Działanie dwuargumentowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Działanie dwuargumentowe a. binarnedziałanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.

Oznaczenia[edytuj]

Działania, w przeciwieństwie do funkcji zapisywanych zwykle z wykorzystaniem zapisu przedrostkowego, np. opisuje się najczęściej za pomocą zapisu wrostkowego, np. choć oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby korzystać z pozostałych sposobów: dla funkcji (działania) wyróżnia się notacje

  • przedrostkową, prefiksową lub polską,
  • przyrostkową, postfiksową lub odwrotną polską,
  • wrostkowa, infiksowa,

Przykładowo wyrażenie wrostkowe będzie miało następującą postać

  • prefiksową: ,
  • postfiksową: .

Przewagą notacji przyrostkowej jak i przedrostkowej nad notacją wrostkowej jest fakt, że nawiasy w wyrażeniach można pominąć nawet wtedy, gdy działanie nie jest łączne.

Ze względu na tradycję, szczególnie jeśli rozważa się więcej niż jedno działanie i pozostają one między sobą w pewnej relacji, to funkcje w zapisie addytywnym zapisuje się zwykle z wykorzystaniem symboli zawierających:

  • plus:
    lub
  • zwężających się ku dołowi:

Działanie odwrotne do powyższego zapisuje się zazwyczaj za pomocą symboli zawierających poziomą kreskę

Symbole działań w zapisie multiplikatywnym obejmują m.in.:

  • kropkę lub okrągły znak:
  • iks:
  • gwiazdkę:
    lub
  • zwężające się ku górze

Popularne działania multiplikatywne (mnożenia) częstokroć nie posiadają oznaczenia. Działanie odwrotne do powyższego oznacza się najczęściej przez notacji wynikającej z definicji potęgowania.

Przykłady[edytuj]

 Zobacz też: algebra ogólna.

Działania wewnętrzne[edytuj]

Działanie wewnętrzne to funkcja przypisująca każdej parze uporządkowanej elementów danego zbioru element tego zbioru,

Strukturę nazywa się grupoidem. Jeśli jest ono dodatkowo łączne, strukturę tę nazywa się półgrupą. Jeśli działanie ma dodatkowo element neutralny, to struktura jest monoidem. Jeśli struktura jest grupą ze względu na przemienne działanie i półgrupą ze względu na przy czym działanie jest rozdzielne względem to strukturę tę nazywa się pierścieniem. Jeżeli działanie jest przemienne, to dowolną z powyższych struktur nazywa się przemienną.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie na liczbach rzeczywistych są działaniami dwuargumentowym w zbiorze liczb rzeczywistych. Dzielenie nie jest działaniem, gdyż nie jest określone dla par postaci Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Z kolei odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest elementem neutralnym mnożenia jest Działania odejmowania i dzielenia liczb rzeczywistych nie mają elementów neutralnych.

W zbiorze liczb naturalnych można określić działanie potęgowania: które parze liczb przypisuje odpowiednią potęgę:

Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze wektorów tej przestrzeni.

Działanie składania funkcji jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze W ogólności składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne.

Działania zewnętrzne[edytuj]

Działanie zewnętrzne to funkcja przypisująca każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów oraz element pewnego zbioru

Przykładami takich działań są

  • mnożenie przez skalar w przestrzeni liniowej nad ciałem
  • działanie grupy na zbiorze

Zobacz też[edytuj]