Efekt Lense-Thirringa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ogólna teoria względności
Spacetime curvature.png
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny
Testy doświadczalne

Efekt Lense-Thirringa – opisany przez ogólną teorię względności. Powstaje, gdy obracające się masywne ciało o dużym momencie bezwładności włóczy układ inercjalny w swoim polu grawitacyjnym. Został przewidziany teoretycznie w 1918 przez dwóch austriackich uczonych – Josefa Lense i Hansa Thirringa. Swobodnie spadający układ, wzmiankowany tutaj jako układ inercjalny[1], którego orientacja określona jest przez żyroskop obraca się lub doznaje wtedy precesji[2]. Lense i Thirring pokazali, że uwzględniając efekty relatywistyczne, przyspieszenie Coriolisa w odległości od obracającego się masywnego ciała o promieniu i masie przy oraz prędkości układu inercjalnego ma dodatkową składową:

gdzie

Efekt Lense-Thirringa został potwierdzony obserwacyjnie[3][4].

Wpływ pola grawitacyjnego na układ inercjalny[edytuj | edytuj kod]

Einstein przewidywał[5] istnienie trzech efektów spowodowanych przez pole grawitacyjne oddziałujące na układ inercjalny. Są to:

  • rotacyjny efekt włóczenia układów inercjalnych (efekt Lense-Thirringa),
  • liniowy efekt włóczenia układów inercjalnych – opisuje efekt spowodowany oddziaływaniem masy ulegającej przyspieszeniu na masę pozostającą w spoczynku. Na obiekt pozostający w spoczynku oddziałuje siła, wektor której skierowany jest w kierunku tym samym co wektor przyspieszenia[6][7],
  • efekt statyczny wzrostu masy – przewiduje, że jeśli dany obiekt jest otoczony przez masywne ciała, to masa bezwładna tego obiektu wzrasta.

Precesja Lense-Thirringa[edytuj | edytuj kod]

Jeśli w odległości od masywnego ciała, umieszczony jest żyroskop, to jego spin precesuje z prędkością kątową[8]

, gdzie precesja Thomasa, zależy od prędkości i przyspieszenia żyroskopu , , precesja de Sittera ,zależy od prędkości żyroskopu i potencjału skalarnego pola oraz precesja Lense-Thirringa, która zależy tylko od potencjału wektorowego pola.

Precesję żyroskopu można badać, kiedy żyroskop znajduje się w spoczynku względem dalekiego obserwatora, gdyż precesja Thomasa i de Sittera znikają. Zauważmy też, że:

Opis teoretyczny[edytuj | edytuj kod]

Efekt Lense-Thirringa może być wyprowadzony na dwa sposoby, bądź tak jak to zrobił A. Einstein[9][10][11][12][13], bądź używając metryki Kerra[14]. Przedstawiamy metodę rozwiniętą przez Einsteina. Odpowiednio równanie pola Einsteina[15] na rozmaitości Riemanna oraz równanie linii geodezyjnej są:

gdzie tensor krzywizny Ricciego, tensor metryczny, skalar krzywizny Ricciego, - tensor energii -pędu, stała grawitacyjna , gdzie symbole Christoffela. Rozważamy przybliżenie słabego pola i granicę powolnych ruchów[16][17][18][19]. Rozpatrujemy przypadek takiego ośrodka ciągłego[20], w którym ciśnienie jest zaniedbywalnie małe, gęstość materii jest mała i prędkość cząstki próbnej jest mała w porównaniu z prędkością światła w próżni, oraz, że układ jest inercjalny. Słabe pole grawitacyjne i w przybliżeniu Minkowskiego opisane jest tensorem metrycznym:

,

gdzie metryka Minkowskiego-Lorentza, niewielkie zaburzenie oraz gdzie . Wstawiając wyrażenie na metrykę, otrzymujemy niezerowe symbole Christoffela:

