Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa

Funkcja opisująca przykładowy dyskretny rozkład prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwa przyjęcia przez zmienną wartości 1, 3 i 7 wynoszą odpowiednio 0,2, 0,5 i 0,3. Inne wartości mają zerowe prawdopodobieństwo.

Od góry: dystrybuanta pewnego dyskretnego rozkładu, rozkładu ciągłego, oraz rozkładu mającego zarówno ciągłą, jak i dyskretną część.

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, skokowy rozkład prawdopodobieństwa – rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, której przestrzeń wartości (nośnik rozkładu) jest zbiorem skończonym lub co najwyżej przeliczalnym. Rozkład ten można w pełni opisać, podając wszystkie wartości przyjmowane przez zmienną wraz z przypisanymi im prawdopodobieństwami.

Funkcja $p_{X}$przypisująca prawdopodobieństwo do konkretnych wartości $u$ zmiennej losowej $X$ jest nazywana funkcją masy prawdopodobieństwa (ang. probability mass function, pmf):

$p_{X}(u)=\Pr(X=u)$

Dla każdego dyskretnego rozkładu zachodzi warunek unormowania:

$\sum _{u}p_{X}(u)=\sum _{u}\Pr(X=u)=1$,

gdzie suma przebiega po nośniku, czyli po wszystkich możliwych wartościach $u$, jakie może przyjąć zmienna $X$.

Nośnik rozkładu dyskretnego nie może być zbiorem nieprzeliczalnym. Wynika to z faktu, że suma nieprzeliczalnie wielu dodatnich liczb rzeczywistych jest zawsze nieskończona, co naruszyłoby powyższy warunek unormowania.

Zwykle ten zbiór przyjmowanych wartości jest topologicznie zbiorem izolowanych punktów. Istnieją jednak zmienne dyskretne, dla których zbiór przyjmowanych wartości jest gęsty.

Równoważnie dyskretną zmienną losową można zdefiniować jako zmienną losową, której dystrybuanta jest funkcją schodkową:

$\sum _{x_{k}\in S}\left[F(x_{k})-\lim _{x\to x_{k}^{-}}{F(x)}\right]=1$

Rozkład Poissona, rozkład dwumianowy, rozkład dwupunktowy, rozkład geometryczny są najbardziej znanymi rozkładami dyskretnymi.

Zobacz też

• ciągły rozkład prawdopodobieństwa
• wektor losowy

Bibliografia

• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, cz. I Rachunek prawdopodobieństwa, str. 50-55.