Dynamiczne równanie ruchu

Dynamiczne równanie ruchu (różniczkowe równanie ruchu) – równanie różniczkowe, określające szybkość zmian pewnych wielkości fizycznych (np. prędkości, położenia) jako funkcję aktualnego stanu układu. Przez równanie ruchu najczęściej rozumiemy II zasadę dynamiki Newtona, zapisaną w postaci równania różniczkowego. W ogólności równanie ruchu dla pojedynczej cząstki można zapisać jako:

$m{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}},{\tfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}},t),$

gdzie funkcja wektorowa ${\boldsymbol {F}}$ jest siłą działającą na ciało w chwili $t$ w punkcie przestrzeni wyznaczonym przez wektor wodzący ${\boldsymbol {r}}.$ Wzór ten redukuje się do prostszej postaci, jeżeli siła dana jest w sposób jawny, np. wynika ze znanego potencjału pola sił.

Jeżeli prawa strona jest funkcją ciągłą, to przez punkt w przestrzeni wyznaczony przy zadanych warunkach brzegowych (położenie i prędkość w danej chwili) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Jeżeli istniałaby istota, która w danej chwili poznałaby położenie i pęd wszystkich cząstek elementarnych we wszechświecie, to zgodnie z prawami mechaniki klasycznej mogłaby poznać prawą stronę powyższego równania i jednoznacznie wyznaczyć tor ruchu każdej z cząstek. Innymi słowy istota ta znałaby przeszłość i przyszłość wszechświata.

Dowolne współrzędne krzywoliniowe

Niech współrzędne krzywoliniowe $q_{1}(t),q_{2}(t),q_{3}(t)$ tworzą układ współrzędnych w przestrzeni $R^{3}.$ Oznaczmy przez ${\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}_{2},{\boldsymbol {e}}_{3}$ wersory kierunków stycznych do osi tego układu.

Jeżeli ${\boldsymbol {a}}$ jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami:

$a_{i}={\boldsymbol {a}}{\boldsymbol {e}}_{i}={\dot {\boldsymbol {v}}}\mathbf {e} _{i}={\dot {\boldsymbol {v}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}/\partial q_{i}}{|\partial {\boldsymbol {r}}/\partial q_{i}|}},\quad i=1,2,3.$

Ponieważ

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\boldsymbol {v}}{\boldsymbol {e}}_{i})={\dot {\boldsymbol {v}}}{\boldsymbol {e}}_{i}+{\boldsymbol {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {e}}_{i}\quad \longrightarrow \quad {\dot {\boldsymbol {v}}}{\boldsymbol {e}}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\boldsymbol {v}}{\boldsymbol {e}}_{i})-{\boldsymbol {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {e}}_{i}$

zatem

(1) $a_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\boldsymbol {v}}{\boldsymbol {e}}_{i})-{\boldsymbol {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {e}}_{i}={\frac {1}{|\partial {\boldsymbol {r}}/\partial q_{i}|}}\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\boldsymbol {v}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{i}}}\right)-{\boldsymbol {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{i}}}\right].$

Na podstawie wzoru dla prędkości

${\boldsymbol {v}}={\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}$

mamy

(2) ${\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

i dzięki temu

${\boldsymbol {v}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{i}}}={\boldsymbol {v}}{\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.$

Mamy również

(3) ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\partial q_{1}\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\partial q_{1}\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}$

oraz

(4) ${\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\partial q_{2}q_{1}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\partial q_{3}q_{1}}}{\dot {q}}_{3}.$

Z porównania prawych stron (3) i (4) wynika, że

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial q_{i}}},\quad i=1,2,3.$

Mamy zatem

(5) ${\boldsymbol {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{i}}}={\boldsymbol {v}}{\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}.$

Po podstawieniu (2) i (5) do (1) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów wektora przyspieszenia na osie krzywoliniowego układu współrzędnych

$a_{i}={\frac {1}{|\partial {\boldsymbol {r}}/\partial q_{i}|}}\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}\right],\quad i=1,2,3.$

Podstawowe równanie dynamiki

Podstawowe równanie dynamiki ruchu punktu materialnego o masie $m$ ma postać

$m{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {F}}$

i jest równoważne trzem równaniom skalarnym we współrzędnych kartezjańskich

$m{\ddot {x}}=F_{x},\quad m{\ddot {y}}=F_{y},\quad m{\ddot {z}}=F_{z}.$

W ogólnym przypadku współrzędnych krzywoliniowych otrzymujemy

${\frac {m}{|\partial {\boldsymbol {r}}/\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}\right]=F_{i},\quad i=1,2,3,$

gdzie $F_{i}$ jest rzutem na odpowiednią oś współrzędnych $q_{i}$ wypadkowej ${\boldsymbol {F}}$ sił działających na punkt materialny, a ${\boldsymbol {v}}$ prędkością tego punktu.

Zobacz też

• kinematyczne równanie ruchu
• Kanoniczne równania ruchu