Równanie Einsteina przyjmuje postać

stosując metodę funkcji Greena, otrzymujemy jego rozwiązania,

gdzie jest pewną objętością przestrzeni. Rozwiązania różne od zera istnieją wyłącznie dla składowych oraz dla składowych , (). Składowe , i składowe są:

dla stacjonarnego, zlokalizowanego rozkładu mas, [21] otrzymujemy składowe równania Einsteina:

Przy czym , gdzie jest potencjałem skalarnym pola grawitacyjnego oraz są składowymi pola wektorowego , jest prędkością źródła pola grawitacyjnego. Ostatecznie równanie linii geodezyjnej przyjmuje postać:

czyli:

Einstein interpretował to równanie ruchu cząstki próbnej, w następujący sposób[22], mianowicie:

1. Ponieważ masa bezwładna cząstki próbnej jest proporcjonalna do wyrażenia więc wzrasta, gdy masy ciężkie zbliżają się (statyczny efekt przyrostu masy).

2. Wyrażenie oznacza, że istnieje oddziaływanie mas przyspieszanych na cząstkę próbną pozostającą w spoczynku (Liniowy efekt włóczenia układu inercjalnego).

3. Wyrażenie , oznacza, że cząstka próbna zostaje odchylona ze swego toru, jeśli znajdzie się w polu grawiatcyjnym obracającego się obiektu (Efekt Lense-Thirringa). Wyrażenie to jest odpowiedzialne za włóczenie płaszczyzny orbitalnej i orbitalny moment obrotowy cząstki próbnej (na przykład żyroskop) w kierunku obrotu centralnego ciała masywnego (formuła odkryta przez Lense i Thirringa).

Te trzy efekty są dlatego trudno mierzalne, że wielkość ich jest rzędu na co wskazuje obecność stałej .

Precesja żyroskopu[edytuj | edytuj kod]

Wiedząc, że moment kątowy , pole wektorowe daleko od stacjonarnego źródła, (lub w przypadku sferoidalnego rozkładu materii)[23]

Oznaczmy , tak więc moment siły działającej na żyroskop o spinie jest równy:

żyroskop precesuje względem dalekiego układu inercjalnego (asymptotycznego, z prędkością kątową:

gdzie jest momentem kątowym obiektu w centrum. Jest to właśnie efekt Lense-Thirringa czyli włóczenie układu inercjalnego, którego osie są definiowane przez żyroskop. Siła wywierana na ten żyroskop przez pole wektorowe jest

Metryka Kerra[edytuj | edytuj kod]

Z punktu widzenia geometrii zadanie OTW polega na znajdowaniu czterowymiarowych rozmaitości z metryką o sygnaturze (), spełniających równanie Einsteina:

Osiowo-symetryczne stacjonarne rozwiązanie równania Einsteina, opisujące pole grawitacyjne wirującej czarnej dziury lub obracającego się masywnego obiektu jest rozwiąwaniem znalezionym przez Roya Kerra[24]. Metrykę o sygnaturze () nazywamy osiowosymetryczną i stacjonarną, Metryka Kerra opisuje geometrię czasoprzestrzeni obracających się ciał masywnych[24][25][26]. Metryka Kerra przewiduje istnienie rotacyjnego włóczenia układu inercjalnego[27]:

gdzie współrzędne sferyczne, promień Schwarzschilda oraz

Czasoprzestrzeń Lense-Thirringa[edytuj | edytuj kod]

Wprowadzając współrzędne izotropowe[28] element liniowy czasoprzestrzeni Lense-Thirringa może być zapisany jako:

gdzie współrzędna standardowa jest zastąpiona nową współrzędną radialną określoną jako[29]

przy czym oraz jest to analog momentu kątowego wokół osi jest masą obracającego się ciała centralnego.

Porównanie metryki Kerra i metryki Lense-Thirringa[edytuj | edytuj kod]

Metryka Kerra we współrzędnych izotropowych[30] jest:

co wskazuje, że obie metryki w przybliżeniu tym się pokrywają.

