Dzielnik zera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dzielnik zera – element pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element spełniający

W nietrywialnym pierścieniu, czyli takim, w którym dzielnikiem zera jest zero tego pierścienia; jeżeli istnieje dzielnik zera różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera. Nietrywialny pierścień przemienny z jedynką, w którym brak właściwych dzielników zera, nazywamy dziedziną całkowitości[1]. Dziedziną całkowitości jest np. pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dowód Niech będzie dowolnym dzielnikiem właściwym. Zauważamy najpierw, że ideał główny generowany przez jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej relacją inkluzji istnieje (na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna) ideał maksymalny którego elementami są dzielniki zera, i zawierający ideał główny Ponieważ jest ideałem maksymalnym, jest także ideałem pierwszym (patrz własności).
Dowód: Gdyby dla elementu istniały elementy i takie, że to:
wbrew założeniu.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W pierścieniu właściwymi dzielnikami zera są i bowiem
  • W pierścieniu liczb dualnych właściwym dzielnikiem zera jest bowiem
  • W pierścieniu liczb podwójnych dzielnikami zera są i bowiem
  • W pierścieniu macierzy kwadratowych stopnia 2 dzielnikiem zera jest np. macierz osobliwa ponieważ

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 10.