Element neutralny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Element neutralny – element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

Definicja[edytuj]

Niech będzie zbiorem z określonym działaniem dwuargumentowym . Element nazywa się elementem neutralnym, jeżeli spełnia następujące warunki:

  • ,
  • ,
  • .

Jeżeli element spełnia tylko pierwszy warunek definicji, to nazywa się go elementem neutralny lewostronnym, jeżeli zaś zadość jest wyłącznie drugiemu z nich, to nosi on nazwę elementu neutralnego prawostronnego. Dla wyróżnienia element neutralny nazywa się niekiedy elementem neutralnym obustronnym.

Oznaczenia[edytuj]

Jeśli działanie zapisane jest w notacji addytywnej, czyli przez i podobne symbole, to element neutralny względem tego działania oznacza się zazwyczaj symbolem i nazywa elementem zerowym lub krótko: zerem. Jeśli natomiast działanie opisywane jest w notacji multiplikatywnej, czyli zwykle za pomocą lub bez oznaczenia, to element neutralny oznaczany jest zwyczajowo za pomocą znaku , który nazywa się elementem jednostkowym, jednością bądź jedynką.

Innymi często spotykanymi oznaczeniami są litera oraz oraz symbole z nimi powiązane.

Przykłady[edytuj]

element neutralny obustronny
elementy neutralne jednostronne
  • Działaniem posiadającym wyłącznie prawostronny element neutralny jest odejmowanie liczb rzeczywistych, którym jest zero:
    ,
jednocześnie
,
a zatem zero nie jest elementem neutralnym lewostronnym.
  • Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Niech będzie działaniem w zbiorze , gdzie oznacza podłogę (część całkowitą). W tym przypadku każda liczba jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem
    .
Działanie może nie mieć elementu neutralnego

Własności[edytuj]

  • Jeżeli działanie ma jednocześnie elementy neutralne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe (jest to oczywiście element neutralny obustronny).
  • Jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym.

Zastosowania[edytuj]

W definicjach większość ważnych w praktyce struktur algebraicznych takich jak grupy, pierścienie (z jedynką), czy ciała zakłada się istnienie elementów neutralnych. Istnieją jednak ich uogólnienia, jak np. grupoid, półgrupa, czy pierścień (bez aksjomatu jedynki), w których element ten nie musi istnieć.

Zobacz też[edytuj]