Dzielnik zera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dzielnik zera – element pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element spełniający .

W nietrywialnym pierścieniu czyli takim, w którym , dzielnikiem zera jest zero tego pierścienia; jeżeli istnieje dzielnik zera różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera. Nietrywialny pierścień przemienny z jedynką, w którym brak właściwych dzielników zera, nazywamy dziedziną całkowitości[1]. Dziedziną całkowitości jest np. pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało.

Własności[edytuj]

Dowód Niech będzie dowolnym dzielnikiem właściwym. Zauważamy najpierw, że ideał główny generowany przez jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej relacją inkluzji istnieje (na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna) ideał maksymalny , którego elementami są dzielniki zera, i zawierający ideał główny . Ponieważ jest ideałem maksymalnym, jest także ideałem pierwszym (patrz własności).
Dowód: Gdyby dla elementu istniały elementy i takie, że , , to:
wbrew założeniu.

Przykłady[edytuj]

  • W pierścieniu właściwymi dzielnikami zera są 2 i 3, bowiem 2⋅3 = 0;
  • W pierścieniu liczb dualnych właściwym dzielnikiem zera jest (0,1), bowiem (0,1)•(0,1)=(0,0);
  • W pierścieniu liczb podwójnych dzielnikami zera są (2,2) i (3,03), bowiem (2,2)•(3,-3)=(0,0);
  • W pierścieniu macierzy kwadratowych stopnia 2 dzielnikiem zera jest np. macierz osobliwa ponieważ .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 10.