Dzielnik zera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dzielnik zera – element a pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element b spełniający ab=0.

W nietrywialnym pierścieniu czyli takim, w którym 1 \neq 0, dzielnikiem zera jest zero tego pierścienia; jeżeli istnieje dzielnik zera różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera. Nietrywialny pierścień przemienny z jedynką, w którym brak właściwych dzielników zera, nazywamy dziedziną całkowitości[1]. Dziedziną całkowitości jest np. pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało.

Własności[edytuj]

Dowód Niech a\in A będzie dowolnym dzielnikiem właściwym. Zauważamy najpierw, że ideał główny (a) generowany przez a jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej relacją inkluzji istnieje (na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna) ideał maksymalny \mathcal M, którego elementami są dzielniki zera, i zawierający ideał główny (a). Ponieważ \mathcal M jest ideałem maksymalnym, jest także ideałem pierwszym (patrz własności).
Dowód: Gdyby dla elementu a istniały elementy b\neq 0 i c takie, że a b = 0, a c = c a = 1, to:
b = 1\cdot b = (ca)b = c(ab) = c\cdot 0 = 0
wbrew założeniu.

Przykłady[edytuj]

  • W pierścieniu \mathbb Z_6 właściwymi dzielnikami zera są 2 i 3, bowiem 2⋅3 = 0;
  • W pierścieniu liczb dualnych właściwym dzielnikiem zera jest (0,1), bowiem (0,1)•(0,1)=(0,0);
  • W pierścieniu liczb podwójnych dzielnikami zera są (2,2) i (3,03), bowiem (2,2)•(3,-3)=(0,0);
  • W pierścieniu macierzy kwadratowych stopnia 2 dzielnikiem zera jest np. macierz osobliwa \begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix} ponieważ \begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\
0&0\end{pmatrix}.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 10.