Działanie określone punktowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Działanie określone punktowodziałanie określone na zbiorze funkcji o ustalonych dziedzinie i przeciwdziedzinie (tzw. przestrzeni funkcyjnej) poprzez zastosowanie wybranego działania przeciwdziedziny do obrazów funkcji we wszystkich argumentach dziedziny. Działania określone punktowo dziedziczą takie własności działania określonego w przeciwdziedzinie jak łączność, przemienność, rozdzielność; w ogólności jeśli przeciwdziedzina tworzy pewną strukturę algebraiczną, to we wspomnianym zbiorze funkcji można wprowadzić strukturę algebraiczną tego samego typu.

Przykłady[edytuj]

Niech będą funkcjami ustalonego zbioru w zbiór liczb rzeczywistych (w szczególności, jeśli funkcje mogą być ciągami, czy szeregami); przykładami działań określonych punktowo są m.in.:

  • dodawanie dane wzorem
    ,
  • mnożenie dane wzorem
    ,
  • mnożenie przez skalar dane wzorem
    .

Przykładem działania (na zbiorze funkcji rzeczywistych całkowalnych w sensie Lebesgue'a), które nie jest określone punktowo jest splot .

Działanie określone po współrzędnych/składowych[edytuj]

Niech będzie ciałem, wówczas dla będącej liczbą naturalną jest przestrzenią liniową nazywaną przestrzenią współrzędnych; ponadto niżej . Dla danego wektora skalar nazywa się jego -tą współrzędną, z kolei wektor , gdzie jest elementem tzw. bazy standardowej, nazywa się -tą składową wektora .

Działania określone po współrzędnych/składowych zadane są tak samo dla każdej współrzędnej/składowej. Przykładowo dodawanie wektorów określone po współrzędnych dane jest wzorem

,

z kolei po składowych określone jest za pomocą wzoru

,

czyli

.

Przekształcenie dane wzorem nazywa się funkcją współrzędnych, z kolei przekształcenie dane wzorem nazywa się funkcją rzutowań (ich obrazy nazywa się odpowiednio współrzędnymi i rzutami); istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między składowymi wektora a jego współrzędnymi zadana wzorem . W ten sposób powyższe działania można zapisać za pomocą funkcji współrzędnych/rzutowań:

;

oznacza to, że działania dodawania określone po współrzędnych/składowych dla wektorów są równoważne działaniom dodawania na odpowiadających im funkcjach współrzędnych/rzutowań określonym punktowo – z tego powodu wyrażenia „po współrzędnych” i „po składowych” stosowane są zwykle wymiennie (również z wyrażeniem „punktowo”). Analogicznie ma się rzecz z działaniem mnożenia przez skalar.

Działania określone jak wyżej nazywa się też „określonymi standardowo/naturalnie” bądź „w naturalny/standardowy sposób” („standardowymi” bądź „naturalnymi”), wynika to z zastosowania bazy standardowej, nazywanej także naturalną – można ją zastąpić inną bazą otrzymując działania określone po współrzędnych/składowych względem tej bazy, także dla dowolnej abstrakcyjnej przestrzeni liniowej nad ciałem . Powyższe obserwacje obowiązują również dla będącego pierścieniem, gdy jest modułem, czy ogólnie dla skończenie generowanego modułu wolnego nad pierścieniem . Analogicznie określa się działania na iloczynie kartezjańskim dowolnych struktur algebraicznych, co prowadzi do pojęcia iloczynu prostego (w przypadku skończenie wielu czynników jest on równoważny sumie prostej o skończenie wielu składnikach).

Relacja określona punktowo[edytuj]

 Zobacz też: częściowy porządek.

Częstą praktyką w teorii porządku jest definiowanie określonego punktowo porządku częściowego na funkcjach. Dla (częściowo) uporządkowanych zbiorów zbiór funkcji można uporządkować relacją określoną dla każdaego wzorem . Porządki częściowe określone punktowo dziedziczą niektóre z własności zbiorów uporządkowanych, na których zostały zdefiniowane; przykładowo jeżeli kratami ciągłymi, to zbiór funkcji również jest kratą tego typu. Porządek określony punktowo umożliwia zwięzłe wprowadzenie innych ważnych pojęć, np.

  • operator domknięcia na zbiorze uporządkowanym to operator rzutu (tzn. monotoniczne idempotentne odwzorowanie tego zbioru w siebie) o dodatkowej własności ;
  • podobnie operator rzutu nazywa się operatorem jądra (bądź wnętrza), gdy ;

symbol oznacza wyżej funkcję tożsamościową na .

Przykładem nieskończonej relacji określonej punktowo jest zbieżność punktowa funkcji: ciąg , gdzie zbiega punktowo do funkcji (ozn. ), jeżeli dla każdego zachodzi

Zobacz też[edytuj]