Dysjunkcja (Sheffera)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dysjunkcja, dyzjunkcja[1], dysjunkcja/dyzjunkcja Sheffera, funkcja Sheffera, funktor Sheffera[1], NAND, w terminologii Jana Łukasiewicza niewspółzachodzenie – zdanie lub funkcja zdaniowa utworzone za pomocą funktora dysjunkcji, jednego z dwuargumentowych funktorów zdaniotwórczych rachunku zdań. Symbolem funktora dysjunkcji jest przeważnie ukośna kreska /. W języku potocznym funktorowi temu odpowiada swobodnie „albo..., albo...”. Wyrażenie „p / q” odczytywać można jako „albo p, albo q” lub „bądź p, bądź q” (w znaczeniu „zachodzi najwyżej jedno z dwojga”, por.), ponieważ dysjunkcja jest negacją koniunkcji („nieprawda, że zarazem p i q”). Pojęcie dysjunkcji wprowadził w 1913 Henry Sheffer. W terminologii angielskiej disjunction to polska alternatywa, odpowiednikiem polskiej dysjunkcji (Sheffera) jest natomiast alternative denial.

Wartość logiczna[edytuj | edytuj kod]

Zdanie utworzone za pomocą spójnika dysjunkcji jest fałszywe tylko wtedy, gdy prawdziwe są oba argumenty tego spójnika; w przeciwnym wypadku jest zawsze zdaniem prawdziwym[1].

Tablica prawdy dla dysjunkcji
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe; 0 – fałszywe

Wybrane własności[edytuj | edytuj kod]

Funktor dysjunkcji posiada pewne własności interesujące ze względu na ekonomię zapisu: prócz binegacji jest jedynym funktorem, za pomocą którego można zdefiniować wszystkie inne; ponadto jest jedynym funktorem jedynego aksjomatu dysjunkcyjnego rachunku zdań.

Twierdzenie, że za pomocą funktora dysjunkcji zdefiniować można wszystkie pozostałe, pochodzi od logika Henry’ego Sheffera, który opublikował je w 1913 w artykule A Set of Five Independent Postulates for Boolean Algebras, with Application to Logical Constants[2]. Wcześniej na ten pomysł wpadł Charles Peirce (artykuł A Boolian Algebra with One Constant z 1880), lecz nie został on opublikowany za jego życia (ukazał się dopiero w tomie 4. dzieł zebranych Peirce’a, wydawanych w latach 1931–1958)[3]. W 1925 Eustachy Żyliński udowodnił, że nie istnieje żaden inny niż binegacja i dysjunkcja funktor rachunku zdań, przy użyciu którego zdefiniować można wszystkie pozostałe[4].

Inne funktory logiczne definiowane są w sposób następujący:

Funktor dysjunkcji stanowi jedyny termin pierwotny rachunku zdań w stylizacji zwanej dysjunkcyjnym rachunkiem zdań. Dysjunkcyjny rachunek zdań jest jedyną formą klasycznego rachunku zdań, w której występuje tylko jeden aksjomat. Jest nim aksjomat Nicoda-Łukasiewicza, sformułowany przez Jeana Nicoda (A Reduction in the number of the Primitive Propositions of Logic, 1917), uproszczony przez Jana Łukasiewicza (Uwagi o aksjomacie Nicoda i o „definicji uogólniającej”, 1933).

Bramka logiczna[edytuj | edytuj kod]

Realizacją operacji NAND w elektronice jest bramka logiczna NAND. Oznaczana jest symbolem:

NAND ANSI Labelled.svg

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ​ISBN 978-83-01-14547-7​, s.8
  2. Henry M. Sheffer. A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants. „Transactions of the American Mathematical Society”. 14, s. 481–488, 1913. American Mathematical Society (ang.). 
  3. Charles S. Peirce: A Boolian [!] algebra with one constant. W: Collected papers of Charles Sanders Peirce. Charles Hartshorne; Paul Weiss; Arthur W. Burks (red.). T. 4. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1931–1958, s. 12–20. OCLC 928433.
  4. Eustachy Żyliński. Some remarks concerning the theory of deduction. „Fundamenta Mathematicae”. 7, s. 203–209, 1925. Institute of Mathematics Polish Academy of Sciences (ang.). 

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]