Potwierdzenie eksperymentalne[edytuj | edytuj kod]

Z historycznego punktu widzenia, propozycja wykonania testów ogólnej teorri względności stosując żyroskopy, została przedstawiona w 1920 przez J.A. Schoutena i A.S. Eddingtona[31][32], zaproponowali po raz pierwszy użycie żyroskopu. W 1960 Schiff[33] i Pugh[34] niezależnie, zaproponowali test efektu Lense-Thirringa przy użyciu żyroskopu umieszczonego na orbicie okołoziemkiej. Przewidywali oni, że po wystarczająco długim czasie swobodnie wirujący żyroskop powinien się odchylić od pierwotnego kierunku. Przyczyną miały być efekty relatywistyczne. Tak więc, żeby zapewnić odpowiednie warunki dla eksperymentu stało się jasne, że musi on zostać przeprowadzony w przestrzeni kosmicznej. W 1976 Van Patten i Everitt[35]zaproponowali, żeby celem przyszłej misji kosmicznej stało się zmierzenie tego efektu.

Jednym z celów misji badawczej Gravity Probe B jest przeprowadzenie kilku eksperymentów mających na celu zbadanie relatywistycznych efektów rotacji[36]. Na ostateczne wyniki tej misji należy poczekać do jej zakończenia. Innym z eksperymentów jest użycie satelitów LAGEOS (Laser Geodynamics Satellites) pierwotnie zaprojektowanych do badania ziemskiego potencjału, do badania efektu Lense-Thirringa. W 2004 I. Ciufolini i E.C. Pavlis[37] ogłosili zarejestrowanie efektu Lense-Thirringa. Efekt opublikowany w Nature jest zgodny z OTW, nie wiadomo jednak czy metody zastosowane do otrzymania wyników były całkowicie poprawne.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. W. Rubinowicz, W. Królikowski, Mechanika Teoretyczna, PWN, Warszawa 1980, ​ISBN 83-01-08635-1
  2. C.M. Will ”Testing Machian Effects in Laboratory ans Space Experiments”, s. 365-385, w: Einstein Studies, vol. 6, Mach’s Principle from Newton’s Bucket to Quantum Gravity, edited by J. Barbour, H. Pfister
  3. Fraser Cain: Frame Dragging Confirmed (ang.). 2004-10-22. [dostęp 2011-01-13].
  4. Einstein's warp effect measured (ang.). W: BBC News [on-line]. 2004-10-21. [dostęp 2011-01-13].
  5. A. Einstein," The Meaning of Relativity" © 1922, 2003 The Hebrew University of Jerusalem, ​ISBN 0-203-44953-3​ Master e-book ISBN, s. 103
  6. D.W. Sciama, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, vol. 113, p. 34 (1953), Bibliographic Code 1953MNRAS.113...34S
  7. Jiri Bicak, Joseph Katz, Donald Lynden-Bell, Gravitational waves and dragging effects, „Classical and Quantum Gravity”, 25 (16), 2008, DOI10.1088/0264-9381/25/16/165017, arXiv:0807.3072v1 [gr-qc] (ang.).
  8. Marcelo Zimbres, Patricio S. Letelier. Multipolar corrections for Lense-Thirring precession. „General Relativity and Quantum Cosmology (arxiv gr-qc)”, 2008. arXiv:0803.4133 (ang.). 
  9. A. Einstein,The Meaning of Relativity, The Stanford Little Lectures of Princeton University, May 1921, Princeton University Press, ​ISBN 0-691-12027-7​, p. 79-102
  10. A.S. Eddington,"The Mathematical Theory of Relativity" Cambridge University Press,1963,Cambridge, ​ISBN 978-0-521-09165-7
  11. I. Ciufolini, J.A. Wheeler,"Gravitation and Inertia", 1995, Princeton: Princeton University Press
  12. R.J. Adler, A.S. Silbergleit,"General Treatment of Orbiting Gyroscope",International Journal of Theoretical Physics, vol. 39, No. 5,(2000)
