Dywergencja

Dywergencja, in. rozbieżność, źródłowość pola wektorowego – operator różniczkowy przyporządkowujący polu wektorowemu w przestrzeni euklidesowej 3-wymiarowej pole skalarne będące formalnie iloczynem skalarnym operatora nabla z wektorem pola.

Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe $n$-wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.

Dywergencja w układzie współrzędnych kartezjańskich

Założenia:

Dana jest funkcja $\mathbf {F} \colon U\to \mathbb {R} ^{3}$ określona na zbiorze otwartym $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$klasy $C^{1}$ (tj. taka że jej pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych $x,y,z$ są funkcjami ciągłymi); funkcja ta ma w wybranym układzie współrzędnych trzy funkcje składowe i nazywana jest polem wektorowym w przestrzeni $\mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {F} =(F_{1},F_{2},F_{3}).$

Definicja:

Dywergencją $\operatorname {div} \mathbf {F}$ pola wektorowego $\mathbf {F}$ nazywa się pole skalarne będące sumą pochodnych cząstkowych funkcji składowych $F_{i}$ pola wektorowego $\mathbf {F}$ po odpowiednich współrzędnych, tj.

$\operatorname {div} \mathbf {F} (x,y,z)={\frac {\partial F_{1}(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}(x,y,z)}{\partial z}},$

co można zapisać symbolicznie

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ,$

gdzie:

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)=\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}$ – operator wektorowy nabla

symbol $\cdot$ oznacza mnożenie skalarne operatora wektorowego nabla z wektorem pola.

Dywergencja we współrzędnych krzywoliniowych

W dowolnych współrzędnych krzywoliniowych $q_{1},\dots ,q_{n}$ przestrzeni $n$-wymiarowej euklidesowej lub przestrzeni pseudoeuklidesowej (i ogólniej – w przestrzeni riemannowskiej lub pseudoriemannowskiej) dywergencję w danym punkcie wyraża wzór

$\operatorname {div} (F)={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{a}\left({\sqrt {|g|}}\,F^{a}\right),$

gdzie:

$|g|$ – moduł wyznacznika tensora metrycznego współrzędnych krzywoliniowich obliczony w danym punkcie,

$\partial _{a}\equiv {\frac {\partial }{\partial q_{a}}}$ – pochodna cząstkowa po współrzędnej krzywoliniowej $q_{a},$

$F=[F_{1},\dots ,F_{n}]$ – dane pole wektorowe w przestrzeni $n$-wymiarowej.

W powyższym wzorze trzeba wykonać sumowanie po powtarzającym się indeksie $a$ przyjmując $a=1,\dots ,n.$

Współrzędne sferyczne

Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać dywergencji w układzie współrzędnych sferycznych $r,\theta ,\varphi .$ Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych sferycznych

$\mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{\varphi }F_{\varphi },$

to dywergencja ma postać:

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.$

Współrzędne walcowe

Z ogólnego wzoru można otrzymać postać dywergencji w układzie współrzędnych walcowych $\rho ,\theta ,z.$

Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych walcowych

$\mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z},$

to dywergencja ma postać:

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$

Definicja geometryczna dywergencji

(1) Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego

Dywergencję można zdefiniować najogólniej nie odwołując się do układu współrzędnych, a korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, które mówi, że:

Jeżeli $V$ jest zwartym podzbiorem przestrzeni $\mathbb {R} ^{3},$ którego brzeg $\partial V$ jest dodatnio zorientowany oraz kawałkami gładki, a $\mathbf {F}$ jest polem wektorowym klasy $C^{1},$ określonym na zbiorze otwartym, zawierającym $V,$ to

$\iiint \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \,dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS,$

gdzie:

$\mathbf {n} =\mathbf {n} (x,y,z)$ – jednostkowy wektor normalnym do infinitezymalnej powierzchni $dS$ w otoczeniu punktu $(x,y,z).$

(2) Definicja:

Dywergencją w punkcie $M$ zbioru $U$ nazywa się granicę całki obliczanej po powierzchni otaczającej punkt $M,$ uzyskaną poprzez ściąganie powierzchni $\partial V$ do punktu $M,$ tj.

