Dywergencja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy operatora różniczkowego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Dywergencja (rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący polu wektorowemu w przestrzeni euklidesowej 3-wymiarowej pole skalarne będące formalnie iloczynem skalarnym operatora nabla z wektorem pola.

Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe -wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.

Dywergencji w układzie współrzędnych kartezjańskich[edytuj | edytuj kod]

Założenia:

Dana jest funkcja określona na zbiorze otwartym klasy (tj. taka że jej pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych funkcjami ciągłymi); funkcja ta ma w wybranym układzie współrzędnych trzy funkcje składowe i nazywana jest polem wektorowym w przestrzeni

Definicja:

Dywergencją pola wektorowego nazywa się pole skalarne będące sumą pochodnych cząstkowych funkcji składowych pola wektorowego po odpowiednich współrzędnych, tj.

co można zapisać symbolicznie

gdzie

  • - operator wektorowy nabla
  • symbol oznacza mnożenie skalarne operatora wektorowego nabla z wektorem pola

Dywergencja we współrzędnych krzywoliniowych[edytuj | edytuj kod]

W dowolnych współrzędnych krzywoliniowych przestrzeni -wymiarowej euklidesowej lub przestrzeni pseudoeuklidesowej (i ogólniej - w przestrzeni riemannowskiej lub pseudoriemannowskiej) dywergencję w danym punkcie wyraża wzór

gdzie
  • - moduł wyznacznika tensora metrycznego współrzędnych krzywoliniowich obliczony w danym punkcie
  • - pochodna cząstkowa po współrzędnej krzywoliniowej
  • - dane pole wektorowe w przestrzeni n-wymiarowej

W powyższym wzorze trzeba wykonać sumowanie po powtarzającym się indeksie przyjmując .

Współrzędne sferyczne[edytuj | edytuj kod]

Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać dywergencji w układzie współrzędnych sferycznych . Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych sferycznych

to dywergencja ma postać:

Współrzędne walcowe[edytuj | edytuj kod]

Z ogólnego wzoru można otrzymać postać dywergencji w układzie współrzędnych walcowych .

Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych walcowych

to dywergencja ma postać:

Definicja geometryczna dywergencji[edytuj | edytuj kod]

(1) Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego

Dywergencję można zdefiniować najogólniej nie odwołując się do układu współrzędnych, a korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, które mówi, że:

Jeżeli jest zwartym podzbiorem przestrzeni , którego brzeg jest dodatnio zorientowany oraz kawałkami gładki, a jest polem wektorowym klasy , określonym na zbiorze otwartym, zawierającym , to

gdzie
- jednostkowy wektor normalnym do infinitezymalnej powierzchni w otoczeniu punktu

(2) Definicja:

Dywergencją w punkcie zbioru nazywa się granicę całki obliczanej po powierzchni otaczającej punkt , uzyskaną poprzez ściąganie powierzchni do punktu , tj.

gdzie - objętość obszaru zawartego w powierzchni

Uwaga:

oznacza infinitezymalny element powierzchni; formalnie jest to 2-forma postaci dx∧dy.

oznacza infinitezymalny element objętości; formalnie jest to 3-forma postaci dx∧dy∧dz.

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Następujące twierdzenia dowodzi się w oparciu o reguły różniczkowania.

Tw. 1

Dywergencja jest operatorem liniowym, tj.

dla dowolnych pół wektorowych i dla dowolnych liczb rzeczywistych .

Tw. 2

Jeżeli φ jest polem skalarnym, to

lub równoważnie

gdzie - gradient funkcji skalarnej

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego zwane twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

Interpretacja w mechanice płynów[edytuj | edytuj kod]

Rozważany jest problem przepływu cieczy nieściśliwej przy występowaniu źródeł (albo wycieków). Wydajnością źródeł wewnątrz zamkniętej powierzchni nazywa się ilość cieczy wypływającej z powierzchni w jednostce czasu. Innymi słowy, wydajność źródeł to strumień wektora prędkości , to znaczy

Dla źródeł w danym obszarze rozłożonych w sposób ciągły, można wprowadzić pojęcie ich gęstości, to znaczy granicę wydajności źródeł w obszarze V, które zawierają punkt M na jednostkę objętości, tzn.

,

co oznacza, że dywergencja pola prędkości cieczy jest w powyższym przykładzie gęstością źródeł.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]