Dynamiczne równanie ruchu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dynamiczne równanie ruchu (różniczkowe równanie ruchu) – równanie różniczkowe, określające szybkość zmian pewnych wielkości fizycznych (np. prędkości, położenia) jako funkcję aktualnego stanu układu[1][2]. Przez równanie ruchu najczęściej rozumiemy II zasadę dynamiki Newtona, zapisaną w postaci równania różniczkowego. W ogólności równanie ruchu dla pojedynczej cząstki można zapisać jako:

gdzie funkcja jest siłą działającą na ciało w chwili w punkcie przestrzeni Wzór ten redukuje się do prostszej postaci, jeżeli siła dana jest w sposób jawny, np. wynika ze znanego potencjału pola sił.

Dowolne współrzędne krzywoliniowe[edytuj | edytuj kod]

Niech współrzędne krzywoliniowe tworzą układ współrzędnych w przestrzeni Oznaczmy przez wersory kierunków stycznych do osi tego układu[2].

Jeżeli jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami

(1)

Ponieważ

zatem

(2)

Na podstawie wzoru dla prędkości

(3)

mamy

(4)

i dzięki temu

(5)

Mamy również

(6)

oraz

(7)

Z porównania prawych stron (5) i (6) wynika, że

(8)

Mamy zatem

(9)

Po podstawieniu (5) i (9) do (2) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów wektora przyspieszenia na osie krzywoliniowego układu współrzędnych

(10)

Podstawowe równanie dynamiki[edytuj | edytuj kod]

Podstawowe równanie dynamiki ruchu punktu materialnego o masie ma postać

i jest równoważne trzem równaniom skalarnym we współrzędnych kartezjańskich

W ogólnym przypadku współrzędnych krzywoliniowych otrzymujemy[2]

gdzie jest rzutem na odpowiednią oś współrzędnych wypadkowej sił działających na punkt materialny, a prędkością tego punktu.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теоретическоой механики, t.I, Гос. Издат. технико-теоретической литературы, Москва 1954
  2. a b c G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]