Działanie algebraiczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Działanie algebraiczne (operacja algebraiczna) – przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów (nazywanych argumentami lub operandami) jednego elementu (nazywanego wynikiem).

Argumentami i wynikami działań mogą być dowolne obiekty matematyczne: liczby (skalary), wektory, macierze, tensory, algebry, zdania logiczne, funkcje, itp.

Do podstawowych działań algebraicznych należą tradycyjne działania arytmetyczne (tj. działania na liczbach), jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, podnoszenie do potęgi, pierwiastkowanie. Działania te - odpowiednio zdefiniowane - mogą być wykonane także na macierzach, wyrażeniach algebraicznych[1], czy na innych elementach struktury algebraicznej, jak grupy czy pola[2]. Działaniem algebraicznym jest też obliczanie iloczynu skalarnego, obliczanie potęgi całkowitej i wymiernej.

Działaniem algebraicznym nie jest zaś np. obliczanie pochodnej funkcji.

Ze względu na liczbę argumentów wyróżnia się:

Dziedziną działania jest iloczyn kartezjański zbiorów, z których bierze się argumenty.

Przeciwdziedziną działania jest zbiór, w którym znajdują się wyniki działania.

Działanie z każdym elementem dziedziny wiąże dokładnie jeden element przeciwdziedziny.

Dany zbiór z określonymi na nim działaniami algebraicznymi nazywa się algebrą ogólną (krótko: algebrą). Działania zdefiniowane na tym zbiorze nazywa się „sygnaturą”. Badaniem działań w najogólniejszym sensie zajmuje się algebra uniwersalna.

Definicja działania[edytuj | edytuj kod]

(1) Definicja: Działanie to funkcja postaci

(2) Zbiór nazywa się dziedziną działania.

(3) Zbiór nosi nazwę przeciwdziedziny działania.

(4) Liczbę argumentów nazywa się typem, arnością lub argumentowością działania:

  • działanie jednoargumentowe ma argumentowość / arność równą ,
  • działanie dwuargumentowe ma argumentowość / arność ,
  • działanie zeroargumentowe jest po prostu elementem przeciwdziedziny ,
  • działanie o arności nazywa się działaniem -arnym lub -argumentowym.

Np. dodawanie w zbiorze liczb rzeczywistych - to działanie 2-argumentowe, której dziedziną jest iloczyn kartezjański , tj.

Uwaga:

Powyższa definicja działania obejmuje tzw. działania skończone, tzn. odnosi się do skończonej liczby argumentów. Istnieją rozszerzenia, w których argumentowość jest nieskończoną liczbą porządkową lub kardynalną, a nawet dowolnym zbiorem indeksującym argumenty.

Typy argumentów / wyników działań[edytuj | edytuj kod]

Argumentami i wynikami działań mogą być dowolne obiekty matematyczne: liczby (skalary), wektory, macierze, tensory, algebry, itp. W zależności od rodzaju argumentów i wyników można zdefiniować różne działania, np.

- w wyniku ostatnich 3 działań otrzymuje się inną funkcję.

Np. za pomocą mnożenia macierzy opisujących obroty otrzymuje się macierz odpowiadającą jakiemuś innemu obrotowi

Działanie jako operator i relacja[edytuj | edytuj kod]

(1) Działanie jest rodzajem operatora. Można mówić „operator dodawania” - wyrażenie to podkreśla, iż działanie jest pewną operacją abstrakcyjną, funkcją,

(2) Działanie -argumentowe jest -argumentową relacją, która jest funkcyjna na swoich pierwszych dziedzinach.

Własności działań[edytuj | edytuj kod]

Działania mogą przejawiać pewne szczególne własności, np.

Im więcej własności mają działania w danym zbiorze, tym zbiór tworzy bardziej subtelną strukturę algebraiczną.

