Dywergencja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy operatora różniczkowego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego nazywane czasem twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

W niniejszym artykule \mathbf{F}=(F_1, F_2, F_3) oznaczać będzie pole wektorowe klasy C1 w przestrzeni \mathbb{R}^3, to znaczy funkcję \mathbf{F}\colon U\to \mathbb{R}^3 określoną na zbiorze otwartym U\subseteq \mathbb{R}^3, różniczkowalną w sposób ciągły (tj. taką, której pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych są funkcjami ciągłymi) . Dywergencją pola F nazywamy pole skalarne div F dane wzorem

\mbox{div}\,\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial F_2(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial F_3(x,y,z)}{\partial z}.

Często opertator dywergencji oznacza się także przez \nabla\cdot \mathbf{F} - symbol iloczynu skalarnego ma tu jedynie charakter symboliczny, sugeruje on jednakże, iż dywergencję można traktować formalnie jako iloczyn skalarny operatora nabla z wektorem pola.

Definicja dywergencji, jako pola skalarnego, jest związana z wyborem układu współrzędnych. Można jednak zdefiniować dywergencję nieco ogólniej, odwołując się do twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego. Przypomnijmy, iż mówi ono tyle, że jeżeli V jest zwartym podzbiorem przestrzeni \mathbb{R}^3, którego brzeg jest dodatnio zorientowany oraz kawałkami gładki, a \mathbf{F} jest polem wektorowym klasy C1, określonym na zbiorze otwartym, zawierającym V, to

\iiint\limits_V\mbox{div}\,\mathbf{F}\,dV=\iint\limits_{\partial V} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,

gdzie \mathbf{n}=\mathbf{n}(x,y,z) jest jednostkowym wektorem normalnym do dS w punkcie (x,y,z). W związku z tym można zdefiniować dywergencję w każdym punkcie M=M(x,y,z) zbioru U poprzez ściąganie powierzchni V (takich, że M jest punktem V, gdzie V jak w powyższym twierdzeniu) do punktu. Dokładniej, można zdefiniować

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \lim_{|V| \rightarrow 0} \frac{1}{|V|}\iint\limits_{\partial V} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}} \; dS ,

gdzie |V| oznacza objętość V.

Uwaga: symbol dS (dV), nazywany elementem powierzchni (elementem objętości), oznacza formalnie 2-formę (3-formę) postaci dxdy (dxdydz).

Interpretacja w mechanice płynów[edytuj | edytuj kod]

Rozważany jest problem przepływu cieczy nieściśliwej przy występowaniu źródeł (albo wycieków). Wydajnością źródeł wewnątrz zamkniętej powierzchni S nazywa się ilość cieczy wypływającej z powierzchni S w danej jednostce czasu. Innymi słowy, wydajność źródeł to strumień wektora prędkości v, to znaczy

\iint\limits_{S} \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS.

Dla źródeł w danym obszarze rozłożonych w sposób ciągły, można wprowadzić pojęcie ich gęstości, to znaczy granicę wydajności źródeł w obszarze V, które zawierają punkt M na jednostkę objętości, tzn.

\lim_{|V| \rightarrow 0} \frac{1}{|V|}\iint\limits_{\partial V} {\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}} \; dS ,

co oznacza, że dywergencja pola prędkości cieczy jest w powyższym przykładzie gęstością źródeł.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]