  13. R.J. Adler, "Metric for an Oblate Earth",General Relativity and Gravitation, vol. 31,No.12(1999)
  14. Landau, LD, Lifshitz, EM(1975) "The Classical Theory of Fields"(Course of Theoretical Physics, vol. 2)(rev 4th English ed),New York: Pergamon Press. pp. 321-330. ​ISBN 978-0-08-018176-9
  15. W. Kopczyński,A. Trautman,"Spacetime and Gravitation" John Wilez and Sons, Chichester, New Zork, PWN, Warszawa, 1992, ​ISBN 83-01-09995-X
  16. R.J. Adler i A.S. Silbergleit,"General Treatment of Orbiting Gyroscope Precession", Int. J. Theor. Phys. vol. 39, N.5(2000)
  17. I. Ciufolini, J.A.Wheeler, Gravitation and Inertia,Princeton series in Physics,copyright Princeton University Pressm1995, ​ISBN 0-691-03323-4
  18. M. Demiański, Relativistic Astrophysics,PWN -Polish Scientific Publishers, Warszawa, Pergamon Press,1985, ​ISBN 83-01-04352-0
  19. J. Foster, J.D. Nightingale, Ogólna Teoria Względności, PWN, Warszawa,1985, ​ISBN 83-01-05392-5
  20. L.D. Landau, E.M. Lifszyc, "Hydrodynamika", Fizyka Teoretyczna, PWN, Warszawa,1994, ​ISBN 83-01-11465-7
  21. I. Ciufolini,"
  22. A. Einstein,The Meaning of Relativity,The Stanford Little Lectures of Princeton University, May 1921, Princeton University Press, ​ISBN 0-691-12027-7​, p. 102
  23. I. Ciufolini, Dragging of Inertial Frames, Gravitomagnetism, and Mach’s Principle,in Einstein Studies, vol. 6, Mach`s Principle from Newton`s Bucket to Quantum Gravity,ed J. Barbour, H. Pfister, Birkhauser, Boston ,Basel, Berlin,1995, ​ISBN 0-8176-3823-7
  24. a b Roy P. Kerr, Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics, „Physical Review Letters”, 11 (5), 1963, s. 237–238, DOI10.1103/PhysRevLett.11.237.
  25. B. Dubrowin, A. Nowikow, C.P. Fomenko,Sowremiennaja Gieomietria: Metody i Priłożenija, Nauka, GRF-ML, 1979, s. 714-718
  26. R.M. Wald, General Relativity. University of Chicago, ​ISBN 0-226-87033-2​(pbk)1984
  27. E.F. Taylor, J.A. Wheeler, Exploring Black Holes, Introduction to General Relativity, Addison Wesley Longman, Inc, 2000, ​ISBN 0-201-38423-X
  28. R.Iverno”introducing Einstein’s relativity”Clarendon Press Oxford,1993
  29. J. Foster, J.D. Nightingale ”Ogólna Teoria Względności”, Warszawa 1985, PWN
  30. B. Léauté „Etude de la métrique de Kerr”, Annales de l'I.H.P., section A, tome 8, n°1 (1968), p. 93-115
  31. GP-B Mission - History, einstein.stanford.edu [dostęp 2017-11-23].
  32. A. Eddington
  33. L.I. Shiff, „Motion of a gyroscope according to Einstein’s theory of gravitation”
  34. Pugh”Proposal for a satellite test of the Coriolis prediction of General Relativity”, w ”Nonlinear Gravitodynamics, The Lense Thirring Effect, a documentary introduction to current research. WSEG Research Memorandum, Editors: R.J. Ruffini, C. Sigismondi , No. 11, 2002
  35. C.W.F. Everitt, „The Stanford Relativity Gyroscope Experiment (A): History and Overview”, w „Near Zero: New Frontiers of Physics”. editors, J.D. Fairbank, B.S. Deaver, Jr., C.W.F. Everitt, P.F. Michelson, 1988
  36. Nowe testy ogólnej teorii względności. W: Urania - Postępy Astronomii 1/2005 [on-line]. [dostęp 2014-07-30]. [zarchiwizowane z tego adresu (2010-02-15)].
  37. I. Ciufolini i E.C. Pavlis, ”A confirmation of the general relativistic prediction of the Lense-Thirring effect”, Nature 431(2004) 958

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]