Dywergencja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy operatora różniczkowego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Dywergencja (rozbieżność, źródłowość) pola wektorowegooperator różniczkowy przyporządkowujący polu wektorowemu w przestrzeni euklidesowej 3-wymiarowej pole skalarne będące formalnie iloczynem skalarnym operatora nabla z wektorem pola.

Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe -wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.

Dywergencja w układzie współrzędnych kartezjańskich[edytuj | edytuj kod]

Założenia:

Dana jest funkcja określona na zbiorze otwartym klasy (tj. taka że jej pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych funkcjami ciągłymi); funkcja ta ma w wybranym układzie współrzędnych trzy funkcje składowe i nazywana jest polem wektorowym w przestrzeni

Definicja:

Dywergencją pola wektorowego nazywa się pole skalarne będące sumą pochodnych cząstkowych funkcji składowych pola wektorowego po odpowiednich współrzędnych, tj.

co można zapisać symbolicznie

gdzie:

operator wektorowy nabla
symbol oznacza mnożenie skalarne operatora wektorowego nabla z wektorem pola.

Dywergencja we współrzędnych krzywoliniowych[edytuj | edytuj kod]

W dowolnych współrzędnych krzywoliniowych przestrzeni -wymiarowej euklidesowej lub przestrzeni pseudoeuklidesowej (i ogólniej – w przestrzeni riemannowskiej lub pseudoriemannowskiej) dywergencję w danym punkcie wyraża wzór

gdzie:

– moduł wyznacznika tensora metrycznego współrzędnych krzywoliniowich obliczony w danym punkcie,
– pochodna cząstkowa po współrzędnej krzywoliniowej
– dane pole wektorowe w przestrzeni -wymiarowej.

W powyższym wzorze trzeba wykonać sumowanie po powtarzającym się indeksie przyjmując

Współrzędne sferyczne[edytuj | edytuj kod]

Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać dywergencji w układzie współrzędnych sferycznych Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych sferycznych

to dywergencja ma postać:

Współrzędne walcowe[edytuj | edytuj kod]

Z ogólnego wzoru można otrzymać postać dywergencji w układzie współrzędnych walcowych

Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych walcowych

to dywergencja ma postać:

Definicja geometryczna dywergencji[edytuj | edytuj kod]

(1) Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego

Dywergencję można zdefiniować najogólniej nie odwołując się do układu współrzędnych, a korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, które mówi, że:

Jeżeli jest zwartym podzbiorem przestrzeni którego brzeg jest dodatnio zorientowany oraz kawałkami gładki, a jest polem wektorowym klasy określonym na zbiorze otwartym, zawierającym to

gdzie:

– jednostkowy wektor normalnym do infinitezymalnej powierzchni w otoczeniu punktu

(2) Definicja:

Dywergencją w punkcie zbioru nazywa się granicę całki obliczanej po powierzchni otaczającej punkt uzyskaną poprzez ściąganie powierzchni do punktu tj.

gdzie objętość obszaru zawartego w powierzchni

Uwaga:

  • oznacza infinitezymalny element powierzchni; formalnie jest to 2-forma postaci dx∧dy.
  • oznacza infinitezymalny element objętości; formalnie jest to 3-forma postaci dx∧dy∧dz.

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Następujące twierdzenia dowodzi się w oparciu o reguły różniczkowania.

Tw. 1

Dywergencja jest operatorem liniowym, tj.

dla dowolnych pół wektorowych i dla dowolnych liczb rzeczywistych

Tw. 2

Jeżeli φ jest polem skalarnym, to

lub równoważnie

gdzie gradient funkcji skalarnej.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego zwane twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

Interpretacja w mechanice płynów[edytuj | edytuj kod]

Rozważany jest problem przepływu cieczy nieściśliwej przy występowaniu źródeł (albo wycieków). Wydajnością źródeł wewnątrz zamkniętej powierzchni nazywa się ilość cieczy wypływającej z powierzchni w jednostce czasu. Innymi słowy, wydajność źródeł to strumień wektora prędkości to znaczy

Dla źródeł w danym obszarze rozłożonych w sposób ciągły, można wprowadzić pojęcie ich gęstości, to znaczy granicę wydajności źródeł w obszarze które zawierają punkt na jednostkę objętości, tzn.

co oznacza, że dywergencja pola prędkości cieczy jest w powyższym przykładzie gęstością źródeł.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

(1) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

(2) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]