Dziedzina całkowitości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dziedzina całkowitościniezerowy pierścień przemienny z jedynką bez (właściwych) dzielników zera. Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.

Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa się dziedzinami, wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie również dziedzinami. Inną nazwą dziedziny całkowitości, pochodzącą od Langa, jest pierścień całkowity.

Własności[edytuj]

  • Niech będzie dziedziną całkowitości. Jeżeli przy czym to zachodzi własność skracania:
jeśli to
Dowód: Niech . Jeśli , to czyli . Ale w pierścieniu nie ma dzielników zera, więc . Stąd .
  • Każde ciało jest dziedziną całkowitości.
    Dowód: Zbiór niezerowych elementów ciała jest grupą tzn. iloczyn niezerowych elementów jest różny od zera.
  • Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.
    Dowód: Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu jego iloczyny ze wszystkimi elementami pierścienia: . Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np. dla pewnych . Ale z własności skracania wynika wbrew temu, że są różnymi elementami.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]