Działanie algebraiczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Działanie algebraiczne (operacja algebraiczna) – przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów (nazywanych argumentami lub operandami) jednego elementu (nazywanego wynikiem).

Argumentami i wynikami działań mogą być dowolne obiekty matematyczne: liczby (skalary), wektory, macierze, tensory, algebry, zdania logiczne, funkcje itp.

Do podstawowych działań algebraicznych należą tradycyjne działania arytmetyczne (tj. działania na liczbach)[1], jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, podnoszenie do potęgi, pierwiastkowanie. Działania te – odpowiednio zdefiniowane – mogą być wykonane także na macierzach, wyrażeniach algebraicznych[2], czy na innych elementach struktury algebraicznej, jak grupy czy pola[3]. Działaniem algebraicznym jest też obliczanie iloczynu skalarnego, obliczanie potęgi całkowitej i wymiernej.

Działaniem algebraicznym nie jest zaś np. obliczanie pochodnej funkcji.

Ze względu na liczbę argumentów wyróżnia się:

Dziedziną działania jest iloczyn kartezjański zbiorów, z których bierze się argumenty.

Przeciwdziedziną działania jest zbiór, w którym znajdują się wyniki działania.

Działanie z każdym elementem dziedziny wiąże dokładnie jeden element przeciwdziedziny.

Dany zbiór z określonymi na nim działaniami algebraicznymi nazywa się algebrą ogólną (krótko: algebrą). Działania zdefiniowane na tym zbiorze nazywa się „sygnaturą”. Badaniem działań w najogólniejszym sensie zajmuje się algebra uniwersalna.

Definicja działania[edytuj | edytuj kod]

(1) Definicja: Działanie to funkcja postaci

(2) Zbiór nazywa się dziedziną działania.

(3) Zbiór nazywa się przeciwdziedziną działania.

(4) Liczbę argumentów nazywa się typem, arnością lub argumentowością działania:

  • działanie jednoargumentowe ma argumentowość / arność równą
  • działanie dwuargumentowe ma argumentowość / arność
  • działanie zeroargumentowe jest po prostu elementem przeciwdziedziny
  • działanie o arności nazywa się działaniem -arnym lub -argumentowym.

Np. dodawanie w zbiorze liczb rzeczywistych to działanie 2-argumentowe, której dziedziną jest iloczyn kartezjański tj.

Uwaga:

Powyższa definicja działania obejmuje tzw. działania skończone, tzn. odnosi się do skończonej liczby argumentów. Istnieją rozszerzenia, w których argumentowość jest nieskończoną liczbą porządkową lub kardynalną, a nawet dowolnym zbiorem indeksującym argumenty.

Typy argumentów / wyników działań[edytuj | edytuj kod]

Argumentami i wynikami działań mogą być dowolne obiekty matematyczne: liczby (skalary), wektory, macierze, tensory, algebry itp. W zależności od rodzaju argumentów i wyników można zdefiniować różne działania, np.

– w wyniku ostatnich 3 działań otrzymuje się inną funkcję.

Np. za pomocą mnożenia macierzy opisujących obroty otrzymuje się macierz odpowiadającą jakiemuś innemu obrotowi

Działanie jako operator i relacja[edytuj | edytuj kod]

(1) Działanie jest rodzajem operatora. Można mówić „operator dodawania” – wyrażenie to podkreśla, iż działanie jest pewną operacją abstrakcyjną, funkcją,

(2) Działanie -argumentowe jest -argumentową relacją, która jest funkcyjna na swoich pierwszych dziedzinach.

Własności działań[edytuj | edytuj kod]

Działania mogą przejawiać pewne szczególne własności, np.

Im więcej własności mają działania w danym zbiorze, tym zbiór tworzy bardziej subtelną strukturę algebraiczną.

Działania wewnętrzne i zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

(1) Działanie wewnętrzne – funkcja, która przyporządkowuje n elementom danego zbioru jeden element tego zbioru; dziedziną jest iloczyn kartezjański jednej lub większej liczby egzemplarzy przeciwdziedziny[4]; mówi się wtedy, że zbiór jest zamknięty ze względu na to działanie.