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{|V|\to 0}{\frac {1}{|V|}}\iint \limits _{\partial V}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} }\;dS,$

gdzie $|V|$ – objętość obszaru $V$ zawartego w powierzchni $\partial V.$

Uwaga:

• $dS$ oznacza infinitezymalny element powierzchni; formalnie jest to 2-forma postaci $dx\wedge dy.$
• $dV$ oznacza infinitezymalny element objętości; formalnie jest to 3-forma postaci $dx\wedge dy\wedge dz.$

Dywergencja dla pola tensorowego 2 rzędu (z macierzy)

Dywergencja w kartezjańskim układzie współrzędnych dla różniczkowalnego w sposób ciągły tensora drugiego rzędu $\mathbf {A}$ zdefiniowanego następująco:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}$

jest polem wektorowym (tj. w wyniku w danym punkcie otrzymywany jest wektor kolumnowy, czyli kontrawariantny)

$\operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} ^{T}={\cfrac {\partial A_{ik}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ik,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}.$

gdzie $^{T}$ oznacza transpozycję. Należy tutaj dodać, że w ogólności zachodzi następująca nierówność

$\operatorname {div} (\mathbf {A} )\neq \nabla \cdot \mathbf {A}$

gdzie:

$\nabla \cdot \mathbf {A} ={\cfrac {\partial A_{ki}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ki,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}$

zatem dla tensorów drugiego rzędu powinniśmy rozróżniać powyższy operator $\nabla \cdot \mathbf {A}$ od dywergencji $\operatorname {div} (\mathbf {A} ).$

Niemniej jednak jeśli tensor jest symetryczny tj. $A_{ij}=A_{ji}$ zachodzi równość $\operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A}$ co jest przyczyną zamiennego stosowania tych operatorów w literaturze dotyczącej równań (związanych głównie z mechaniką) bazujących na założeniu symetrii tensora.

Twierdzenia

Następujące twierdzenia dowodzi się w oparciu o reguły różniczkowania.

Tw. 1

Dywergencja jest operatorem liniowym, tj.

$\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {div} \mathbf {F} +b\operatorname {div} \mathbf {G}$

dla dowolnych pół wektorowych $\mathbf {F} ,\mathbf {G}$ i dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b.$

Tw. 2

Jeżeli φ jest polem skalarnym, to

$\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \operatorname {div} \mathbf {F}$

lub równoważnie

$\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} ),$

gdzie $\operatorname {grad} (\varphi )$ – gradient funkcji skalarnej.

Zastosowania

Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego zwane twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

Interpretacja w mechanice płynów

Rozważany jest problem przepływu cieczy nieściśliwej przy występowaniu źródeł (albo wycieków). Wydajnością źródeł wewnątrz zamkniętej powierzchni $S$ nazywa się ilość cieczy wypływającej z powierzchni $S$ w jednostce czasu. Innymi słowy, wydajność źródeł to strumień wektora prędkości $\mathbf {v} ,$ to znaczy

$\iint \limits _{S}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dS.$

Dla źródeł w danym obszarze rozłożonych w sposób ciągły, można wprowadzić pojęcie ich gęstości, to znaczy granicę wydajności źródeł w obszarze $V,$ które zawierają punkt $M$ na jednostkę objętości, tzn.

$\lim _{|V|\to 0}{\frac {1}{|V|}}\iint \limits _{\partial V}{\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} }\;dS,$

co oznacza, że dywergencja pola prędkości cieczy jest w powyższym przykładzie gęstością źródeł.

Zobacz też

(1) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

• operator d’Alemberta

(2) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej

• gradient
• operator Laplace’a
• operator nabla w różnych układach współrzędnych
• rotacja

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 310.
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998, s. 237–239. ISBN 83-01-02846-7.
• L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009.