Działanie określone punktowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Działanie określone punktowodziałanie zdefiniowane na funkcjach należących do tej samej przestrzeni funkcyjnej, takie że definicja podaje sposób obliczenia wyniku działania poprzez odwołanie się do wartości funkcji obliczonych w punktach dziedziny tych funkcji . Przykładami działań określonych punktowo są działania dodawania funkcji, mnożenia funkcji przez siebie, mnożenie funkcji przez skalar (patrz niżej).

Działania określone punktowo na funkcjach dziedziczą własności działania określonego w przeciwdziedzinie tych funkcji, np. łączność, przemienność, rozdzielność, itp. W ogólności, jeśli przeciwdziedzina funkcji tworzy pewną strukturę algebraiczną, to w ich przestrzeni funkcyjnej można wprowadzić strukturę algebraiczną tego samego typu.

Przykłady: Działania określone punktowo[edytuj | edytuj kod]

Działaniami określonymi punktowo są poniżej zdefiniowane działania.

Niech będą funkcjami z dziedziny w zbiór liczb rzeczywistych (w szczególności ; jeśli funkcje mogą być ciągami, czy szeregami).

(1) Dodawanie funkcji: sumą funkcji nazywa się funkcję taką że dla wszystkich jest

Wtedy pisze się

(2) Mnożenie funkcji: iloczynem funkcji nazywa się funkcję taką że dla wszystkich jest

Wtedy pisze się

(3) Mnożenie funkcji przez skalar: iloczynem funkcji przez liczbę nazywa się funkcję taką że dla wszystkich jest

Wtedy pisze się

Własności działań w przestrzeni funkcyjnej[edytuj | edytuj kod]

Własności działań określonych punktowo przenoszą się na własności działań w przestrzeni funkcyjnej. Np. jeżeli dodawanie określone punktowo na funkcjach jest przemienne w przeciwdziedzinie , to przemienne jest dodawanie tych funkcji, określone w ich przestrzeni funkcyjnej. Tzn.

(1) Dodawanie funkcji jest przemienne ze względu na dodawane, jeżeli dla wszystkich jest

Wtedy pisze się

Podobnie stwierdzenia dotyczą innych działań określonych punktowo, np. mnożenia funkcji przez siebie, mnożenia funkcji przez skalar.

(2) Mnożenie funkcji jest przemienne jeżeli dla wszystkich jest

Wtedy pisze się

(3) Mnożenie funkcji przez liczbę jest przemienne, jeżeli dla wszystkich jest

Wtedy pisze się

Także, jeżeli działania określone punktowo są rozdzielne względem dodawania / łączne, to rozdzielne względem dodawania / łączne będą działania określone na tych funkcjach w przestrzeni funkcyjnej.

Działania nie określone punktowo[edytuj | edytuj kod]

Działania nie określone punktowo przypisują danym funkcjom funkcję w ten sposób, że wartości funkcji wynikowej zależą od wartości funkcji zadanych w większej liczbie punktów.

Przykład: Splot funkcji[edytuj | edytuj kod]

Splot funkcji określonych na zbiorze liczb rzeczywistych jest to funkcja , taka że jej wartości oblicza się jako całkę z wartości funkcji zadanych w całej dziedzinie liczb

- przy tym dziedziną działania splotu jest zbiór funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a ).

Działanie na wektorach określone po współrzędnych / po składowych[edytuj | edytuj kod]

Definicje współrzędnych i składowych[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza ciało liczbowe, - liczba naturalna, - pewien indeks.

Przestrzenią współrzędnych nazywa się przestrzeń liniową utworzoną za pomocą iloczynu kartezjańskiego przestrzeni .

Jeżeli w przestrzeni wprowadzi się bazę standardową , to

  • wektora ma postać , przy czym nazywa się jego -tą współrzędną w tej bazie,
  • wektor gdzie nazywa się -tą składową wektora

Działanie określone po współrzędnych / po składowych[edytuj | edytuj kod]

Działania na wektorach można definiować dwoma sposobami: odwołując się do współrzędnych lub odwołując się do składowych wektorów. Np. dodawanie wektorów

(1) określone po współrzędnych jest wyrażone wzorem

czyli

(2) określone po składowych jest wyrażone wzorem

czyli

Funkcje współrzędnych / rzutowań[edytuj | edytuj kod]

(1) Przekształcenie dane wzorem nazywa się funkcją współrzędnych; nazywa się współrzędną wektora.

(2) Przekształcenie dane wzorem nazywa się funkcją rzutowań; nazywa się rzutem wektora.

Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między składowymi wektora a jego współrzędnymi zadana wzorem

W ten sposób dodawanie wektorów można zapisać za pomocą funkcji współrzędnych / rzutowań:

Oznacza to, że działania dodawania określone po współrzędnych / składowych dla wektorów są równoważne działaniom dodawania na odpowiadających im funkcjach współrzędnych / rzutowań określonym punktowo – z tego powodu wyrażenia „po współrzędnych” i „po składowych” stosowane są zwykle wymiennie (również z wyrażeniem „punktowo”). Analogicznie ma się rzecz z działaniem mnożenia przez skalar.

Działania określone jak wyżej nazywa się też „określonymi standardowo / naturalnie” bądź „w naturalny / standardowy sposób” („standardowymi” bądź „naturalnymi”), wynika to z zastosowania bazy standardowej, nazywanej także naturalną – można ją zastąpić inną bazą otrzymując działania określone po współrzędnych / składowych względem tej bazy, także dla dowolnej abstrakcyjnej przestrzeni liniowej nad ciałem

Powyższe stwierdzenia obowiązują również dla będącego pierścieniem, gdy jest modułem, czy ogólnie dla skończenie generowanego modułu wolnego nad pierścieniem Analogicznie określa się działania na iloczynie kartezjańskim dowolnych struktur algebraicznych, co prowadzi do pojęcia iloczynu prostego (w przypadku skończenie wielu czynników jest on równoważny sumie prostej o skończenie wielu składnikach).

Relacja określona punktowo[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: częściowy porządek.

Częstą praktyką w teorii porządku jest definiowanie określonego punktowo porządku częściowego na funkcjach. Dla (częściowo) uporządkowanych zbiorów zbiór funkcji można uporządkować relacją określoną dla każdaego wzorem Porządki częściowe określone punktowo dziedziczą niektóre z własności zbiorów uporządkowanych, na których zostały zdefiniowane; przykładowo jeżeli kratami ciągłymi, to zbiór funkcji również jest kratą tego typu. Porządek określony punktowo umożliwia zwięzłe wprowadzenie innych ważnych pojęć, np.

  • operator domknięcia na zbiorze uporządkowanym to operator rzutu (tzn. monotoniczne idempotentne odwzorowanie tego zbioru w siebie) o dodatkowej własności
  • podobnie operator rzutu nazywa się operatorem jądra (bądź wnętrza), gdy

symbol oznacza wyżej funkcję tożsamościową na

Przykładem nieskończonej relacji określonej punktowo jest zbieżność punktowa funkcji: ciąg gdzie zbiega punktowo do funkcji (ozn. ), jeżeli dla każdego zachodzi

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]