(2) Działanie zewnętrzne – funkcja, które przyporządkowują n elementom danego zbioru jeden element innego zbioru (zob. Przykłady).

Symbole działań[edytuj | edytuj kod]

Znak mnożenia[edytuj | edytuj kod]

Kiedy nie ma operatora pomiędzy zmiennymi lub wyrażeniami, albo kiedy występuje znak „”, implikowany jest symbol mnożenia.

Np. pisane jest jako a jako [5].

Czasami symbole mnożenia zastępowane są przez kropkę, więc pisane jest jako

W nieformatowanych dokumentach, językach programowania i kalkulatorach do definiowania mnożenia używa się symbolu pojedynczej gwiazdki, na przykład działanie pisane jest jako [6].

Znak dzielenia[edytuj | edytuj kod]

W działaniach dzielenia zamiast znaku dzielenia”, korzysta się z poziomej linii, na przykład

W tekstach nieformatowanych oraz w językach programowania używa się ukośnika, np.

Znak potęgi[edytuj | edytuj kod]

Wykładniki potęg zapisywane są w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, np.

W tekstach nieformatowanych i w języku znaczników TeX symbolem karety ^ oznacza się wykładniki potęg, dlatego pisane jest jako x^2[7][8].

W językach programowania takich jak Ada[9], Fortran[10], Perl[11], Python[12] i Ruby[13] używa się podwójnej gwiazdki, więc zapisuje się jako

Znak plus-minus[edytuj | edytuj kod]

Znak plus-minus, używa się jako skrótu do zapisywania dwóch wyrażeń za pomocą jednego, określając jedno wyrażenie ze znakiem dodawania, a drugie ze znakiem odejmowania. Przykładowo przedstawia dwa równania oraz Czasami plus-minus wykorzystywany jest do zapisu dodatniego lub ujemnego wyrażenia tak jak

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Działania zeroargumentowe[edytuj | edytuj kod]

Element neutralny działania (o ile istnieje) jest działaniem zeroargumentowym.

Np.

Działania jednoargumentowe[edytuj | edytuj kod]

Za działania jednoargumentowe można uważać funkcje ustalonego zbioru w siebie, np. silnię, funkcje trygonometryczne, funkcję wykładniczą (o ustalonej podstawie), potęgowanie (przy ustalonym wykładniku) i pierwiastkowanie (ustalonego stopnia).

Działania dwuargumentowe[edytuj | edytuj kod]

Element odwrotny względem działania dwuargumentowego w dowolnej strukturze algebraicznej (o ile istnieje) jest działaniem jednoargumentowym.

Np. w dowolnej grupie (w tym dodawania w pierścieniach, ciałach, przestrzeniach liniowych czy mnożenia w ciałach; zob. grupa addytywna, grupa multiplikatywna).

Działania dwuargumentowe są zasadniczym przedmiotem badań algebry uniwersalnej; strukturę złożoną ze zbioru i działania dwuargumentowego na nim określonego nazywa się grupoidem. Nałożenie dodatkowych warunków na działanie daje inne struktury.

Zbiory z jednym działaniem[edytuj | edytuj kod]

czyli grupa to zbiór z trzema działaniami: dwu-, jedno- i zeroargumentowym (grupowe, odwracanie i element neutralny).

Grupę można także określić jako zbiór z jednym działaniem dwuargumentowym (odwrotność powyższego działania grupowego, w notacji multiplikatywnej nazywane jest „dzieleniem”, a w addytywnej – „odejmowaniem”)[15].

Grupę można również scharakteryzować jako zbiór z rodziną działań jednoargumentowych: mnożeń lewostronnych każdego elementu przez dowolny inny.