Działania wewnętrzne i zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

(1) Działanie wewnętrzne - to funkcja, które przyporządkowuje n elementom danego zbioru jeden element tego zbioru; dziedziną jest iloczyn kartezjański jednej lub większej liczby egzemplarzy przeciwdziedziny[3]; mówi się wtedy, że zbiór jest zamknięty ze względu na to działanie,

(2) Działanie zewnętrzne - to funkcja, które przyporządkowują n elementom danego zbioru jeden element innego zbioru (zob. Przykłady).

Symbole działań[edytuj | edytuj kod]

Znak mnożenia[edytuj | edytuj kod]

Kiedy nie ma operatora pomiędzy zmiennymi lub wyrażeniami, albo kiedy występuje znak „”, implikowany jest symbol mnożenia.

Np. pisane jest jako a jako [4].

Czasami symbole mnożenia zastępowane są przez kropkę, więc pisane jest jako

W nieformatowanych dokumentach, językach programowania i kalkulatorach do definiowania mnożenia używa się symbolu pojedynczej gwiazdki, na przykład działanie pisane jest jako [5].

Znak dzielenia[edytuj | edytuj kod]

W działaniach dzielenia zamiast znaku dzielenia”, korzysta się z poziomej linii, na przykład

W tekstach nieformatowanych oraz w językach programowania używa się ukośnika, np.

Znak potęgi[edytuj | edytuj kod]

Wykładniki potęg zapisywane są w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, np.

W tekstach nieformatowanych i w języku znaczników TeX symbolem karety ^ oznacza się wykładniki potęg, dlatego pisane jest jako x ^ 2[6][7].

W językach programowania takich jak Ada[8], Fortran[9], Perl[10], Python[11] i Ruby[12] używa się podwójnej gwiazdki, więc zapisuje się jako

Znak plus-minus[edytuj | edytuj kod]

Znak plus-minus, używa się jako skrótu do zapisywania dwóch wyrażeń za pomocą jednego, określając jedno wyrażenie ze znakiem dodawania, a drugie ze znakiem odejmowania. Przykładowo przedstawia dwa równania oraz Czasami plus-minus wykorzystywany jest do zapisu dodatniego lub ujemnego wyrażenia tak jak

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Działania zeroargumentowe[edytuj | edytuj kod]

Element neutralny działania (o ile istnieje) jest działaniem zeroargumentowym.

Np.

Działania jednoargumentowe[edytuj | edytuj kod]

Za działania jednoargumentowe można uważać funkcje ustalonego zbioru w siebie, np. silnię, funkcje trygonometryczne, funkcję wykładniczą (o ustalonej podstawie), potęgowanie (przy ustalonym wykładniku) i pierwiastkowanie (ustalonego stopnia).

Działania dwuargumentowe[edytuj | edytuj kod]

Element odwrotny względem działania dwuargumentowego w dowolnej strukturze algebraicznej (o ile istnieje) jest działaniem jednoargumentowym.

Np. w dowolnej grupie (w tym dodawania w pierścieniach, ciałach, przestrzeniach liniowych czy mnożenia w ciałach; zob. grupa addytywna, grupa multiplikatywna).

Działania dwuargumentowe są zasadniczym przedmiotem badań algebry uniwersalnej; strukturę złożoną ze zbioru i działania dwuargumentowego na nim określonego nazywa się grupoidem. Nałożenie dodatkowych warunków na działanie daje inne struktury.

Zbiory z jednym działaniem[edytuj | edytuj kod]

Czyli grupa to zbiór z trzema działaniami: dwu-, jedno- i zeroargumentowym (grupowe, odwracanie i element neutralny).

Grupę można także określić jako zbiór z jednym działaniem dwuargumentowym (odwrotność powyższego działania grupowego, w notacji multiplikatywnej nazywane jest „dzieleniem”, a w addytywnej – „odejmowaniem”)[14].

Grupę można również scharakteryzować jako zbiór z rodziną działań jednoargumentowych: mnożeń lewostronnych każdego elementu przez dowolny inny.

