być prawdą, uznał, że musi zacząć od nowa, starając się odkryć prawa leżące u podstaw dyfrakcji. Na tym etapie swojego życia był albo niechętny, albo niezdolny dopracowania zagadnienia dyfrakcji, kiedy w końcu napisał krótką sekcję o dyfrakcji i dodał zapytania. Nieopublikowane prace Newtona na temat dyfrakcji również dostarczają niezwykle szczegółowe spojrzenie na sposób, w jaki przeprowadzał eksperymenty i wykorzystywał swoje dane i obliczenia, aby wydedukować i odrzucić prawa dyfrakcji[11].

Szkic dyfrakcji na dwóch szczelinach, przedstawiony przez Thomasa Younga w Royal Society w 1803 roku.

Pod koniec XVIII w Thomas Young badając zmysły słuchu i wzroku w celu zrozumienia ich działania bada fale dźwiękowe, zapoznaje się z optyką Newtona. Podejrzewa jednak, że światło, podobnie jak dźwięk, jest falą, przeprowadza doświadczenie pokazując dyfrakcję i interferencję światła. W doświadczeniu tym światło słoneczne wpada przez niewielki otwór do zaciemnionego pomieszczenia, na drodze światła umieścił kartkę papieru równolegle do kierunku biegu światła, rozdzielając światło na dwie wiązki. Na ekranie zaobserwował ugięcie światła oraz prążki interferencyjne na granicy cienia. Young uważał, że fala przechodząc przez otwór porusza się dalej prostoliniowo, ale za przeszkodą na granicy światła i cienia występuje przekazanie amplitudy światła prostopadle do jego kierunku rozchodzenia się (dyfuzja amplitudy), w wyniku czego w obszarze w którym powinien być cień powstają fale koliste. Powstawanie tych fal wywołuje zmiany amplitudy fali świetlnej w pobliżu granicy cienia[1][12][13].

W 1678 r. Christiaan Huygens zaproponował, że każdy punkt, do którego dochodzi fala świetlna, stał się źródłem fali sferycznej, suma tych fal wtórnych decyduje o kształcie fali w dowolnym późniejszym czasie. Zakładał, że fale wtórne przemieszczają się tylko w kierunku "do przodu" i nie wyjaśnia, dlaczego tak się dzieje. Na podstawie tych założeń był w stanie dostarczyć jakościowego wyjaśnienia propagacji fali liniowej i sferycznej oraz wyprowadzić prawa odbicia i załamania za pomocą tej zasady, ale nie wyjaśnił odchyleń od propagacji prostoliniowej, które występują, gdy światło napotyka krawędzie, szczeliny i ekrany, znane jako efekty dyfrakcyjne[14][15].

Cień dysku (5,8 mm) z plamką Arago w środku cienia. Odległość od źródła światła (punktowe 0,5mm) do dysku 153 cm, odległość od dysku do ekranu 183 cm.

Falowa teoria światła Huygensa nie została uznana, przez blisko 200 lat uznawano korpuskularną teorię światła Newtona. W 1818 r. Augustin Jean Fresnel przyjmując zasadę Huygensa, wraz z własnymi zasadami interferencji, wykazał, że może wyjaśniać zarówno prostoliniową propagację światła, jak i efekty dyfrakcji. Aby uzyskać zgodność z wynikami eksperymentalnymi, przyjął dodatkowe arbitralne założenia dotyczące fazy i amplitudy fal wtórnych, a także, w celu wyeliminowania fali wstecznej współczynnik nachylenia[16][17]. Założenia te nie mają oczywistych podstaw fizycznych, ale prowadziły do przewidywań, które zgadzały się z wieloma obserwacjami doświadczalnymi. Akademia Francuska powołała komitet do przeglądu prac Fresnela. Poisson był jego członkiem, zauważył, że teoria Fresnela przewiduje wystąpienie jasnego punktu w środku cienia małego dysku, z tego wywnioskował, że teoria jest nieprawidłowa. Jednak Arago, inny członek komitetu, przeprowadził eksperyment i pokazał, że przewidywania teorii są poprawne, a powstający w ten sposób punkt jest nazywany plamką Arago[18]. Było to jedno z badań, które doprowadziły do zwycięstwa falowej teorii światła nad dominującą wówczas teorią korpuskularną.

Fresnel analizując pole dyfrakcji w wybranym punkcie za otworem większym do połowy długości fali kreśli z wybranego punktu okręgi o promieniach będącymi kolejnymi wielokrotnościami połowy długości fali. Okręgi te dzielą otwór będący tu źródłem fali na strefy zwane strefami Fresnela, analizuje promieniowania, których stref są w przeciwnych fazach i znoszą się[1]. Metoda stref Fresnela jest stosowana w telekomunikacji i optyce. Prace Fresnela umożliwiły matematyzację dyfrakcji w oparciu o zasadę Huygensa. Ścisłe sformułowanie dyfrakcji w ujęciu Fresnela, w oparciu o równania falowe podali H. Helmholtz i G. Kirchhoff[1].

W 1828 George Green wydaje An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism zawierającą Twierdzenie Greena ułatwiające obliczenia całek związanych także z propagacją fal[19].

W 1834 George Biddell Airy opisuje torię, zaobserwowanego wcześniej, powstawania wokół gwiazdy obserwowanej przez teleskop pierścieni, zwanych na cześć odkrywcy plamką Airy’ego[19].

