Dziedzina Euklidesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dziedzina Euklidesa (albo pierścień Euklidesa, pierścień euklidesowy) – najbardziej ogólny typ pierścieni, w którym możliwe jest wyznaczenie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dziedzinę całkowitości nazywa się dziedziną Euklidesa (albo pierścieniem Euklidesa, pierścieniem euklidesowym), jeżeli istnieje taka funkcja

(nazywana normą), że

  • dla dowolnych gdzie istnieją takie że
oraz zachodzi jeden z warunków: lub

Czasami dodatkowo przyjmuje się również, że:

  • dla

jednak nie jest to konieczne: każda dziedzina całkowitości która może być wyposażona w funkcję spełniającą pierwsze dwa warunki, może być również wyposażona w funkcję spełniającą również trzeci warunek. Istotnie, dla można zdefiniować wzorem

Własności[edytuj | edytuj kod]

Każdy pierścień Euklidesa jest pierścieniem ideałów głównych.

Dowód. Każdy pierścień Euklidesa jest z definicji dziedziną całkowitości. Należy wykazać, że jeżeli jest ideałem w pierścieniu Euklidesa to dla pewnego Jeżeli Niech w przypadku, gdy Bez straty ogólności, można przyjąć, że jest minimalne, tzn. dla każdego niezerowego Twierdzimy, że Ponieważ, zachodzi inkluzja należy zatem wykazać inkluzję przeciwną. Niech Istniają zatem takie że Ponieważ jest minimalne, czyli zachodzi równość tj. co dowodzi inkluzji

Istnieją pierścienie ideałów głównych, których nie da się wyposażyć w normę (tj. nie są pierścieniami euklidesowymi). Przykładem takiego pierścienia, jest

Największy wspólny dzielnik dwóch niezerowych elementów pierścienia Euklidesa można odnaleźć przy pomocy algorytmu Euklidesa. Jeżeli jest pierścieniem Euklidesa to można utworzyć taki ciąg równości

aby

Ciąg taki (jako malejący ciąg liczb całkowitych dodatnich) musi być skończony, zatem dla pewnej liczby naturalnej zachodzi równość Dla najmniejszego takiego reszta jest największym wspólnym dzielnikiem elementów Zatem jeśli można wyznaczyć i to można wyznaczyć największy wspólny dzielnik i

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Pierścieniami Euklidesa są:

  • Pierścień liczb całkowitych z normą
  • Pierścień liczb całkowitych Gaussa wraz z normą gdzie
  • Pierścień liczb całkowitych Eisensteina z normą gdzie
  • Pierścień wielomianów nad dowolnym ciałem wyposażony z normę = stopień wielomianu jest pierścieniem Euklidesa. Dokładniej, własność ta charakteryzuje ciała pośród pierścieni, gdyż dla dowolnego pierścienia następujące warunki są równoważne:
    • jest ciałem,
    • Pierścień wielomianów jest pierścieniem Euklidesowym,
    • Pierścień wielomianów jest pierścieniem ideałów głównych.
  • Niech będzie liczbą pierwszą oraz niech oznacza rodzinę liczb wymiernych postaci dla których nie dzieli Rodzina jest podpierścieniem ciała liczb wymiernych. Każdy element pierścienia może być zapisany w postaci gdzie nie dzieli ani ani Funkcja dana wzorem dla jest normą, tzn. jest pierścieniem Euklidesa.