Zbiory z dwoma działaniami[edytuj | edytuj kod]

Bada się również zbiory z dwoma działaniami, zwykle związanymi ze sobą warunkiem rozdzielności. Np. pierścień to zbiór

  • z dwoma działaniami dwuargumentowymi (łączne i przemienne dodawanie oraz łączne mnożenie – rozdzielne względem siebie),
  • jednym jednoargumentowym (branie elementu przeciwnego),
  • jednym zeroargumentowym (zero – element neutralny dodawania)[16],
  • dodając działanie zeroargumentowe w postaci elementu neutralnego mnożenia (jedynka) otrzymuje się pierścień z jedynką,
  • żądając przemienności mnożenia uzyskuje się pierścień przemienny,
  • pierścień z jedynką, w którym określono działanie odwracania elementu nazywa się pierścieniem z dzieleniem,
  • jeżeli mnożenie jest przemienne, to taki pierścień nazywa się ciałem.

Innymi słowy: zbiór ze strukturą grupy przemiennej i ten sam zbiór bez wyróżnionego elementu (zera) ze strukturą półgrupy, których działania są względem siebie rozdzielne tworzy pierścień. Zastąpienie półgrupy monoidem, grupą albo grupą przemienną daje odpowiednio pierścień z jedynką, pierścień z dzieleniem oraz ciało.

Zbiory z trzema działaniami[edytuj | edytuj kod]

Przykładem działania trójargumentowego jest iloczyn mieszany określony na trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej w tę przestrzeń[17], w której określone są działania:

Działania zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Działania zewnętrzne to np.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Działanie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-22].
  2. William Smyth, Elementary algebra: for schools and academies, Publisher Bailey and Noyes, 1864, „Algebraic Operations”.
  3. Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7.
  4. Zob. np. rozdz. II, def. 1.1, w: S.N. Burris i H.P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, Springer, 1981.
  5. Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Panpac Education Pte Ltd, s. 68, ISBN 978-981-273-882-0 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  6. William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa, Math Through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others, Mathematical Association of America, 2004, s. 75, ISBN 978-0-88385-736-6 [dostęp 2015-12-20] (ang.).1 stycznia
  7. Ramesh Bangia, Dictionary of Information Technology, Laxmi Publications, Ltd., 2010, s. 212, ISBN 978-93-80298-15-3 [dostęp 2015-12-20] (ang.).1 stycznia
  8. George Grätzer, First Steps in LaTeX, Springer Science & Business Media, 1 października 1999, s. 17, ISBN 978-0-8176-4132-0 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  9. S. Tucker Taft, Ada 2005 Reference Manual. Language and Standard Libraries: International Standard ISO/IEC 8652/1995(E) with Technical Corrigendum 1 and Amendment 1, Springer Science & Business Media, 22 grudnia 2006, s. 13, ISBN 978-3-540-69335-2 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  10. C. Xavier, Fortran 77 and Numerical Methods, New Age International, 1994, s. 20, ISBN 978-81-224-0670-2 [dostęp 2015-12-20] (ang.).1 stycznia
  11. Randal L. Schwartz, y, Tom Phoenix, Learning Perl, O’Reilly Media, Inc., 16 czerwca 2011, s. 24, ISBN 978-1-4493-1314-2 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
  12. Matthew A. Telles, Python Power!: The Comprehensive Guide, Course Technology PTR, 2008, s. 46, ISBN 978-1-59863-158-6 [dostęp 2015-12-20] (ang.).1 stycznia
  13. Kevin C. Baird, Ruby by Example: Concepts and Code, No Starch Press, 2007, s. 72, ISBN 978-1-59327-148-0 [dostęp 2015-12-20] (ang.).1 stycznia
  14. Kurosz 1974 ↓, s. 20–25.
  15. Kurosz 1974 ↓, s. 17–19.
  16. Kurosz 1974 ↓, s. 56.
  17. Aleksiej Pogoriełow: Geometria. Moskwa: Nauka, 1983, s. 72–73. (ros.)
  18. Istnieje bezpośrednie uogólnienie na przestrzeń siedmiowymiarową (tzw. uogólniony iloczyn wektorowy) i nieco ogólniejsze na przestrzenie dowolnego wymiaru (tzw. iloczyn zewnętrzny).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A.G. Kurosz: Obszczaja algebra: lekcii 1969–1970 uczebnogo goda. Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1974, s. 11. (ros.)