Dziedzina (matematyka)

Dziedzina – dwuznaczne pojęcie matematyczno-logiczne:

• dziedzina relacji binarnej — zbiór wszystkich poprzedników par (pierwszych elementów pary), należących do danej relacji:

$R\subseteq X\times Y\Rightarrow D(R):=\{x\in X:\exists y\in YxRy\}$

W szczególności dziedzina funkcji to zbiór jej wszystkich argumentów – obiektów, dla których ma określone wartości; dla funkcji $f:X\to Y$ zbiór $X$ oznacza się $\operatorname {dom} f$ lub $D_{f}$. Dla tak rozumianej dziedziny funkcji proponowano też nazwę pole, przy czym pole relacji oznacza co innego;

• dziedzina funkcji (wyrażenia funkcyjnego) — zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens; jest to najszerszy – w sensie inkluzji – podzbiór osi rzeczywistej, który może być dziedziną w pierwszym sensie. Zbiór ten jest też znany jako dziedzina naturalna danego wyrażenia i dla funkcji $f$ również oznacza się go $D_{f}$. Analogiczne pojęcie dziedziny naturalnej można rozważać dla funkcji zespolonych.

Pierwsze z tych pojęć uogólnia się na relacje wieloczłonowe – dla relacji $n$-członowej $R\subseteq X_{1}\times ...\times X_{n}$ definiuje się $n$ różnych dziedzin: $D_{1},...,D_{n}$ .

Dziedzina funkcji może być węższa niż dziedzina naturalna jej wzoru – por. zawężenie funkcji. Na przykład dla funkcji kwadratu $f:x\mapsto x^{2}$ dziedziną naturalną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty$ ;\infty ),} ale funkcję $f$ można też rozważać na przedziale liczb nieujemnych: $A:=[0;\infty ).$ Własności funkcji mogą zależeć od dziedziny, w której jest rozpatrywana. Podana funkcja zawężona (obcięta) $f|_{A}$ jest różnowartościowa, ale funkcja $f$ rozważana w całej dziedzinie naturalnej nie ma już tej własności.

Przykłady

• Ciągi nieskończone definiuje się jako funkcje, których dziedziną jest zbiór wszystkich liczb naturalnych: $a_{n}:\mathbb {N} \to Y.$

Dziedziny naturalne funkcji elementarnych

• Dziedziną wielomianów, funkcji wykładniczych, sinusa, cosinusa i arcus tangensa może być cała oś rzeczywista lub szerzej: płaszczyzna zespolona.
• Dla niektórych funkcji wymiernych innych niż wielomiany dziedziną może być cała oś rzeczywista – przykładem jest rozkład Cauchy’ego. Z kolei dziedzina dowolnej homografii nie zawiera co najmniej jednego punktu, przez niemożność dzielenia przez zero.
• Pierwiastek arytmetyczny stopnia nieparzystego z dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą rzeczywistą. Za do dla stopnia parzystego, np. pierwiastka kwadratowego, wartości rzeczywiste są przyjmowane tylko dla liczb nieujemnych. Podobnie jest z funkcjami potęgowymi o wykładniku niewymiernym.
• Dla logarytmów o wartościach rzeczywistych najszerszą dziedziną jest półoś liczb dodatnich; rozważa się logarytmy z liczb ujemnych, jednak wartości są wtedy zespolone.
• Jest nieskończenie wiele liczb rzeczywistych, dla których funkcja tangens nie jest określona; jej dziedziną nie może być np. półprosta.
• Dwie podstawowe funkcje kołowe – arkus sinus i arkus cosinus – przyjmują wartości rzeczywiste tylko na przedziale domkniętym $[-1;1]$.

Własności

• Dziedzina sumy relacji jest sumą ich dziedzin:

$D(R_{1}\cup R_{2})=D(R_{1})\cup D(R_{2})$

• Dziedzina przekroju relacji to podzbiór przekroju ich dziedzin:

$D(R_{1}\cap R_{2})\subseteq D(R_{1})\cap D(R_{2})$

• Dowolna dziedzina różnicy relacji wieloczłonowych to nadzbiór różnic ich dziedzin:

$R_{1},R_{2}\subseteq X_{1}\times ...\times X_{n}\Rightarrow \forall k\in \{1,...,n\}:D_{k}(R_{1}\backslash R_{2})\supseteq D_{k}(R_{1})\backslash D_{k}(R_{2})$

Bibliografia

• Wacław Leksiński, Ireneusz Nabiałek, Wojciech Żakowski: Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania. Wyd. V. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995, seria: Podręczniki akademickie: elektronika, informatyka, telekomunikacja. ISBN 83-204-1892-5.
• Zenon Moszner: O teorii relacji. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1974.
• Barbara Stanosz: Ćwiczenia z logiki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012. ISBN 978-83-01-14428-9.

Linki zewnętrzne

• Ewa Łobos, Wyznaczanie dziedziny funkcji dwóch zmiennych, „Matematyka i Informatyka na Uczelniach Technicznych” (MINUT) – Politechnika Śląska, minut.polsl.pl, ISSN 2719-3063, 2024 [dostęp 2026-01-17].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Domain, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].