W 1837 Jacques Babinet w publikacji Optical Meteorology przedstawia zasadę, zwaną zasadą Babineta, mówiącą że obraz dyfrakcyjny otrzymany z przeszkody jest taki sam jak z otworu o takim samym kształcie i średnicy, różni się tylko natężenia światła[20][19].

W 1849 George Gabriel Stokes, irlandzki fizyk i profesor matematyki w Cambridge, opublikował pracę On the Dynamical Theory of Diffraction w której jako pierwszy przedstawił prawidłową postać funkcji nachylenia dyfrakcji analitycznie[19].

W 1850 - 1854 Lord Kelvin (William Thomson) organizuje publikację prac Green'a[19].

W 1858 Hermann von Helmholtz publikuje On air vibrations in pipe with open ends. Helmholtz był bliskim przyjacielem Thomsona, a ich współpraca zaowocowała produktywnym okresem badań i wpływów między brytyjskimi i niemieckimi szkołami fizyki. W oparciu o prace Green'a, Helmholtz tworzy całkę Helmholtza-Kirchhoffa dla fal monochromatycznych[19].

W 1874 Marie Alfred Cornu analizując dyfrakcję cylindrycznych fal wprowadza krzywą o nazwie Klotoida[19].

W 1882 James Clerk Maxwell formułuje równania Maxwella ułatwiające zapis fal elektromagnetycznych[19].

W 1897 Lord Rayleigh analizuje różne przypadki dyfrakcji[19].

W 1924 Louis-Victor de Broglie opracował teorię fal materii.

W 1927 Clinton Joseph Davisson odkrywa dyfrakcję elektronów w kryształach, potwierdzając tym teorię fal materii de Broilia.

W 1933 r. Piotr Kapica i Paul Dirac zasugerowali, że zjawisko dyfrakcji elektronów powinno zachodzić też na stojącej fali elektromagnetycznej. Zjawisko to zostało nazwane efektem Kapicy-Diraca[21].

Po pracach Younga i Fresnela rozwijany był aparat matematyczny obu koncepcji. Koncepcje Fresnela zostały lepiej opracowane matematycznie niż koncepcje Younga. Chociaż podejście Younga ma bardziej intuicyjne odniesienie do ogólniejszych pojęć fizyki, w XIX w. było uważane za niepoprawne lub niedopracowane. Dopiero w XX w. polski uczony Wojciech Rubinowicz wykazał, że obie koncepcje prowadzą do matematycznie identycznych wniosków[1].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d e f g h Encyklopedia fizyki, Dyfrakcja fal, s. 400 - 404.
  2. Encyklopedia fizyki, Dyfrakcja atomów i molekuł, s. 398.
  3. Encyklopedia fizyki, Dyfrakcja elektronów, s. 399.
  4. Encyklopedia fizyki, Dyfrakcja neutronów, s. 404.
  5. Wiązki gaussowskie. [dostęp 2018-01-13].
  6. Crawford 1973 ↓, s. 469.
  7. Crawford 1973 ↓, s. 472.
  8. Classical and Modern Diffraction Theory, s. 133.
  9. Strefy Fresnela. [dostęp 2017-12-28].
  10. Francesco Maria Grimaldi. [dostęp 2017-12-23].
  11. Jed Z. Buchwald, I. Bernard Cohe: Isaac Newton's Natural Philosophy. MIT Press, 2004, s. 47 - 48. ISBN 9780262524254.
  12. Classical and Modern Diffraction Theory, s. 100 - 105.
  13. 1 Thomas Young and the wave theory of light. [dostęp 2017-12-23].
  14. Chr. Huygens, Traité de la Lumière (drafted 1678; published in Leyden by Van der Aa, 1690), translated by Silvanus P. Thompson as Treatise on Light (London: Macmillan, 1912; Project Gutenberg edition, 2005), p.19.
  15. OS Heavens and RW Ditchburn, Insight into Optics, 1987, Wiley & Sons, Chichester ​ISBN 0-471-92769-4
  16. On Diffraction. [dostęp 2017-12-24].
  17. A. Fresnel, "Mémoire sur la diffraction de la lumière" (deposited 1818, "crowned" 1819), in Oeuvres complètes (Paris: Imprimerie impériale, 1866–70), vol.1, pp. 247–363; partly translated as "Fresnel's prize memoir on the diffraction of light", in H. Crew (ed.), The Wave Theory of Light: Memoirs by Huygens, Young and Fresnel, American Book Co., 1900, archive.org/details/wavetheoryofligh00crewrich, pp. 81–144. (Not to be confused with the earlier work of the same title in Annales de Chimie et de Physique, 1:238–81, 1816.)
  18. Max Born and Emil Wolf, Principles of Optics, 1999, Cambridge University Press ​ISBN 978-0-521-64222-4
  19. a b c d e f g h i Classical and Modern Diffraction Theory, s. 130.
  20. Smith 1997 ↓, s. 281-281.
  21. Efekt Kapicy-Diraca. [dostęp 2017-12-31].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Praca zbiorowa: Encyklopedia fizyki. T. I. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973.
  • Frank Crawford: Fale. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973.
  • Kamill Klem-Musatov, Henning C. Hoeber, Tijmen Jan Moser, Michael A. Pelissier: Classical and Modern Diffraction Theory. SEG Books, 2016. ISBN 9781560803225.
  • Glenn S. Smith: An Introduction to Classical Electromagnetic Radiation. Cambridge University Press, 1997. ISBN 9780521586986.