Dywergencja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy operatora różniczkowego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego nazywane czasem twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

W niniejszym artykule oznaczać będzie pole wektorowe klasy C1 w przestrzeni , to znaczy funkcję określoną na zbiorze otwartym , różniczkowalną w sposób ciągły (tj. taką, której pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych są funkcjami ciągłymi) . Dywergencją pola F nazywamy pole skalarne div F dane wzorem

.

Często opertator dywergencji oznacza się także przez - symbol iloczynu skalarnego ma tu jedynie charakter symboliczny, sugeruje on jednakże, iż dywergencję można traktować formalnie jako iloczyn skalarny operatora nabla z wektorem pola.

Definicja dywergencji, jako pola skalarnego, jest związana z wyborem układu współrzędnych. Można jednak zdefiniować dywergencję nieco ogólniej, odwołując się do twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego. Przypomnijmy, iż mówi ono tyle, że jeżeli jest zwartym podzbiorem przestrzeni , którego brzeg jest dodatnio zorientowany oraz kawałkami gładki, a jest polem wektorowym klasy C1, określonym na zbiorze otwartym, zawierającym , to

gdzie jest jednostkowym wektorem normalnym do dS w punkcie . W związku z tym można zdefiniować dywergencję w każdym punkcie zbioru U poprzez ściąganie powierzchni V (takich, że jest punktem , gdzie V jak w powyższym twierdzeniu) do punktu. Dokładniej, można zdefiniować

,

gdzie oznacza objętość V.

Uwaga: symbol (), nazywany elementem powierzchni (elementem objętości), oznacza formalnie 2-formę (3-formę) postaci dxdy (dxdydz).

Interpretacja w mechanice płynów[edytuj]

Rozważany jest problem przepływu cieczy nieściśliwej przy występowaniu źródeł (albo wycieków). Wydajnością źródeł wewnątrz zamkniętej powierzchni S nazywa się ilość cieczy wypływającej z powierzchni S w danej jednostce czasu. Innymi słowy, wydajność źródeł to strumień wektora prędkości v, to znaczy

Dla źródeł w danym obszarze rozłożonych w sposób ciągły, można wprowadzić pojęcie ich gęstości, to znaczy granicę wydajności źródeł w obszarze V, które zawierają punkt M na jednostkę objętości, tzn.

,

co oznacza, że dywergencja pola prędkości cieczy jest w powyższym przykładzie gęstością źródeł.

Bibliografia[edytuj]