Dziedzina (matematyka)

Dziedzina relacji (dwuczłonowej) – zbiór wszystkich poprzedników par należących do danej relacji. W szczególności dziedziną funkcji nazywa się zbiór jej wszystkich argumentów – obiektów, dla których ma określone wartości.

Jeśli funkcja $f$ jest określona na zbiorze $X,$ to pisze się $\operatorname {Wt} (f)=X$.

Dziedzina naturalna

Jeśli funkcji rzeczywistej lub zespolonej nie określono dziedziny explicite, ale zdefiniowano tę funkcję pewnym wyrażeniem (np. algebraicznym), to przyjmuje się dla nich dziedzinę naturalną – najszerszy w sensie inkluzji podzbiór zbioru liczb rzeczywistych (zespolonych), dla którego wzór funkcji ma sens (dziedzina wyrażenia).

Przykłady

• Dziedziną wielomianów, funkcji wykładniczych, sinusa, cosinusa i arcus tangensa może być cała oś rzeczywista lub szerzej: płaszczyzna zespolona.
• Dla niektórych funkcji wymiernych innych niż wielomiany dziedziną może być cała oś rzeczywista – przykładem jest rozkład Cauchy’ego. Z kolei dziedzina dowolnej homografii nie zawiera co najmniej jednego punktu, przez niemożność dzielenia przez zero.
• Pierwiastek arytmetyczny stopnia nieparzystego z dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą rzeczywistą. Za do dla stopnia parzystego, np. pierwiastka kwadratowego, wartości rzeczywiste są przyjmowane tylko dla liczb nieujemnych. Podobnie jest z funkcjami potęgowymi o wykładniku niewymiernym.
• Dla logarytmów o wartościach rzeczywistych najszerszą dziedziną jest półoś liczb dodatnich; rozważa się logarytmy z liczb ujemnych, jednak wartości są wtedy zespolone.
• Jest nieskończenie wiele liczb rzeczywistych, dla których funkcja tangens nie jest określona; jej dziedziną nie może być np. półprosta.
• Ciągi nieskończone definiuje się jako funkcje, których dziedziną jest zbiór wszystkich liczb naturalnych: $a_{n}:\mathbb {N} \to Y.$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Domain, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].
• Domain of definition (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].