Zbiory z dwoma działaniami[edytuj | edytuj kod]

Bada się również zbiory z dwoma działaniami, zwykle związanymi ze sobą warunkiem rozdzielności. Np. pierścień to zbiór

  • z dwoma działaniami dwuargumentowymi (łączne i przemienne dodawanie oraz łączne mnożenie – rozdzielne względem siebie),
  • jednym jednoargumentowym (branie elementu przeciwnego)
  • jednym zeroargumentowym (zero – element neutralny dodawania)[15]
  • dodając działanie zeroargumentowe w postaci elementu neutralnego mnożenia (jedynka) otrzymuje się pierścień z jedynką
  • żądając przemienności mnożenia uzyskuje się pierścień przemienny
  • pierścień z jedynką, w którym określono działanie odwracania elementu nazywa się pierścieniem z dzieleniem
  • jeżeli mnożenie jest przemienne, to taki pierścień nazywa się ciałem.

Innymi słowy: zbiór ze strukturą grupy przemiennej i ten sam zbiór bez wyróżnionego elementu (zera) ze strukturą półgrupy, których działania są względem siebie rozdzielne tworzy pierścień. Zastąpienie półgrupy monoidem, grupą albo grupą przemienną daje odpowiednio pierścień z jedynką, pierścień z dzieleniem oraz ciało.

Zbiory z trzema działaniami[edytuj | edytuj kod]

Przykładem działania trójargumentowego jest iloczyn mieszany określony na trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej w tę przestrzeń[16], w której określone są działania:

Działania zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Działania zewnętrzne to np.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. William Smyth, Elementary algebra: for schools and academies, Publisher Bailey and Noyes, 1864, "Algebraic Operations"
  2. Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7
  3. Zob. np. rozdz. II, def. 1.1, w: S.N. Burris i H.P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, Springer, 1981.
  4. Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Panpac Education Pte Ltd, s. 68, ISBN 978-981-273-882-0 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  5. William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa, Math Through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others, Mathematical Association of America, 2004, s. 75, ISBN 978-0-88385-736-6 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  6. Ramesh Bangia, Dictionary of Information Technology, Laxmi Publications, Ltd., 2010, s. 212, ISBN 978-93-80298-15-3 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  7. George Grätzer, First Steps in LaTeX, Springer Science & Business Media, 1 października 1999, s. 17, ISBN 978-0-8176-4132-0 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  8. S. Tucker Taft, Ada 2005 Reference Manual. Language and Standard Libraries: International Standard ISO/IEC 8652/1995(E) with Technical Corrigendum 1 and Amendment 1, Springer Science & Business Media, 22 grudnia 2006, s. 13, ISBN 978-3-540-69335-2 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  9. C. Xavier, Fortran 77 and Numerical Methods, New Age International, 1994, s. 20, ISBN 978-81-224-0670-2 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  10. Randal L. Schwartz, y, Tom Phoenix, Learning Perl, O’Reilly Media, Inc., 16 czerwca 2011, s. 24, ISBN 978-1-4493-1314-2 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  11. Matthew A. Telles, Python Power!: The Comprehensive Guide, Course Technology PTR, 2008, s. 46, ISBN 978-1-59863-158-6 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  12. Kevin C. Baird, Ruby by Example: Concepts and Code, No Starch Press, 2007, s. 72, ISBN 978-1-59327-148-0 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  13. Kurosz 1974 ↓, s. 20–25.
  14. Kurosz 1974 ↓, s. 17–19.
  15. Kurosz 1974 ↓, s. 56.
  16. Aleksiej Pogoriełow: Geometria. Moskwa: Nauka, 1983, s. 72–73. (ros.)
  17. Istnieje bezpośrednie uogólnienie na przestrzeń siedmiowymiarową (tzw. uogólniony iloczyn wektorowy) i nieco ogólniejsze na przestrzenie dowolnego wymiaru (tzw. iloczyn zewnętrzny).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A.G. Kurosz: Obszczaja algebra: lekcii 1969–1970 uczebnogo goda. Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1974, s. 11. (ros.)